揭开网络复杂性金字塔的的“庐山真面目”

方锦清 

中国原子能科学研究院，北京275-68信箱，102413

在世纪之交，由于复杂网络研究的突破性新发现具有普遍意义，国际上诞生了一门广泛交叉的科学—网络科学。网络无处不在，五彩缤纷，触手可及，近十年来国内外掀起了复杂网络科学与技术的研究与应用的热潮。网络科学与技术的研究很快与自然科学、社会科学及技术工程等众多科学融合在一起，迅速遍及各个领域，诸如：因特网，万维网、电力网、交通网、通信网、生物网络、社会网络、生态网、环境网、食物链网、高科技网等，从自然到社会，网络已经成为人们生活和工作中密不可分的一部分。如何抓住实际复杂网络的关键性质，揭开复杂网络的奥秘以造福人类，已经成为网络科学国内外研究的一个核心问题。 历史上网络科学发展经历了三个里程碑，每个里程碑无一不是从网络的理论模型首先取得突破的。国际上提出了著名的经典理论模型有：Euler图论，ER随机图，小世界模型和无标度模型，迄今已经提出和积累了许多有价值的理论模型，我们小组在深入探索和全面分析了网络科学模型及其特性的基础上，近年提出了统一混合网络理论体系，包括模型三部曲，请见图1，并构建和描述网络模型复杂性金字塔，如图2所示，这个金字塔可以揭开复杂网络模型的复杂性-多样性与简单性-普适性之间相互转变的错综复杂关系。

              请看下面清楚的图1

图1. 统一混合网络理论体系的三个模型示意图. 最内框是统一混合择优网络模型(UHPNM)；

中间框是大统一混合网络模型(LUHNM)； 最内框是统一混合变速增长网络（UHNM-VSG).

金字塔的最顶部层次依次为第七层到第五层。 首先最高层（第七层）是著名的Euler图，1736年欧拉提出“图论”解决了著名的柯尼斯堡七桥问题和多面体的欧拉定理等，欧拉被称为图论之父。第六层次是第二个里程碑，由两位匈牙利著名的数学家Erdös (爱多士)和Renyi（瑞尼）在20世纪50年代末和60年代建立了著名的随机图理论，成功地揭示了随机网络的许多重要性质：网络特性的突然涌现和图类的阈函数等数学理论，爱多士因此被誉为20世纪的欧拉，并于1984年获得数学界的最高奖—沃尔夫奖。网络科学发展的第三个里程碑诞生在20世纪末（1998-1999年），首先是美国康奈尔（Cornell）大学Watts和Strogatz冲破了ER理论框框，进一步发现了小世界网络，即网络特性具有较短的平均路径长度和较大的群聚系数。接着，1999年美国圣母（Notre Dame）Barabasi与Albert提出了一个无标度(SF)网络模型，发现了复杂网络的度分布服从幂函数形式，深刻地揭示了无标度特性产生的两个主要机制：网络增长和随机择优（偏好）连接。这些发现确实反映了许多实际网络度分布的共性，但是不具有普适性，例如科学家合作网络度分布具有截断（cut-off）的指数分布，美国西部电力网络度分布只是指数分布，美国尤他摩门教徒网是高斯分布(Mormons in Utah),等，这说明网络具有多样性。上述两大发现对网络科学作出了开创性的杰出贡献，在国际上激起了千重浪，产生了广泛而深刻的影响，因此，Barabasi于2006年获得了美国von Neumann（冯 纽曼）计算金奖。网络科学发展的三个里程碑及其著名的网络模型深刻地揭示了复杂网络的自组织的普遍规律，表明了在复杂网络系统中复杂性与简单性、多样性与普适性、有序性与无序性之间达到了和谐统一，因此它们当之无愧屹立在复杂网络金字塔的最顶层上，起到金字塔的灯塔作用，标志着诞生了一门广泛交叉的新兴科学：网络科学。从自然界到人类社会，涉及自然科学、社会科学、技术科学、工程技术等众多科学领域，网络科学普遍受到了空前的关注和广泛重视。随后许多真实网络的实证研究都表明：不少真实世界网络同时兼备小世界和无标度特性。这些发现不仅具有重大的先锋意义，而且极富创新性启迪作用，说明大多数真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是混合网络，兼具小世界和无标度特性，具有与规则网络和随机图皆不同的统计特性，并在现实世界网络中具有一定普适性和应用性，由此开辟了网络科学的新时代。

金字塔第四层次：加权演化网络。人们注意到：复杂网络金字塔的最高层模型都是无权网络，它确实石破天惊，反映了现实世界网络主要的基本特性，然而，随着网络增长模型研究的深入，许多研究进一步揭示和完善了产生小世界和无标度特性的物理机制的多样性，提出了复制、最近邻连接、点强驱动、边权驱动、适应度等多种混合驱动机制式。研究越来越多地发现：现实世界中实际网络节点之间相互作用的重要性程度和影响作用并非相同，即不同节点在网络中权重不同，具有复杂性和多样性，因此，必须在无权网络研究的基础上，进一步研究加权演化网络，才能更深入捕捉和揭示真实网络上动力学特征与拓扑结构之间的联系，以及权重变化对网络演化特性或系统功能所产生的重要影响。于是，在三大经典模型的基础上，科学家不断开拓创新，从2000年开始陆续提出了许多有意义的有权网络模型。如，提出点强度驱动和边权逐渐加强的双驱动机制，并发现点度、点权和边权都服从三种幂律分布,且依赖于权重参数。尔后，国内外提出了一系列改进加权模型。归纳起来，根据网络节点之间连边概率p不同，迄今有如下有权网络的主要生成方式：点强偏好驱动机制；边权偏好驱动机制；点强与边权混合择优驱动机制，或点强或边权的耦合排序择优；权重和适应度联合驱动机制；拓扑生长和强度耦合同步联合驱动机制；地理位置最（次）邻近优先连接，或利用邻近局域信息；拓扑结构、功能与动力学演化相互影响机制，等等。总之，在这些驱动机制下，现有的有权演化网络模型的度分布、点强分布和边权分布都具有幂律分布，只是幂指数不同而已，这就是金字塔第四层次的规律和特色所在，它揭示了多个幂律分布规律及其形成的物理机制的多样性和复杂性。因此，在最高层次的无权网络的基础上，自然推进地到有权演化网络模型（WENM），作为网络金字塔的次高层次。

金字塔的第三层次：和谐统一混合择优模型(HUHPM)。应当看到：第四层次所有有权网络模型几乎都属于广义随机网络模型，其最大不足是：都忽视了确定性（包括不同确定性择优连接）驱动机制，它们并没有反映现实世界中中随机性与确定性的共存的普遍现象。为了刻画统一和谐的网络世界，我们提出了第三层次到第一层次的统一混合网络理论模型三部曲。第三层次“和谐统一的混合择优模型”主要是为了克服无权网络模型和许多有权网络模型缺乏“确定性择优”的不足，引入了“确定性择优”思想，在复杂网络生长中采用两种混合择优连接，以改进和完善第四层次中一大类的无权和有权网络。该层次最大特点是，合理地引进了一个总混合比dr作为唯一的调控参数, 即实施随机性择优与确定性择优相混合连接方式。这种双择优思想方法适用于任何现有的无权和有权的典型网络模型，即任何复杂网络模型都可在这个框架下重新进行统一的研究, 都可以灵活调控总混合比生长新网络。结果发现：不仅能够保持原来模型的特点和规律, 而且还产生了新的特性, 使得原有的模型更符合和谐统一的真实世界。由于第三层次基本抓住真实世界两大类择优连接的混合性，所以既有原来模型的主要结果（小世界和无标度特性），又发现了混合网络的一些普适规律，不论是无权网络, 还是有权网络, 不仅节点度，点强和边权三种分布都服从幂律分布，而且幂指数都对总混合比的变化具有敏感性，随着混和比增加而增加；幂律指数与混合比、权重参数和连接边数之间都存在复杂的指数及参数成反比的复合关系,说明这种错综复杂的拓扑特性与产生的网络混合方式、结构、模型类型(参数)等紧密相关。因此，第五层次揭示了两种混合择优网络既可保持了和谐混合共存, 又能体现它们之间的相互作用与竞争，出现了网络新特点。理论结果与数值模拟结果相一致。

   金字塔的第二层次：大统一混合网络模型（LUHNM）。随着网络层次不断深入，发现第三层次模型仅仅考虑两大类的择优连接方式，还不能完全地反映实际世界网络形成中存在连接方式的多样性和复杂性. 因为不论随机性连接，还是确定性连接，只考虑一种“择优”方式，而不考虑其他的可能连接方式，如“扶贫”、“折中”、“平衡”、“特殊”和“年龄”等连接方式，并不完全符合实际情形。为此，我们把“和谐统一择优模型”推广到 “大统一混合网络模型”成为第二层次，其特点是在总混合比dr下又引入了二个混合比：随机混合比gr和确定性混合比fd。并且根据实际需要，随时可灵活增加混合比个数。因此，第二层次模型形成了具有多个混合比的大统一混合网络模型。第二层次与第三层次不同的是至少考虑了三个混合比（dr, gr, fd）来调控网络拓扑特性，因此更能显示结构及特性的多样性和复杂性，更能细致揭示复杂网络的特性，能够把目前绝大多数网络模型类型基本统一起来，把形形色色的网络作为特例包括在该理论框架内。这样，第二层次不仅囊括了前面各层次模型的主要结果，而且又发现了新特性和新现象，其中值得关注的是度-度关联系数r_c（或相称性系数）与混合比（dr, gr, fd ）之间存在关系错综复杂， r_c在（-1，1）大范围的正负值之间实现转变，惊奇地出现多峰现象和非线性关系，累计度分布随着三种混合比的变化可在幂律函数分布和多种指数分布之间进行转变，不少转变奥秘和规律隐藏在混合比的巧妙组合和匹配之中。总之，网络复杂性型金字塔的第二层次更大范围地统一了现有的无权和有权网络模型，比第四、三层次更能灵活地适应真实世界网络研究的需要，因为三混合比（dr，gr,fd)可根据实际网络需求而确定混合比大小和匹配，具有更大的适应性、灵活性和多样性。三种混合比组合的多样性必然产生丰富多彩的网络拓扑特性、动力学行为、系统功能与拓扑之间出现错综复杂的关系，特别是混合比都不等1时都是不对称连接发生，必然导致非对称破缺，按照复杂系统的自组织理论现涌新现象；无论无权和有权网络都能通过调控三个混合比深入揭示网络的新特点和新现象。利用这个层次的理论结果，可以解释为什么社会网络和技术及生物网络之间的r_c出现的差异。多峰现象揭示：诸如涉及多个重灾区的中国四川汶川抗震救灾网，自然形成世人特别关注和大力支持的几个救助“中心”，利用网络关联出现的多峰现象解释就不足为奇了。因此，第二层次统一混合模型更具灵活性和广泛性，根据需要可拓广和增加新的混合比，以满足实际应用。

金字塔的第一层次：统一混合变速增长模型（UHNM-VSG）。我们深入分析实际网络发现，不论是节点的增减还是边的增长速度都是不同的，且同时随时空变化，如中国四川汶川抗震救灾网、高技术网络、因特网、万维网（WWW）、社会关系网、通讯网等等，通常它们都是随时空快速变化。因此，考虑这种时间空间变化的特点，我们把第二层次上推进到第一层次，形成“统一混合变速增长模型”，其最大特点是，在第二层次基础上，又引进了一个确定性变速与随机性变速增长混合比vg，考虑了两种基本增长形式：随机性增长与确定性增长。这样，第一层次把各种实际网络中可能的变速特点都能包涵在内，使第一层次模型比前两层次模型理论更接近实际，由此发现了一些网络特性新的特点和复杂的转变关系。主要特性有：第一，在增长指数 比较小（小于0.3）时节点的累计度分布基本为幂律分布，当增长指数 大于0.3时，累计度分布从幂律分布转变为双广延（stretched）指数分布，幂律指数 随度k增加而增加，广延指数c随k增加可出现极值现象，指数大小取决于多个混合比和变速方式。第一层次中的混合增长比vg 是一个对网络特性有重要影响的关键调控参数。在混合比不同情形下出现不同的转变特性，可出现延时高斯分布、广延指数分布和幂函数分布之间的相互转变，还与四个混合比的匹配密切相关。在混合比dr和vg在1/1（转变点）附近，网络的特性几乎都发生转变现象；群聚系数C与混合比及变速指数 之间存在更复杂的三维关系， C可在[0，1]之间大范围变化，整个变化呈现错综复杂非线性关系；网络节点相关的相称性系数r_c与四个混合比（dr,fd,gr,vg）之间也同样存在着复杂的非线性关系；当增长混合比vg接近1/1时，r_c和C也出现和波谷起伏交错林立，其变化奥秘和规律完全隐含在许多特殊混和比匹配之中。

金字塔的最底层是真实世界网络，多种多样、丰富多彩，它是复杂网络金字塔的奠基石，又是所有网络理论研究的源泉，为网络理论模型和实证的研究提供了雄厚的基础和依据。复杂网络金字塔理论可应用于许多实际网络的研究，例如，它可应用于具有多层次的高科技网络、中国四川汶川抗震救灾网、因特网和通信，等等。

综上所述，网络复杂性金字塔的“庐山真面目”的奥秘已经基本揭开，它深刻地反映和揭示了复杂网络金字塔不同层次上网络的特性、规律以及错综复杂的相互关系，从图1可见，从金字塔的最顶层（第七层）到最底部（第一层），复杂性和多样性程度越来越增加了，反之，简单性与普适性则越来越增强了；从而加深了人们理解、认识和进一步挖掘网络的多样性-复杂性以及简单性-普适性之间的转变规律。显然，多姿多彩的网络复杂性金字塔“建筑”，随着网络理论和实际研究的步步深入探秘，必将进一步拓广和完善，金字塔的“庐山真面目”必将被完全揭开，复杂网络的巨大应用和美好前景必将更加展现出来，人类对复杂网络的真知灼见必将更上一层楼。