图1. 光滑曲面及其离散逼近。

陈省身先生曾经说过，基本的几何规律具有很强的普适性，它们在光滑流形和离散流形上都成立，例如高斯-博内定理，流形光滑性条件是否本质上必要，这一点值得商榷。

数十年后，依随三维扫描技术的蓬勃发展，离散几何理论有了巨大的突破。几何逼近论日益成熟，使得我们可以用连续的高斯-博内定理来证明离散的定理，反之亦然。这里，我们介绍法丛理论，它将连续和离散的曲面几何有机地统一起来，在同一个理论框架下讨论曲率测度，从而给出曲面陈类的离散几何证明。

通过以前的讨论【黎曼几何的发轫-浅谈高斯绝妙定理】，我们知道曲面切丛的陈类可以表示为二阶微分式，或者等价地，陈类在曲面上的积分给出欧拉示性数

，

这就是著名的高斯-博内定理。历史上，陈省身先生首先给出了内蕴证明，证明依赖于活动标架法和外微分工具。一个自然的问题在于，我们能否找到更为初等的方法来证明高斯-博内定理。这篇文章首先给出一个简单的离散曲面上高斯-博内定理证明，然后证明任何光滑曲面都可以由离散曲面来逼近，这种逼近保证曲率测度收敛，因而我们可以从离散高斯-博内定理推出光滑曲面的高斯-博内定理。

图2.三维扫描得到的曲面

近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科。数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物。在计算机上，所有的几何数据都由离散的三角剖分来表示。如图1所示。将经典微分几何的定理推广到离散曲面情形一直是这些年数字几何发展的主旋律。这里我们考察最为根本的高斯-博内定理。

离散曲面

一个自然的问题是如何用离散的曲面去有效地逼近连续曲面。这里，离散曲面的建构分两步，给定一张光滑曲面，嵌在空间中，第一步是在光滑曲面上采样，得到稠密点云；第二步是将点云三角剖分，从而得到分片线性多面体网格，记为。

离散曲率 应用离散高斯映射，或者平行移动，我们可以将离散曲面上的高斯曲率定义为角欠。给定一个内顶点，考察和相邻的三角形内角之和，其高斯曲率是周角和内角和之差；对于边界顶点，其高斯曲率是平角和内角和之差；

，

图3. 离散曲率。

类似的，每条边离散平均曲率定义为边长和其上二面角之积：

。

离散高斯-博纳定理 离散曲面的高斯-博内定理和连续情形一致，总曲率等于欧拉示性数和之积：

。

其证明非常简单：假设M封闭，每个面都是欧式三角形，内角和为，同时每条边与两个面相邻，每个面有三条边，因此 ，

，

这里是三角形里，顶点处的内角。展开上式，我们得到

因此，总曲率为。如果曲面有边界，证明非常类似。

和连续情形高斯-博内定理的证明相比，离散情形的证明极其地初等。那么，我们能否用离散的高斯-博内来证明连续情形呢？如果，我们能够用离散曲面逼近光滑曲面，并且保证逼近过程中曲率测度收敛，那么我们就能够达到这一点。在过去的二十年间，寻找曲率测度收敛的逼近序列一直是数字几何领域的中心议题之一。下面，我们用法丛理论来给出构造性证明。

几何逼近问题

假设给定一张光滑曲面，嵌在空间中，我们在光滑曲面上采样，得到稠密点云；然后将点云三角剖分，从而离散曲面。

最近点映射 对于离散曲面上的任意一点，我们可以找到光滑曲面上的最近点，这样，我们得到所谓最近点映射，记为，

这里是空间中的欧式距离。

给定光滑曲面，我们构造一系列离散曲面。令为中最大三角形边长，并且，相应的最近点映射记为 。我们可以从不同的方面考察光滑曲面和离散曲面间的距离。最为常见的是豪斯道夫距离（Hausdorff Distance）:

。

另外是离散曲面上每点和其最近点的法向量之间的距离，被称为法距离（Normal Distance）,

。

同时，我们可以考察曲率测度的相似程度。令是光滑曲面上的区域，是离散曲面上相应的区域,。面积测度距离为：

，

这里是三角形面片。高斯曲率测度距离为:

，

平均曲率测度距离为:

。

那么，自然地问题就是什么样的离散曲面序列能够保证豪斯道夫收敛性

和曲率测度收敛性，

。

另外豪斯道夫收敛性能否保证曲率测度收敛性。不幸的是，豪斯道夫收敛无法保证曲率测度的收敛。

许瓦茨的灯笼（Schwartz Lantern）

早在1880年，数学家 Hermann Schwartz 构造了一个著名的反例，后来被世人成为 许瓦茨的灯笼，如下图所示。

图4.许瓦茨的灯笼。

给定一个光滑圆柱面，底圆为单位圆，高为一。我们在圆柱面上均匀采样，并连接采样点，得到离散的曲面，作为灯笼。采样和三角剖分的模式如下图所示，假设在第步，我们得到行和列采样点。我们详细计算灯笼的面积。

灯笼的总面积等于

当时，灯笼的总面积趋向于

。

如果，则灯笼和光滑圆柱面的豪斯道夫距离收敛到0，并且灯笼的面积收敛到光滑圆柱面的面积。否则，豪斯道夫距离收敛，离散曲面的面积并不收敛到光滑曲面的面积。那么，如何才能保证离散曲面的面积收敛到光滑曲面的面积呢？更一般的，如何才能保证离散曲率测度收敛到光滑曲率测度呢？

工程师的观察

在过去的二十年间，在机械制造领域，数字媒体领域，医学图像领域，无数的工程师和科技人员都曾遇到了几何逼近问题。经过大量的实践，人们逐渐认识到离散曲面豪斯道夫距离收敛的条件无法保证曲率收敛。如果，光滑曲面上的采样点愈来愈稠密，但是三角剖分具有愈来愈狭长的三角形，则离散曲面的曲率测度并不收敛。如果我们保证所有三角形的内角下有界，则稠密采样蕴含面积收敛，曲率收敛。这意味着离散曲面三角形最长边长趋于0并不充分，但是，如果离散曲面三角形外接圆的最长半径也趋于0，则离散曲面的曲率收敛。这一点，迅速在工业界和学术界达成共识，并且大量应用于各种商用软件。

但是，如何发展出一套数学方法，将这一观察严密化，却依然充满挑战性。这里，人们面临着抉择：一方面是被事实无数次验证过的原理，已经广泛应用于工程领域，无时不刻不在发挥着作用；另一方面，这一方法缺乏严密的数学证明，人们对它的信赖根植于日积月累的经验，如果建立其理论基础需要艰苦的创造。那么，是否真的有必要来劳心费力地证明这一“不证自明”的理论呢？

东西方思想体系的差异正是在这里！中国数千年的历史产生了璀璨的技术文明，无数精巧的技术方法层出不穷，但是却没有发展出系统的理论，从而许多技术最终失传，或毁于战火，或湮没在历史长河之中。如果理论有所传承，技术失传后还会再被发明出来；如果没有理论支撑，技术失传后就永远地失去了。古希腊的理论传统，被阿拉伯人保存，文艺复兴之后又传回欧洲，直至今日，终于造就今天科学昌明的局面。

这一次，数学家们自然也没有满足于经验性的规律，新颖严格的理论很快就被建立起来。

离散法丛理论

为几何逼近论建立的各种数学理论中，相对简洁并具有一般性的是离散法丛理论（Normal Cycle Theory）。给定一张光滑曲面，其法丛是一张光滑曲面，嵌入在中，

，

这里是在点的法向量。令是光滑曲面上的波莱尔集合，我们用来表示法丛在上的限制。

在背景空间中，有三个全局定义的2阶微分形式，我们称之为曲率微分形式，它们在理论中起到举足轻重的作用。假设背景空间的坐标是，则面积微分式：

，

高斯曲率微分式：

，

平均曲率微分式：

奇妙的是，曲率微分在法丛上的积分等于曲率测度，

，

，

。

我们知道高斯曲率是内蕴的，通过法丛和曲率微分形式，我们将其转换为外蕴。

然后，我们需要定义离散曲面的离散法丛。构造方法也是非常直观。假设是一个四面体，其上任意一点，过p的平面被称为支撑平面，如果整个四面体在的一侧。点p处所有支撑平面的法向量集合被称为点的法锥，记为

，

那么，四面体的离散法丛定义为

。

我们可以将四面体替换为中任意的凸集合，例如三角形，线段，甚至离散点。

图5.包含-去除公式

给定一个封闭离散曲面（多面体），我们将的内部三角剖分，得到四面体网格，其四面体集合记为。我们利用如下的包含-去除法则来定义离散曲面的离散法丛，：

，

图5是包含-去除公式的示意图。

我们令为离散曲面上的任意波莱尔集合，和光滑情况相似，则曲率微分形式在离散法丛上的积分等于离散曲率测度，

，

，

。

为了证明光滑的曲率测度和离散的曲率测度相近，我们需要证明对一切，其最近点映射的像为，离散法丛和光滑法丛在中接近。换言之，如果我们能够用离散法丛来逼近光滑法丛，则离散曲率测度必然收敛到光滑曲率测度。

假设我们在光滑曲面上稠密采样，然后三角剖分得到离散曲面。利用初等微分几何，我们可以证明如果离散曲面的三角形边长为，最小三角形内角下有界，或等价地，所有三角形外接圆半径小于，这里k是一个不依赖于三角剖分的常数，则如下断言成立：

1. 对于离散曲面上的一切点，，

2. 对于离散曲面上的一切点，

3. 对于离散曲面上的一切区域，离散法丛和光滑法丛在空间上所围成的柱体体积为，这里常数和的面积和周长有关。

   
   

由曲率测度-法丛积分公式，我们得到：

进一步估计，我们得到高斯曲率测度间的距离为

因为有界，体积为，因此离散曲率测度和连续曲率测度之差为。同理可证，离散曲面面积和连续曲面面积之差为。

从而离散曲率测度收敛到连续曲率测度，面积收敛精度为，高斯曲率和平均曲率收敛精度为。

计算方法

图6. 基于黎曼映照和Delaunay加细算法的Remeshing方法，这种方法得到的离散曲面保证曲率测度收敛。

在数字几何中，如何三角剖分一张给定的光滑曲面使得逼近精度足够高，一直是中心问题之一。如上图所示，左帧的三角剖分有很多狭长的三角形，在曲面上用有限元方法解椭圆形偏微分方程，数值解可能不收敛到光滑解，同时数值系统的稳定性较差。右帧的三角剖分质量很高，足以保证数值稳定性和收敛性。计算方法是以离散法丛理论为指导。我们知道，为了保证曲率收敛，我们需要两个条件，第一个是三角形的变成足够小，第二个是三角形的内角下有界。我们首先解决平面情形，然后推广到曲面情形。

图7.Delaunay三角剖分

给定平面点集，以这些点为顶点的三角剖分不唯一。其中有一种剖分最为奇特，被称为Delaunay三角剖分。如上图所示，每一个三角形的外接圆内不包含第四个点。可以证明，Delauay三角剖分最大化最小内角。令为平面上的凸区域，我们沿着边界采样，使得任意两个采样点之间的距离为。计算Delaunay三角剖分，如果有一个三角形其外接圆半径大于，则将其外心加入到采样点集合中，重新计算Delaunay三角剖分。重复如上步骤，直至所有三角形其外接圆半径都不大于时停止。可以证明，在此过程中，最短边长一直不小于，算法停止后，所有三角形其外接圆半径都不大于，所有三角形边长不大于2，因此最小角大于30度。这一类算法被统称为Delaunay细化算法，它满足了曲率收敛的两个条件。

给定单联通曲面，我们首先用保角变换将其映到平面的单位圆盘上，然后在其平面像上用Delaunay细化算法得到三角剖分，由保角变换将平面三角剖分拉回到曲面上。因为映射保持角度不变，同时面积变换有界，曲面上的三角剖分依然满足两个条件：边长足够小，内角有界，因此曲率收敛性得以保障。

图8.曲面单值化定理。

对于拓扑复杂的曲面，我们可以保角地把它们映到三种空间中的一种，球面，平面或者双曲圆盘，如图8所示。我们可以在这三种标准空中施行Delaunay细化算法得到三角剖分，再拉回到曲面上，因为映射保角，而Delaunay三角剖分最大化最小角，如果三角剖分足够精细，则拉回剖分依然是Delaunay三角剖分。由此，我们证明了存在光滑曲面的离散化方法，保证离散曲率测度收敛到连续曲率测度。从而，我们从离散高斯-博内定理推出了连续高斯-博内定理，实现了陈省身先生的预言！

讨论

这里，我们只对二维曲面进行了讨论。高斯-博内定理和法丛理论都可以推广到高维空间，因此原则上，这篇文章的方法和结论在高维空间也是成立的。着重考虑之处在于，Delaunay细化算法在高维空间中能否保证外接球半径一致收敛。

陈省身先生关于几何基本规律和光滑性无关的真知灼见为数字几何的发展指引了方向。目前，由于计算机技术的飞跃发展，对离散几何理论提出了空前的要求。许多几何学家和计算机科学家正在联手，试图将基本的几何定理推广到离散流形上面。后面，我们会仔细介绍离散曲面Ricci曲率流和离散曲面单值化定理。

【1】Huibin Li， Wei Zeng, Jean-Marie Morvan, Limin Chen.Surface Meshing with Curvature Convergence. IEEE Transaction on Visualization and Computer Graphics, 20(6):919-934 (2014).

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