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计算共形几何是计算机科学和纯粹数学之间的交叉学科，其目的是将现代几何，经典几何的概念和定理转化为计算机算法，为工程实践服务；同时，用组合离散的方法给出经典几何定理的构造性证明，换言之，用计算机算法语言从头构建经典的共形几何理论，从而绕过了历史上传统的逻辑链条。

用组合离散方法重建光滑流形上的几何结构，许多数学工具无法直接使用，例如经典复变函数论的所有方法，曲面微分几何的方法，因此其理论发展困难重重。但是，绝大多数深刻的几何定理能够被推广到离散情形，其内在的思路和直觉是一脉相承的。许多问题的连续证明非常简单，但是离散证明却异常困难，例如刘维尔定理：曲率非负的空间不存在正的非常数调和函数；许多定理的离散证明直接了当，但其连续证明却曲折晦涩，例如高斯-博纳定理：曲面全曲率被拓扑控制。在连续和离散的范畴之间自由游走，自然会领略到独到的风景。

计算机是人脑的延长物，一切抽象的概念和理论一旦被计算机科学所内化，就会被芸芸众生所感知，所体验，从而真正转化为物质力量，用于改造自然和人类社会。例如共形结构的概念，在历史上只存在于职业数学家的脑海里面，他们坚信这一自然界的结构，用理性的思维去摸索探查，虽然情深意长，心醉神迷，但是无法将其感受直白地传达给其他人。一旦共形结构的算法被发明出来，所有人都可以用计算机来观察体验这一自然结构，其实在性和普适性立刻变得无可辩驳而浅显自明。而这，正是人类思想进步的必由之路。

计算共形几何的核心是共形结构。具有共形结构的曲面是黎曼面。共形结构的研究方法有很多种，复分析，代数几何和微分几何。我们所采用的微分几何的途径，换言之，通过黎曼度量来研究共形结构。可定向曲面上的黎曼度量天然地决定了一个共形结构，其决定方式由等温坐标给出（陈省身证明）。等温坐标的存在性由拟共形映射的存在性所保证（可测黎曼映照定理）。可测黎曼映照定理的证明由辅助度量下的Ricci曲率流给出。由此，所有真实生活中的曲面都具有三维欧式空间所诱导的黎曼度量，因此都具有天然的共形结构。共形几何的普适性由此得以保障。

度量曲面上共形结构的计算方法分为三大类：调和映照，全纯微分和Ricci曲率流。

调和映照和共形映射之间的关系微妙。共形映射必然调和，反之则不尽然。拓扑球面间的调和映射必为共形映射，这是因为球面上的全纯二次微分必为零。给定高亏格曲面，共形映射未必存在，若像曲面曲率处处为负，则拓扑度为一的调和映射必为微分同胚（丘成桐定理）。调和映照的具体算法是非线性热流。

全纯微分的计算方法是基于Hodge理论，本质上是说黎曼流形上椭圆形偏微分方程的解空间的维数被流形的拓扑所控制。一个全纯微分由两个相互共轭的调和微分形式所组成。每一个deRham上同调类中，调和微分形式存在并且唯一。由于所有计算都是在离散流形上展开，光滑流形上的deRham上同调被离散流形上的单纯上同调所逼近。上同调群和下同调群同构，因此我们通过计算下同调群的基底来构造对偶上同调基底。经典代数拓扑中，单纯下同调群的计算方法是代数方法，亦即整数矩阵的标准型（Smith Norm）。但是整数矩阵的阶正比于离散流形的单形个数，动辄数万，现实中无法实用。因此，我们采用组合方法将单纯复形转化为CW复形。组合方法实际上给了我们更多，同伦群对于流形拓扑的刻画更为精密。但是，同伦群的不可交换性使得许多计算拓扑问题成为不可解问题。由同伦群引发的覆盖空间概念，特别是万有覆盖空间可以极大地简化底空间上的拓扑问题。底空间中的圈被提升为万有覆盖空间中的路径，底空间的同伦群被转化为万有覆盖空间的覆盖变换群。全纯微分作用于同伦群基底所得到的周期矩阵是黎曼面的共形不变量。全纯微分之积得到全纯二次微分。全纯二次微分统摄了黎曼面上所有的叶状结构（foliation）。曲面自同构的同伦类构成的曲面映射类群在所有的叶状结构空间上的作用本质地反映了曲面自同胚的特性。

Ricci曲率流 可以从给定的曲率来得到相应的黎曼度量，并且和初始度量共形等价。Ricci曲率流解的存在性，唯一性，以及离散曲率流的解到连续曲率流的解的收敛性是我们研究的重点。

首先，我们将光滑曲面用多面体曲面近似。我们证明存在光滑曲面的三角剖分方法，使得离散曲面的曲率测度收敛到光滑曲面的曲率测度。证明依赖于离散法丛(normal cycle)理论的建立，这一理论的本质是说离散逼近要逼近曲面本身，更要逼近曲面的法丛。多面体曲面的高斯-博纳定理是组合技巧的平庸推论，由我们的逼近理论可以推出光滑曲面的高斯-博纳定理。经典高斯-博纳定理的证明是依赖于曲面光滑外微分和活动标架法。活动标架法导出了联络形式和曲率形式，曲率形式的超渡显示了曲面单位切丛的非平凡性。

经由余弦定理，我们得到微分余弦定理的对称性，由此构造了离散曲面上的熵能量，熵能量的梯度流就是Ricci曲率流。熵能量的凸性蕴含着Ricci曲率流解的唯一性，或曰局部刚性。

离散Ricci曲率流人为被三角剖分所桎捁，动态保持三角剖分的Delaunay特性使得曲率流更为灵活自然。我们将离散曲面上的顶点视为奇异点，考察曲面上所有的以顶点为奇异点的平直度量所构成的Teichmuller空间，和同样拓扑曲面上所有的Penner's 带装饰的双曲度量构成的Teichmuller空间。一个关键的观察是我们可以建立两个Teichmuller空间之间的微分同胚，使得Delaunay三角剖分被保持。这样，离散Ricci曲率流解的存在性得以证明，从而推出离散曲面的单值化定理：所有带度量曲面，其度量可以共形地形变为带有常值高斯曲率的度量。

离散Ricci曲率流解到光滑解的收敛性本质上等价于离散图上的调和函数梯度估计。给定一个无穷图，如果其体积增长率为二次，则其等效电阻为无穷大，其上不存在正的非常数调和函数。另一种解释是如果无穷图和欧式空间粗糙等距，则其上不存在正的非常数调和函数。依随三角剖分的不断加密，其极限图上不存在有界调和函数。离散Ricci曲率流中的离散共形因子函数恰为调和，由此必为常数，因此离散曲面的局部变换为相似变换，必然共形。梯度估计可以推测热核估计，热核决定了黎曼度量。我们证明了离散热核决定离散度量。

模空间和Teichmuller空间 固定曲面拓扑，其上所有可能的共形结构形成的空间为模空间，模空间的万有覆盖空间为Teichmuller空间，其覆盖变换群为曲面映射类群。每一个曲面自同胚都诱导Teichmuller空间的一个自映射。但是有时这一映射存在不动点，所以模空间不是流形，而是orbifold。

给定两个共形结构，它们之间的每一个微分同胚都对应着一个Beltrami微分。Beltrami微分的几何解释是微分同胚将无穷小椭圆映成无穷小圆，椭圆的偏心率和长轴方向定义了Beltrami微分。所有微分同胚中，存在唯一的一个最为接近共形映射，被称为Teichmuller映射。这时，在源曲面和目标曲面上，存在全纯二次微分，Teichmuller映射保持水平轨迹的结构，并在全纯二次微分诱导的自然坐标下为仿射变换， 同时其Beltrami微分由全纯二次微分给出。由此，一个共形结构上所有全纯二次微分构成的空间就是此共形结构在Teichmuller空间上的切空间，切空间和整体空间同构，从而Teichmuller空间为单连通的。每条全纯二次微分空间中的射线定义了Teichmuller空间的一个边界点，如此我们得到Teichmuller空间的紧化。

曲面映射类作用在紧化的Teichmuller空间上，由Brower不动点定理，存在不动点。根据不动点的个数可以将映射类进行分类：周期映射，保持某个双曲度量不变；pseudo-anosov映射， 保持两个叶状结构不变；可降解映射，保持一族简单闭曲线不变，将曲面沿着不变闭曲线切开，映射在每一个连通分支上的限制都可归结为以上两类映射之一。

为了将理论从经典光滑流形推广到离散空间，我们应用并发展了如下的理论工具：图上的调和分析，微分余弦理论，离散法丛理论，曲面有限元理论，图论，单纯同调理论，凸几何理论，离散Hodge理论，离散Ricci流理论。

由此，学习了这门课程，我们可以完成如下的计算任务：

1. 给定任意维流形的单纯剖分，我们可以计算其CW复形分解，得到其上下同调群，和一维同伦群。

2. 给定带度量曲面，我们能够计算deRham上同调群，得到调和微分，全纯微分形式和全纯二次微分。

3. 给定带度量曲面，经由全纯微分形式，得到曲面共形结构，进一步得到曲面共形模。
   

4. 固定共形结构，我们用Ricci曲率流，可以得到同共形等价的所有可能的黎曼度量，特别是曲面单值化度量。

5. 固定曲面拓扑，我们用全纯二次微分，可以得到所有可能的共形结构。

6. 固定两个黎曼面，我们用Beltrami微分和辅助度量方法，可以得到它们之间所有可能的微分同胚。

展望未来，我们希望如下问题在近期内得以彻底解决：

1. 如何计算Teichmuller映射对应的全纯二次微分；

2. 如何精准地表示曲面上所有的叶状结构构成的空间，如何表达曲面映射类群在此空间上的作用；

3. 如何找到曲面映射类的不变度量，不变叶状结构；

4. 粗糙等距下，图的梯度估计如何保持；

5. 度量曲面的共形欧式嵌入浸入。

十五年前这一切概念只存在于抽象的数学之中，现在已经成为计算机科学的中心腹地。计算共形几何已经从一粒种子生长成一棵幼树，虽然矮小单薄，但是生命力强大。她为我们提供了一个崭新的方式去体验自然的真理，用眼（可视化），用手（编程），用脑（推理），用心（审美），更用计算机。。。

【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。

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