“假如有一只具有高度智慧的蚂蚁，生活在一张曲面之上，无法跳离。终期一生，这只蚂蚁从未离开过曲面，他也从未有过三维的概念。那么，这只蚂蚁能否判断他所生活的空间是否存在一个高维的“洞”，换言之，他所生活的曲面是更象球面，还是更象轮胎？”

当然，您可能对这个问题嗤之以鼻，因为相对于蚂蚁，我们人类能够看到第三维啊！有没有“洞”，一目了然。且慢，我们生活在四维时空之中，我们没有高维的概念，那么我们整个宇宙是否存在更高维的“洞”呢？从这一点而言，我们和蚂蚁没有本质的差别。

图1. 拓扑球面和拓扑轮胎面。

这是现代拓扑学之父庞加莱（Henry Poincare）曾经深入思考过的问题。如上图所示，小猫曲面具有一个环柄，具有三维的“洞”。那么，这个“洞”是因为曲面嵌入在三维欧式空间中所产生的吗？换言之，这个“洞”是曲面和三维空间的相对关系，还是曲面自身内蕴的特性？

图2. 拓扑轮胎曲面上，存在无法缩成点的圈。

经过深入地思考，庞加莱洞察到如下的基本事实：拓扑球面上所有的圈都能在曲面上逐渐缩成一点，拓扑轮胎上存在某些圈在曲面上无论如何都不能缩成一点。如此一来，那只聪明的蚂蚁就有方法判别曲面的拓扑：判定曲面上所有的封闭曲线是否能够缩成点！蚂蚁的判断方法不依赖背景的三维空间，蚂蚁从来也没有意识到背景空间的存在。这意味着，曲面拓扑的判断不依赖于它所嵌入的背景空间，轮胎上的“洞”是曲面内蕴的特性。庞加莱将这一思想深入提炼，发展出了同伦论。

概念

我们考察曲面上的道路，如果两条道路具有相同的起点和终点，并且一条道路能够在曲面上渐变成另外一条道路，则我们说它们彼此同伦，如图3。

图3. 道路同伦。

如果道路的起点和终点重合，则我们称之为环路。我们在曲面上选定一个基点p。考察所有从基点出发，又回到基点的有向环路，将它们进行同伦分类。

• 定义有向环路的乘法：两条环路首尾相接，构成一条更长的环路，则更长的环路为原来两条环路之积，如图4。

• 能够缩成基点的环路被视作单位元。

• 一条有向环路方向取反，所得的逆向环路被视为原来环路的逆元，如图5。

图4. 环路乘积。红色的环路是两个黑色环路的乘积。

可以直接验证，所有过基点的有向环路同伦等价类，在连接操作（乘法）下成群。这个群被称为是曲面的基本群，或一维同伦群，记为。

图5. 环路取逆。红色的环路是黑色环路的逆。

表示

拓扑空间的同伦群的概念虽然直接，但是依然抽象，我们需要更为具体实际的表示方法。一般的方法是用同构的一个群，所谓的“词群”，来表示。

首先，假设我们给定一组“字母”，例如所有的英文字母，字母组成了词。两个词拼接成一个更长的词，这定义了词的乘法。显然，“空词”是这个乘法的单位元。同时，每个字母可以求逆，例如互为逆元，它们之积为空词，即单位元。这样，所有的词在拼接的乘法下构成了一个群。这个群是由所有英文字母所自由生成的。

假设，存在一组特殊的词，“关系"，它们等价于空词。给定一个词，我们可以对其进行如下基本操作：

1. 在任何位置插入一个关系词，或关系词的逆，

2. 如果在词中，存在一个子词等于某个关系词，或关系词的逆，去掉这一子词。
   

给定两个词，如果我们能够将其中的一个经过有限个基本操作变成另外一个，则我们说这两个词彼此等价。

所有词的等价类，在拼接操作的乘法下成群，被称为“词群”。一个词群的符号表示为 {生成元，关系词} 。

可定向性

曲面的可定向性是曲面的一个基本拓扑性质。圆柱面是可定向的，莫比乌斯带是不可定向的，如图6所示。圆柱面有两个侧面，内侧和外侧，莫比乌斯带只有一个侧面。曲面的可定向性可以由如下的组合方法来判定。我们任取曲面的一个三角剖分。每个三角形面有两个定向，表示为两个相反的法向量。给定法向量，我们可以确定三条边的定向，使得它们和法向量满足右手定则。这种边的定向方式被称为是由面的定向所诱导的边定向。如果一条边和两个面相邻，则我们称之为内边。如果对每个面我们能够选择一个法向量，使得每个内边的两个诱导定向相反，则曲面是可定向的。反之，如果我们无论如何找不到这种面的定向方式，则曲面不可定向。

图 6. 可定向和不可定向曲面。

典范表示

在可定向的紧曲面上，存在基本群的生成元:

满足如下条件：

这里代表环路a和环路b的代数相交数。所谓代数相交数可以如下理解。如果环路a和环路b横截相交于一点q, 并且a的切向量叉积b的切向量和曲面在q点的法向量一致，则q的指标为+1，如果相反，则指标为-1。

如果环路a和环路b在点q相切，则q点的指标为0. 环路a和环路b的代数相交数等于所有交点的指标之和。

这种基本群的生成元被称为是基本群的典范基底。我们可以将曲面沿着一族典范基底切开，得到单连通的4g边形，所得的区域被称为是曲面的一个基本域，如图7所示。基本域的边界是

,

边界可以缩成一个点。

图7. 基本群的典范基底。

曲面上任何一条环路可以经同伦变换，使得它和典范基底只相交于基点。然后，将此环路最终分解为多个子环路的乘积，每个子环路只经过基点一次。在基本域上，每个子环路是连接两个角点的道路。道路可以同伦变换到基本域的一段边界上，由此子环路可以由及其逆生成。这证明了是基本群的生成元。因此，曲面基本群的典范表示是:

.

这里，g被称为是曲面的亏格，其直观意义是曲面上“环柄”的个数。每个环柄上有一对经度环路和纬度环路。

应用

庞加莱证明了二维曲面拓扑同胚，当且仅当它们的基本群同构。比如，如果一个封闭曲面的基本群平庸（只有一个单位元），则此曲面必为球面。庞加莱相信这对于三维流形也是对的，但是他无法给出严格证明，这就是著名的庞加莱猜测。

历经百年，庞加莱猜测被证实。三维流形拓扑同胚，当且仅当它们的基本群同构。比如，给定两个扭结，我们判断能否将其中的一个不剪断变成另外一个，这被称为是扭结同痕问题。

图8. 扭结同痕问题。

原则上，扭结同痕问题可以如下解之。我们在三维空间中挖去扭结，则补空间为三维流形。若扭结同痕，则其补空间的基本群同构。

以后我们能够看到，计算基本群的一个词群表示只需要线性时间复杂度；但是，通常来说，判定两个词群是否同构是NP难问题。这意味着本质上拓扑问题是极其非平庸的（highly non-trivial）。

【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。