在数学上，“存在性”的证明往往要比“唯一性”的证明艰难得多。对于数学家而言，为寻求存在性的证明，首先要尝试的就是“不动点理论”。最为基本而广泛的不动点理论当归功于布劳威尔。

布劳威尔不动点定理可以直观地解释如下。假设我们有一杯咖啡，我们缓慢均匀地将它搅拌，使得没有湍流和气泡产生。然后令咖啡徐缓地静止下来。我们可以断言，至少有一个分子，它在搅动前的位置和它在静止后的位置重合。有另一个解释更加广为人知。设想在桌面上有一张纸，成标准的长方形。我们将其揉皱成一团，将纸团扔在长方形内。那么，纸上至少有一点，它在纸团上的位置的垂直投影等于它在揉皱前的初始位置。

现在，我们可以比较严密地形式化布劳威尔不动点定理：假设D是n维欧氏空间中的拓扑圆盘(实心球体），f是D的连续自映射，则存在一点p，满足 f（p）=p。p点被称为f的不动点。

代数拓扑方法证明

         

图1. 圆盘到边界的形变收缩。

我们先应用同伦群的概念证明二维情形。假设 D是平面上的一个严格凸的单连通区域，映射没有不动点，那么对于任意一点p，f（p）和 p 不重合。我们以f（p）为起点，做经过p点的射线，因为D严格凸，射线和D的边界具有唯一的交点，记为g(p)，则映射为连续映射。我们考虑如下的复合映射

其中是包含映射。映射诱导了基本群间的同态，

D单连通，其基本群平庸，边界的基本群同构于整数加群Z，因此复合同态平庸，。另一方面，复合映射是恒同映射，因此复合同态应该是恒同同构：，矛盾，因此假设错误，映射f存在不动点。

这一证明可以直接推广到高维情形，只需要将一维同伦群替换为高维同伦群。高维同伦群的概念是一维同伦群概念的直接推广，差别在于将一维环路替换为高维球面。比如二维同伦群是球面的同伦类构成的群，两个过基点的球面之积依然是球面，

图2. 2维同伦群中的乘积。

组合方法证明

代数拓扑方法的证明不是构造性的，从代数拓扑的证明方法中我们无法直接得到启发设计算法。组合证明方法可以直接构造算法，从而求出不动点。

首先我们证明一个图论的命题，握手定理 ：和奇数个人握过手的人必为偶数个。

我们构造一幅图G，每个人是一个顶点，若两人握过手就在两顶点间联上一条边。那么，所有顶点的度之和等于边数的两倍，所以度为奇数的顶点必为偶数个。

图3. Sperner引理

然后我们证明一个组合的染色命题，施佩纳(Sperner)引理: 给定一个三角形ABC的任意三角剖分，我们随意给所有顶点染色。每个顶点染成红，绿，蓝三种颜色中的一种，满足下列条件：

1. 原三角形的顶点（A，B，C）分别染成（红，绿，蓝）三色

2. 在边【A,B】上的所有顶点的颜色或为A的颜色，或为B的颜色。同样的模式对于其他两边【B,C】和【C,A】也成立。

那么必然存在全色的小三角形。即小三角形具有红，绿，蓝顶点。

我们构造一幅图G，每个小三角形对应一个顶点，整个三角形ABC外部的区域对应一个顶点，记为u。如果两个小三角形相邻，共同分享一条红绿边，那么我们在图G中链接两个小三角形对应的顶点。如果有一个小三角形和外部区域相邻，公共边染色为红绿，在G中链接小三角形对应的顶点和u。根据握手定理，必有偶数个度为奇数的顶点。外部区域对应的顶点度必为奇数，所以必有奇数个小三角形对应这奇数度。这些小三角形必为全色三角形。

最后一步，我们用施佩纳(Sperner)引理来证明布劳威尔不动点定理。

假设p是三角形ABC中的一个点，那么p可以表示成A,B，C的线性组合：p=aA+bB+cC，这里(a,b,c)之和为+1，它们被称为p的重心坐标。令 f 是从三角形ABC到自身的连续映射，f(a,b,c)=(a',b',c')。是三角形的一个三角剖分，我们制定如下的染色方法：设一顶点的重心坐标为(a,b,c)

1. 如果 a'<a，我们将其染成红色

2. 如果 a'>=a, 但是 b'<b, 染成绿色

3. 如果 a'>=a，并且 b'>=b，但是 c'<c，染成蓝色

由施佩纳引理，必有全色小三角形。将进一步细分得到。重复以上步骤，则的全色三角形中必有的全色三角形。如此重复，每次将当前的三角剖分细分，得到，我们得到全色三角形地嵌套系列，每一系列必包含一个点。此点必为不动点。

这一组合方法构造性地证明了不动点的存在性，同时给出了不动点的计算方法。我们首先从边界上找到红绿边，进入内部，每一次前进都要从当前的三角形通过另一条红绿边进入到下一个三角形，并且永不回头。那么，每条搜索路径有两种结局，一是最终进入到一个三角形，但是无路可走，只有进入的红绿边，没有出去的红绿边，那么这个三角形必为全色三角形。二是最终回到边界，走出整个区域。在第二种情形，搜索路径和边界【AB】交于两条红绿边。【AB】上共有奇数个红绿边，所以必有一条搜索路径终止于一个全色三角形。

图4. 不动点搜索算法。

高维情形可以类似证明，证明过程中需要用到数学归纳法。

紧致性要求

布劳威尔不动点要求定义域必须是紧致的。一个集合D是紧集意味着它的任意一个开覆盖都存在一个有限的开覆盖。这是因为很多时候，映射的不动点在D的边界上。

图5. 莫比乌斯映射。

比如，我们考察圆盘到自身的同胚，莫比乌斯映射

,

在通常情况下，如果, 那么不动点必在边界上。

直接应用

布劳威尔不动点定理在经济学方面有着奠基性的作用，在偏微分方程领域也有巨大的贡献。我们这里仅介绍瑟斯顿(Thurston)在曲面映射分类方面的伟大工作，这项工作为瑟斯顿赢得了菲尔兹奖(Fields Medal)，其内在本质就是简单的布劳威尔不动点。

图6. 高亏格曲面上的双曲黎曼度量。

固定一个高亏格曲面M，亏格为g，考察曲面上所有的双曲黎曼度量（高斯曲率为-1的度量）。所有的双曲度量构成一个维数为6g-6的流形，所谓的泰希米勒空间，记为。考察曲面的一个自同胚,选取一个双曲度量, 那么自同胚将诱导一个拉回度量, 如此我们得到f所诱导的泰希米勒空间的自映射：。

所有双曲黎曼度量构成空间具有单连通的拓扑，是一个开球，加入边界点之后成为一个闭球, 诱导映射可以自然地拓展到闭球上，。根据布劳威尔不动点定理，诱导映射存在不动点。如果不动点为的内点，这意味着存在一个特殊的双曲度量，以及一个和f同伦的自同胚,  诱导的拉回度量等于初始度量，。

如果，的不动点在闭球的边界上，情形比较复杂。如果只有一个不动点，则曲面M上存在一族分离的简单闭曲线, 这里

是曲面上不自相交的闭曲线。在曲面自同胚下保持不变，。

如果，在闭球的边界上有两个不动点，则在曲面M上存在两个叶状结构，在映射下不变。所谓叶状结构，就是将曲面（挖掉几个点）分解成一族曲线，每条曲线被称为一片叶子，挖掉的点被称为是奇异点。曲面自同胚保持叶状结构就意味同胚将每片叶子映成自身，将奇异点映成自身。

图7. 曲面的叶状结构。

瑟斯顿的工作无疑是艰深的，如何理解所有双曲度量构成的空间是拓扑开球，如何理解泰希米勒（Teichmuller）空间的紧化，为什么黎曼度量的极限是叶状结构？这些问题都需要深入的几何知识，我们会在未来逐步展开讲解。

计算的挑战

虽然不变度量和不变叶状结构的理论早已建立，迄今为止并没有算法能够算出它们，甚至叶状结构也没有成熟的数据结构。泰希米勒空间的维数是有限的，在组合布劳威尔不动点的框架下，这些概念应该可以被计算出来。这需要三角剖分所有双曲度量构成的空间，和叶状结构构成的空间，同时需要和给定黎曼度量共形等价的双曲度量。我们期待，在不久的未来，这一方面将会有所突破。

您可能会问，不变度量有什么用？为什么要算出它们？我们的回答一如既往：因为它们是自然的一部分，它们就在那里。。。

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。

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