历史上，庞加莱问了如下的问题：如果一只具有高度智慧的蚂蚁从出生起就一直生活在一张曲面上，他（她）没有任何三维的概念， 那么这只蚂蚁如何判定这张曲面是否存在“孔洞”？换言之，蚂蚁如何理解这张曲面的拓扑？为此庞加莱发明了代数拓扑，用同伦群的概念完美地加以解决。

后来，爱因斯坦的小女儿问他“为什么你那么有名？”爱因斯坦给她讲了蚂蚁的故事，然后说“别的蚂蚁都以为这张曲面是平直的，只有我这只蚂蚁看出来空间是弯曲的。” 今天，我们漫谈如何用活动标架法来发现曲面的内蕴几何。

曲率  空间弯曲的精确表示是各种各样的曲率张量。曲率本身是抽象而费解的概念。直观而言，几何中的曲率就是物理中的力。比如，我们沿着一条空间曲线速度恒定地开车，我们所感受到的力就是曲线的曲率。

图1.曲线的密切圆。

假设我们沿着一条空间曲线驾车，，如果曲线是圆周，则我们受到的向心力为：

,

和半径成反比，因此圆周曲率为半径的倒数。一般空间曲线，我们固定一点，则存在唯一的圆和曲线在此点至少二阶相切，这个圆被称为是曲线在此点的密切圆。曲线在的曲率就是密切圆半径的倒数。当点沿着曲线变动时，密切圆所在平面也随之变动，密切平面变动的速率被称为是曲线的挠率。曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状。

图2. 曲线的Frenet标架。

我们可以比较形式化，严格地写下曲线的标架运动方程。首先，我们将曲线的时间参数换成弧长参数，

，

曲线的切向量定义为：，曲线的二阶导数为曲率向量，，这里表示曲线的曲率，是单位向量表示方向，被称为是曲线的法向量。密切圆平面的法向量

，被称为是次法向量。法向量关于弧长的导数在次法向量上的投影被称为是曲线的挠率，。构成随曲线变动的标准正交标架场，被称为是曲线的Frenet标架场，满足如下运动方程，

。

从曲率和挠率，我们可以通过解常微分方程来重建曲线。

图3. 曲面的主曲率和主方向。

欧拉的观点 曲面的情形比较复杂，欧拉认为曲面是由曲线编制而成，通过用曲线曲率，我们可以刻画曲面的几何。固定曲面上一点，任选一切方向，法向量和切向量张成一张平面，平面和曲面相交于一条平面曲线，曲线在p点的曲率被称为是曲面在p点沿着方向的法曲率，记为。当我们旋转切向量时，法曲率连续变化。有两个相互垂直的方向，对应的法曲率取得最大值和最小值。被称为主曲率，被称为主方向。主曲率的均值被称为平均曲率，主曲率之积被称为高斯曲率。

图4. 曲面上的主曲率线。

Weigarten 映射 假设是一光滑曲面（光滑二流形），光滑嵌入在三维欧式空间中，这里是位置向量。任给一点，我们任取局部参数。曲面的法向量场记为，所谓高斯映射（Gauss Map）就是将位置向量映射到法向量：。高斯映射的导映射被称为是 Weigarten 映射，，Weigarten 映射将点处的切平面映到法向量处的切平面，，在局部坐标下：

。

Weigarten 映射是平面之间的线性映射，并且是自共轭的，。Weigarten 映射的特征根被称为是曲面在点处的主曲率，对应的特征方向被称为是曲面在点处的主方向。Weigarten 映射的行列式的值被称为是点处的高斯曲率。直观上，高斯映射将曲面上临域映到单位球面上区域，球面区域和曲面区域的面积比就是高斯曲率。曲面面元等于，球面面元是，因此高斯曲率为

。

活动标架法 (Movable Frame Method)  我们在曲面上任取一个光滑切矢量场，要求所有的零点都是孤立的，零点集合记为。由Hopf矢量场零点指标定理，我们有：

。

围绕每一个零点，我们挖掉一个小圆盘，

。

我们将矢量场在带洞曲面上归一化，得到矢量场，我们将曲面法向量场作为，根据右手定则，我们得到带洞曲面上的一个正交标准标架场。

我们对位置向量求外微分，，然后将关于标准正交基底分解，没有法向分量，

于是我们得到，这里

，

由此，我们得到曲面的面元 。同样，我们对标架的基向量求微分，

，

因为，，所以。我们得到曲面的结构方程，

，

曲面微分几何的所有奥秘都在这一结构方程里，揭示奥秘的法门在于梯度场的旋量为0，。

曲面的第一基本形式(The first fundamental form) ，即曲面的黎曼度量(Riemannian Metric):

曲面的第二基本形式(The second fundamental form)，

。

下面我们推导Weigarten映射，，。

构成余切空间的基底，因此存在矩阵

,

这个矩阵就是Weigarten映射的表示。我们由得到

,

所以矩阵为

。

这一矩阵表示和局部坐标选取无关。

由我们得到

高斯方程：

和Codazzi方程

。

由，我们得到

，

所以这些方程构成了曲面标架场的结构方程。曲面由其标架的结构方程所决定。

图5. 兔子曲面上的曲率。

高斯绝妙定理（Theorema Egregium） 由以上的高斯方程，我们得到高斯曲率的等式：

，

或者等价的

。

我们在定义高斯曲率的时候首先要求曲面是嵌入在三维欧式空间中，然后通过法向量定义高斯映射，高斯映射的雅克比矩阵的行列式的值被定义为高斯曲率。在这个逻辑链中，嵌入必不可少，所谓法向量就是曲面在所嵌入的背景空间中的补空间。

但是，高斯方程告诉我们，为了计算高斯曲率，我们只需要和它们的导数，

,

这意味着所有的运算只需要切空间，和法向量没有关系。更进一步，

我们只需要知道即可，这等价于黎曼度量。因此，高斯曲率是内蕴的，就是说高斯曲率只和曲面的度量有关，和曲面的具体嵌入无关。比如，我们将一张纸卷成一张圆柱面，纸上任意两点间的测地距离没有发生改变，因此黎曼度量没有改变。主曲率改变了，但是高斯曲率没有变化。

我们考察一个具体的算例，以加深印象。给定一个曲面，上面配有一个黎曼度量，陈省身先生证明曲面局部存在所谓的等温参数，度量张量具有非常简洁的形式：

。

通过直接计算，我们得到

因此高斯曲率的公式：

。

在历史上，人们一直把曲面看成是欧式空间的子集，通过曲面在欧式空间中的嵌入来研究曲面的几何。高斯的发现彻底地改变了人类的思想，曲面本身就是一个独立的空间，它的存在不依赖于背景空间，也不依赖于嵌入方式，曲面的度量决定了自身的内蕴几何。那只聪慧的蚂蚁的确能够在没有三维空间的概念下，判断曲面是否弯曲。高斯绝妙定理，也成为黎曼几何的发轫。

下一篇，我们将简述如何用今天探讨的微分几何语言来定义纤维丛的陈省身示性类。

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。