人类主要的思维活动由大脑所主宰。大脑的几何形状和人的智力水平之间的关系一直是饶有兴趣的话题。如何用严密的方法定量或定性地证实或证伪大脑皮层的几何特征和智力水平间的相关性是一个非常具有挑战性的问题。大脑皮层曲面的几何复杂性是这一挑战性的原因之一。如图所示的两个大脑皮层曲面，我们能够通过考察它们复杂的几何来判定哪一个更聪明吗？

最近一个由脑神经科学家，计算机科学家和几何学家组成的团队运用几何方法和机器学习的方法试图对这一问题给出系统的回答。

首先，五十名男性和五十名女性志愿者接受了智商测试，同时用核磁共振方法将他们的大脑皮层扫描。志愿者的年龄在18岁至30岁之间。核磁共振的图像经过滤波，分割，重建等处理步骤，得到大脑皮层曲面。然后，一种特殊的度量被设计出来以定量地衡量这些大脑皮层曲面之间的相似程度。

那么，如何衡量两个概率测度之间的距离呢？假设 $\mu$ 和 $\nu$ 是复平面上的两个测度，具有相同的总测度 $\int_{\mathbb{C}}\mu = \int_{\mathbb{C}}\nu$ 。假设 $h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 是复平面的保测度的自同胚，令是任意一波莱尔集合，则B的测度等于其原像的测度 $\int_{h^{-1}(B)}\mu = \int_B \nu$ ，记为 $h_{\#}\mu=\nu$ 。映射的传输代价为 $E(h):=\int_{\mathbb{C}} |z-h(z)|^2 \mu(z)dxdy$ 。在所有保测度的自同胚中，使得传输代价最小者被称为最优传输映射，最优传输代价被称为测度 $\mu$ 和 $\nu$ 之间的Wasserstein距离。可以证明，Wasserstein距离是平面上所有测度组成空间的黎曼度量，它给出了不同大脑曲面之间的距离。
根据丘成桐先生的理论，最优传输映射可以如下得到。存在一个凸函数 $u:\mathbb{C}\to\mathbb{R}$ ，其梯度映射为 $(x,y)\mapsto \nabla u(x,y)$ 给出了最优传输映射。由保测度性质，我们得到如下的蒙日-安培方程：
$det\left( \begin{array}{cc} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&\frac{\partial^2u }{\partial x\partial y}\\ \frac{\partial^2 u}{\partial y\partial y}&\frac{\partial^2u }{\partial y^2}\\ \end{array} \right )\mu(x,y) = \nu\circ \nabla(x,y)$

这一非线性的方程的解存在并且本质上唯一，其解法等价于一个凸优化问题。

【参考文献】Zhengyu Su, Yalin Wang, Rui Shi, Wei Zeng, Jian Sun, Feng Luo and Xianfeng Gu, Optimal
Mass Transport for Shape Matching and Comparison, IEEE Transactions on Pattern
Analysis and Machine Intelligence (TPAMI), 2015