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清华笔记:计算共形几何讲义 (15)拓扑圆盘的调和映照 精选

已有 2605 次阅读 2019-9-10 12:27 |系统分类:科研笔记

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图1. 从三维人脸曲面到平面圆盘的调和映照。

【上课时间:每周二和周四上午9:50-11:20AM;地点:清华大学,近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友,前来旁听指导。】

我们前面的课程介绍了亏格为0带边界曲面的典范共形映射,包括古典理论和基于全纯微分的计算方法。这里,我们着重介绍拓扑球面到标准球面的典范共形映射,主要是基于调和映照理论。

简介

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物理解释

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偏微分方程理论的解释

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图2. 曲面的三角剖分。

偏有限元的计算方法

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图3. 最速下降法和共轭梯度法对比。

共轭梯度法每一步的下降方向和椭球面切方向相互共轭(仿射正交),也跟以前所有下降方向共轭,从而直达椭球中心,直截了当,迅速高效。理论上,如果矩阵为n维,则共轭梯度法必在n步内达到最优。

微分几何的解释

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Rado定理

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图4. 调和映射是微分同胚,并且接近共形映射。

工程上偏爱调和映照的另外一个原因是调和映射接近保角映射,因此曲面的角度畸变比较小,如图4所示。通常意义下,共形映射是调和映射,调和映射不一定是共形映射

原文发布在【老顾谈几何】公众号 (2017年7月30日)



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