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清华笔记:计算共形几何讲义 (9)全纯微分 精选

已有 2649 次阅读 2019-5-13 00:04 |系统分类:科研笔记


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双全纯函数

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图1. Escher 效果:双全纯函数是复平面间的共形映射。

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黎曼面

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图2. 黎曼面的概念。

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黎曼面和黎曼度量

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黎曼面之间的全纯映射


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图3. 黎曼面间的双全纯映射。

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亚纯微分

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黎曼面上的微分形式的定义非常抽象,但是其背后具有非常丰富的几何内涵,对理解黎曼面的几何具有根本的重要性。(1,0)型的全纯微分,被称为是全纯1-形式(holomorphic 1-form)。全纯1-形式可以用于计算曲面的共形不变量,计算共形等价的曲面间的共形映射;(2,0)型的全纯微分,被称为是全纯二次微分(holomorphic quadratic differentials)。全纯二次微分可以用于计算曲面的叶状结构(foliation),非共形等价的曲面间最接近共形映射的极值映射;(-1,1)型的微分被称为是Beltrami 微分,固定两个黎曼面,则Beltrami微分控制了曲面间的微分同胚;全纯四次微分可以用于计算曲面的实射影结构。

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  图4. 全纯1-形式的算法。

全纯1-形式的计算

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由此,我们可以计算曲面全纯一形式(holomorphic 1-form)群的基底,如图5所示。

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图5. 亏格为2的曲面上全纯1-形式群的基底。


黎曼面上所有的全纯1-形式构成一个维复向量空间,通过复线性组合基底,我们可以遍历所有可能的全纯1-形式。根据实际应用的需要,我们从中挑选最优者,如图6所示。

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图6. 黎曼面上的全纯1-形式构成复线性空间。


全纯1-形式的计算

我们下面用亏格为一的曲面来解释如何使用全纯1-形式来计算几何问题。

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图7. 亏格为一的曲面的共形模。

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原文发布在【老顾谈几何】公众号 (2017年7月14日)




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