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清华笔记:计算共形几何讲义 (4)单纯同调 精选

已有 6038 次阅读 2019-4-17 09:14 |系统分类:科研笔记

 

程,我绍单纯。在代数拓扑中,有单纯、奇异同de Rham。它所用的数学工具不同,但是理彼此等价。1出了本程的视频链接。

 

基本方法

代数拓扑的目的是将拓扑范畴的问题转换成代数范畴的问题,用代数方法加以解决。最基本的问题之一就是判断两个拓扑空是否同胚。在理想情形下,我们为每一个空配上一系列群构,如果些群彼此同构,拓扑同胚。但是,目前代数拓扑的方法没有到达一程度。同群同构只能推出空间伦型等价。型等价远远弱于拓扑等价。

 

调论的基本方法是将流形三角剖分,然后将子流形表示成形的线合,所有的子流形构成线性空。将拓扑算子(边缘算子)表示成线性算子(矩),用线性代数的方法来取拓扑信息。

 

方法将低秩、稀疏,高度非线性的拓扑性质变换成高线性运算,非常具有启

拓扑去噪应用

1. 曲面上的柄圈(绿 handle loop)、隧道圈( tunnel loop)。

 

1所示,定一个嵌在三欧氏空中的高格曲面,曲面将三欧氏空内部和外部存在一族同群的基底,。直上,其中有条圈在内部可以成点,但在外部中无法成点,它构成外部空的同群的基底,被称是隧道圈(tunnel loop);另外条圈在外部中可以成点,但在内部中无法成点,它构成内部的同群的基底,被称柄圈(handle loop)。柄圈和隧道圈于医学像具有重要意

2. 医学像中的拓扑去噪。

 

2所示,我CT层扫描技术获取直切面像,经过曲面复建得到直曲面。由于像分割的差,复建的曲面有很多虚假的格(柄)。在实际应用中,我需要检测这些虚假格。柄非常微小,用肉眼无法直接检测。唯一的方法就是通过计算拓扑方法得到,往往依于曲面的柄圈和隧道圈的算法。

单纯同调理论

 

于曲面而言,同群和同群保留了相同的信息,因此彼此等价;于三流形而言,同群反映的信息远远多于同群,同于同群。但是,同群本身非阿贝尔群(非交群),判定两个非阿贝尔群是否同构是非常繁问题。相反,同群是同群的阿贝尔化,阿贝尔群的算只需要线性代数。


0.群是非阿贝尔群。

 

所示,无法在曲面上成一个点,因此同群中,同,我得到。因此2的曲面的同不可交

 

们记的中心交子群所有形如生成的正子群,

那么商群

一阿群,即曲面的一下同群。话说群是同群的阿贝尔

 

在同群中不是位元,但是在同群中却是位元。几何上来看,将曲面分成两个通分支,是其中一个分支的边缘意味着,在同群中,边缘环路被视为单位元。

 

群概念的要在于:边为空,圈和的差就是同

 

群的概念

 

单纯复形是曲面三角剖分的直接推广,但是单纯复形可以表示更广泛的拓扑空,例如非流形的空

 

单纯 中一般位置的个点维单纯形是些点构成的凸包(convex hull)

为单纯点。如果另外一个单纯包含在中,,我的一个面。

 

单纯形是有定向的,每一个单纯形有两个定向,单纯形的定向由其点的排列出。我数列的所有排列,它构成称群,其中所有由偶次对换(即只交两个数的位置)构成的子群记为。如果排列属于则单纯的定向正,反之定向为负

 

通常意下的点,线段,三角形,四面体就是03单纯形。

 

单纯复形 单纯形粘在一起就构成单纯复形。所一个单纯复形就是一组单纯形的并集,足两个条件,

1.  如果一个单纯属于,那么的所有面都属于

2.  如果两个单纯形都属于,那么或者它的交集空,或者它的交集是它共同的一个面。

 

通常意下,曲面的三角剖分就是单纯复形。


1. 复形上的12维链

 

 定一个单纯复形,一个维链就是所维单纯形的线合,如1所示,

,

所有的维链在加法下成一阿贝尔群(可交群),记为,

.

其中零元的逆元.

 


2. 边缘算子。

 

边缘算子 维边缘算子是群之的一个同

,

作用在单纯形上

,

作用在

上,边缘算子就是剥离每个界。

 

直接算,我可得到

亦即边为

 


3. 闭链和开

 

 维链被称闭链,如果。所有的维闭链构成的一个子群,记为;如果存在一个维链,那么被称是恰当,所有恰当构成一个子群,记为。因为边边为空,所以恰当为闭链

单纯复形,我得到复形,


具有条件

 


4. 恰当闭链和非恰当闭链

 

上所述,(恰当)一定是圈(闭链),圈可能不是圈和的差就是同

 

4所示,左帧显示了恰当的闭链,每一个闭链都包着一个曲面区域,因此是边缘。右是非恰当的闭链并不包任何一个曲面区域。如果我把曲面沿着切开,我得到一个筒面筒面有两个边缘线

但是本身并不构成筒面界。

 

单纯复形的所有同群放在一起,记为

 

群的

 

曲面一群的基底和曲面基本群基底相同,我可以用基本群的合算法来算一群基底。高群的算法基于线性代数的矩特征和特征向量算法。

 

可以将视为线性空边缘算子线性算子,因此可以被表示。假复形所有的维单纯

们线维链

复形所有的维单纯

们线维链

边缘算子具有矩表示,

,

接数是一个整数,定如下:如果0;如果的一个边缘面,+1;如果的一个边缘面,-1

 

如此,我构造离散拉普拉斯算子:

,

的基底是对应0特征根的特征向量。

 

里,是整数矩,存在Smith 准型(Smith Normal Form):存在可逆整数矩为对

整除,并且

是所有子矩行列式的最大公因子。

 

型不

 

单纯映射 是拓扑空连续映射,我可以将MN单纯复形来逼近,同映射本身可以用所单纯映射来逼近。所谓单纯映射,就是说对M中的任意一个单纯,其像N中的单纯形。定一个连续映射,我可以将MN一步(subdivision),在分后的复形上定义单纯映射来逼近连续映射。可以明,于任意定的差,我可以将MN分的足够细腻,使得单纯映射和连续映射的差小于定的阈值单纯映射可以表示成分片线性映射,中,我们显示一个单纯映射的例,从小女孩的雕像到位球面的形现实生活中,所有的画都是基于单纯映射的理

 

映射 CDMN复形,

单纯映射诱导复形之的映射,被称映射,

时对于每一度,单纯映射和边缘算子可交

为单纯映射将闭链为闭链映射诱导了同的同

 

 假如映射彼此同,它们诱导映射, 足如下条件

T是一系列同,

两个映射被称

 

是同并且,那么同FM中的低维链映到N中的高一维链诱导了同T。如下所示,M上的一条路径,关系式成立:

 




5. 的直

 

考察诱导的同的同,令闭链

,

因此相差一个边缘链,彼此同。因此彼此相等。如此,我们证明了映射诱导相同的同群同

 

型等价 假如存在连续映射,并且,就是fg的复合同N上恒同映射,gf的复合同M上的恒同映射,们说拓扑空MN等价,或MN具有相同的型。如上讨论,我得出等价的空具有同构的同

 

 假如BA的子空BA的形核,是指B可以在保持A上各点不的情况下连续A上。这样映射与自然包含构成了同等价关系。一个拓扑空和其形核具有相同的同群。

 

环柄圈和隧道圈算法

在【2】中,孙剑出了柄圈和隧道圈的算方法。里,定一个嵌在三欧氏空中的高格曲面,曲面将三欧氏空内部和外部存在一族同群的基底,。直上,其中有条圈在内部0,但在外部非同0,它构成外部空的同群的基底,被称是隧道圈(tunnel loop);另外条圈在外部中同0,但在内部中无法成点,它构成内部的同群的基底,被称柄圈(handle loop)。

 

柄和隧道圈的核心想法有两个:过滤filtration)和配pair)。一个单纯复形的过滤filtration)是一系列嵌套的复形:

可以假每一步,即添加一个单纯形。每一次我添加一个维单纯形,有两种可能性:

 

1. 生成一个闭链这时正的形;

2.掉一个存在的闭链这时为负形。我将被消掉的闭链中最后一个正形和

 

将曲面三角剖分,再取一个心球,包含曲面。再行三角剖分,使得的三角剖分限制在上,等于的三角剖分。球外取一点上的每个三角形都和成一个四面体。如此,我得到了一个三球面的一个三角剖分,同得到内部、外部和曲面的三角剖分。

 

首先构造曲面的一个过滤序列,然后逐步添加形构造内部过滤序列,最后在添加形,构成整个过滤序列。

1. 在完成曲面过滤后,存在个没有被配的正形,对应个同群的基底。

2. 在完成内部过滤后,会有个正形被配,它们对应柄圈。

3. 剩下的个正形,对应个隧道圈。

细节可以在【2】中找到。

 

 


References:

1http://www.iqiyi.com/w_19rtrpkd5x.html

2T.Dey, K. Li, J. Sun and D. Cohen-Steiner, "Computing Geometry-aware Handle and Tunnel Loops in 3D Models", SIGGRAPH 2008.


 

 

【老顾谈几何】邀国内国著名粹数学家,用数学家,理物理学家和算机科学家,代拓扑和几何的理,算法和用。回复,可以浏览往期精




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2 田灿荣 黄永义

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