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高分子统计物理漫谈-涨落耗散-线性响应

已有 5399 次阅读 2019-5-23 23:57 |个人分类:专业科普|系统分类:科普集锦| 高分子物理, 统计物理

1.考虑生成函数 $Z={<{e}^{yx}>}_{x}$ ,其中，x是随机变量，y是x的共轭变量，平均对x进行。对于y=0泰勒展开：

$Z={<{e}^{yx}>}_{x}=\sum _{n=0} {\frac {{y}^{n}} {n!}}{<{x}^{n}>}_{x}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (1)\,$

并且有：

$lnZ=\sum _{n=1} {\frac {{y}^{n}} {n!}}{<{x}^{n}>}_{c,x}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (2)$

这就是累积展开，其中，<xⁿ>_c,x是随机变量的累积量平均。容易知道：

${<x>}_{c,x}={<x>}_{x},\, \, \, {<{x}^{2}>}_{c,x}={<{(\Delta x)}^{2}>}_{x}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (3)$

其中，随机量涨落Δx=x-<x>_x.

由式(2)泰勒展开知道：

${<{x}^{2}>}_{c,x}={<{(\Delta x)}^{2}>}_{x}=\frac {{\partial }^{2}lnZ} {\partial {y}^{2}}=\frac {\partial } {\partial y}[\frac {\partial lnZ} {\partial y}]=\frac {\partial {<x>}_{x}} {\partial y}={\chi }_{x,y}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (4)$

这里，我们定义χ_x,y为随机变量x对共轭变量y的响应函数。关系(4)是一个生成函数展开至二级项，即高斯近似，之下得到的重要关系，反映了随机量涨落和随机体系对外界响应性质之间的关系。在统计力学中，称为线性响应定理，是涨落耗散定理的静态版本。涨落耗散定理的最简单版本见 Einstein 的 D=kT/ζ,涨落项反映为扩散系数 D，耗散项反映为摩擦系数ζ.为什么有这个关系？原因是从微观角度上，噪声涨落项和摩擦耗散项均源自于分子的无规运动。

在数学里，生成函数Z可以是随机量x分布函数的傅里叶变换，此时共轭量y=ik.在统计物理里，生成函数Z是配分函数，选取不同的共轭变量对x和y,可以得出不同的涨落耗散关系。

如果选择 x=E,y=-β,由(4)可得

$<{(\Delta E)}^{2}>={\chi }_{E,\beta }\cong {C}_{V}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (5)$

这里，能量对β的响应函数就是定容比热。

若选择 x=S,y=-h,可得响应函数为磁化率等。

2. Note on Linear Response Theory

Linear Response_Bing Miao@UCAS.pdf

3. Blob Argument for Fluctuation-Dissipation Theorem of Energy Fluctuation

Blob Argue_Bing Miao@UCAS.pdf

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