上一篇问了这个问题，但只探讨了一种可能性，且答案是否定的。这一篇我们来探讨一个肯定的例子。上一次讲得比较正式，因为我事先也不知道答案是什么，必须使用严格的数学推理才能保证不犯错误。而且找到了我自认简洁明了的表述方式，结果也让我吃了一惊，心中快活，发出来希望分享，虽然能分享的人可能不多。本篇的结果比较经典，主要是理解的问题，能够受益的朋友可能更多一些。

先复习一下背景，我们在探讨拓扑空间里的一些问题，见应行仁老师的精选博文。拓扑空间的结构是由开集的定义所决定的，在这里我们只需要使用一种比较自然的构造，相当于实数上的开区间。我们关心的是聚点（又称极限点，下面我会用这个名称来代替）和收敛序列之间的关系。

第一可数空间的极限点，都会有收敛于斯的可数序列。所以要找没有收敛序列的极限点，我们需要不是第一可数的空间。这些空间都很不平常！上一篇我们探讨了cofinite拓扑，但没有找到我们想要的例子。这一次我们来谈谈ordinal数和空间，找到我们要的东西！

ordinal数是集合论里的概念，和我们用自然数来数数息息相关。我们数数时很自然地有一个分配位置的概念，ordinal数要代表的就是这个位置。排位置自然地引入了一种次序（order），而且是一种完全次序（complete order），意即任给两个数，我们总能指出哪一个在前，哪一个在后。我们用"<"来表示前后关系。a<b表示a在b前。那我们如何排位置呢？学过计算机理论，甚或只是函数编程（functional programming）的朋友都会很容易理解：

1. 我们先定义一个零，作为最初的位置；

2. 我们再定义一个“下一个”的关系，每一个位置后面都还有下一个位置。

在集合论里，我们可以用空集{}来代表ordinal数的0。任给一个ordinal数x，我们说下一个ordinal数是所有前面的ordinal数的集合，标记为x+1。我们下面列一下头几个ordinal数和对应的自然数：

0：{}

1：{{}}

2：{{}，{{}}}

3：{{}，{{}}，{{}，{{}}}}

。。。

对于有限的数来讲，用ordinal数或自然数来标记位置没有真正的区别，我们可以都用自然数来代表（即我们在符号上可以交替使用，如0和{}，1和{{}}）。但是用集合的概念，我们注意到x既是x+1的元素，也是x+1的子集，x+1是x和{x}的并集！这样做是允许的，因为x本身就是集合。

同样，我们用（a，b）来表示a与b之间但不包括a，b的数的集合{x|a<x, x<b}，相当于自然数上的开区间。[a,b),(a,b]和[a,b]的定义也与相应的区间概念等价。但是使用集合表述，我们注意到[0,a)也是一个ordinal数，实际上就是a！[0,a]则和a+1是同一个ordinal数！这很方便！但如果a不是0，[a,b)和[a,b]都不是ordinal数。（a，b）则从不是数。

到目前为止，我们的定义和自然数没有本质区别。用开区间定义的拓扑（order topology）也很平凡。所有的集合都是有限的，都没有集合外的极限点，也就不存在收敛的问题。但是，ordinal数的集合身份及a和区间[0,a)的等价关系，让我们可以对自然数进一步地引申。

下面我们引入第一个显像的无穷，也可以显示我们用集合来标记位置的苦心。所有的对应自然数的ordinal数，就像自然数本身，组成一个集合N，如果放入我们的序列，位置应该在哪？如果注意到我们前面定义的前后关系<，也同时是集合的从属关系和子集关系，即若a<b，则a属于b，同时a是b的子集。所以N必须在所有自然数的后面，这个位置用 $\omega$ ₀（亦做 $\omega$ ）这个ordinal数来标记。注意 $\omega$ ₀和[0, $\omega$ ₀)一样，是一个集合（即N），对应于自然数集。[0, $\omega$ ₀]和 $\omega$ ₀+1一样，等于 $N\cup\left \{ N \right \}$ 。

$\omega$ ₀这个位置比较奇特。此前的ordinal数，除0外，都有“前一个“（x+1的前一个是x）。但”前一个“对 $\omega$ ₀没有意义，我们找不到一个x+1是 $\omega$ ₀的ordinal数x。这和没有一个最大的自然数同理。

引入 $\omega$ ₀让我们的拓扑变得更有意思，它是我们的第一个极限点。我们考虑[0, $\omega$ ₀]上的拓扑，定义如前面的order topology。注意，这里的每个拓扑我们都认为是从一个更大集合上的拓扑诱导而来，因为我们要建越来越大的集合。因此，（a， $\omega$ ₀]是 $\omega$ ₀的一个（开）邻域。由于没有前一个， $\omega$ ₀所有的开邻域都含有无穷多个元素（ordinal数），当然和[0, $\omega$ ₀)有非空交集，根据定义， $\omega$ ₀是[0, $\omega$ ₀)的极限点。也就是说， $\omega$ ₀是 $\omega$ ₀的极限点！

所有的ordinal数，都有“下一个”。 $\omega$ ₀也不例外，下一个是 $\omega$ ₀+1，再下一个是（ $\omega$ ₀+1）+1或记为 $\omega$ ₀+2，一直下去，其极限点记为 $\omega$ ₀*2，等等。我们可以不断地扩展下去，需要时加上极限点再接着扩展。这样定义的ordinal数都是可数的。继续使用集合论，所有这些可数的ordinal数的集合的位置在哪里？当然在所有的可数的ordinal数的后面。定义第一个这样的位置为 $\omega$ ₁。这个位置的存在借助于良序性well-ordered这个性质：我们所有的子集，可以没有最后面，但总是有最前面；例如[a, $\omega$ ₀)没有最后，但最前的一个是a。（具体到一个ordinal数，则可以没有前一个，但必有下一个！仔细想想，这两者是一致的，而且是非常关键的。）

$\omega$ ₁在所有的可数的ordinal数之后，也就是我们的第一个不可数的ordinal数。同前， $\omega$ ₁是 $\omega$ ₁=[0, $\omega$ ₁)的极限点。但是[0, $\omega$ ₁)中没有收敛于 $\omega$ ₁的可数序列！为什么？因为可数个可数集合的并仍然是一个可数集合。用到ordinal数上，每个可数ordinal数都是一个可数的集合，可数个可数ordinal数的并是一个可数集合，而且是另一个ordinal数。从[0, $\omega$ ₁)中取任意可数序列，这个序列的并是一个ordinal数o；序列本身也构成一个可数集合，而且是o+1的子集！o+1和（o+1, $\omega$ ₁]没有交集，而后者是 $\omega$ ₁的邻域，所以该序列不在 $\omega$ ₁的一个邻域中，也就不收敛于 $\omega$ ₁。Eureka！找到了！在[0, $\omega$ ₁]上的order topology， $\omega$ ₁是[0, $\omega$ ₁)的极限点。但是[0, $\omega$ ₁)中没有收敛于 $\omega$ ₁的可数序列。

仔细品味一下，为什么答案一下子就冒出来了？ $\omega$ ₀和 $\omega$ ₁都没有前一个，所以都是极限点。不同的是， $\omega$ ₀有可数的邻域，但 $\omega$ ₁的每一个邻域都是不可数的，一个可数的序列无法趋近之。注意”没有前一个“的重要性。为了构造一个邻域，我们需要提供一个在最前面的ordinal数。正因为没有前一个，我们能构造的邻域都有无穷个元素。

再说一下可数的概念。”可数“表达的是集合中的元素有多少，我们用cardinal数来代表。一个有限的ordinal数与代表其集合大小的cardinal数没有本质区别，都等同于与其对应的自然数。但在无限的时候就不一样了，所有的无限且可数的集合的大小都只有一个cardinal数来代表，记做N₀（aleph-0）。集合大小的比较，通过集合间的一对一injective映射来建立。Gamow《从一到无穷大》介绍的无穷就是这个概念。比如我们前面用到的一个性质：可数个可数集合的并仍然是一个可数集合。我们很容易想象这个集合的集合到有理数的单射，（比如用有理数的分子对应一个集合，用分母对应分子指向的集合中的具体元素），而有理数是可数的。

我们知道，在正常实轴上，点之间可以有大小左右的比较，而且每个无理数都有收敛于其的有理数序列。这是因为实轴上可以建立距离的概念：给出实区间（a，b），（a+b）/2存在且能让我们建立测度上小一半的新区间，就象Xeno很多年前就认识到的那样。在ordinal数上，我们无法建立全集上可用的距离。乍一看，我们似乎可以定义x和x+1的距离为1，但这个概念只能用于局部，不能扩展到极限点。在实轴上则没有”下一个“的概念，任给一有理数或实数，我们无法说下一个有理数或实数是什么。正是这些不同造成了ordinal空间和正常实空间拓扑上的差异。

注：前文中的ordinal数的集合标记形式，源于现代计算机结构的发明人，称为Von Neumann数。

好了讲得够多了。其实这些概念Wikipedia上的文章都有很好的定义，而且如果从讲第一可数空间的这一篇起步，链接可以很方便地把人带到所有需要的定义。但是如果没有一个中心的话，这些文章讲的概念太多，让人无所适从。我为了搞清楚标题里的问题，只学习与其相关的部分，再补充我自己的逻辑演绎和理解，发在这儿与大家分享，希望能让这些概念更容易接受，当然如有错误与不足也希望能得到指正。

补充：细心读过上一篇证明的朋友，可能注意到我在建造序列时使用了一个有限出现的概念，特意排除了类似本文 $\omega$ 的构造。因为上一篇我只需要证明存在性，我可以有任意限制序列构造的自由。涉及本文的显无穷的推理，其逻辑自洽性不是显然的，事关数学的逻辑基础问题，一定要小心，不然很容易出谬论。我平常关心机器证明，一般局限于计算机程序的设计，对数学的证明关心不多，因为水太深了。这一次没想到通过对抽象拓扑的一个问题的探讨，让我明白了很多以前仅限于耳闻的概念，高兴之余，写下来做个记录，也把思路做个梳理，基本到此打住。但以后如有时间和机会，可能会从机器证明的角度再写一些。