本篇是我自己推导的结果，为了不犯错，写得比较严格，而且对题目中的问题没有找到肯定的答案。关心标题问题的朋友可以先看下一篇，更容易理解一些。当然喜欢严格推导的朋友，应该坚持下去，相信会有收获。

应老师有一篇博文讲拓扑。在应老师的尽心指导下，快速地学了一些拓扑学的知识。特别是”第一可数“和聚点的概念，没有以前接触过的印象，比较新鲜刺激。

应老师和Wikipedia指出，实数集R上的cofinite拓扑是第一可数的反例。这里先复习一下概念：

1. R的cofinite拓扑中的开集（{}除外）是R上抛去有限个点后的余集，也就是说，这个拓扑中的所有（R除外）闭集都只含有有限个点。

2. 拓扑空间第一可数的定义是其每一个点存在可数的邻域基。注意：邻域基是邻域的集合。

2’. 第一可数的另一可能定义是拓扑空间的任意子集合A如果有聚点x，那么A中都能找到收敛于x的可数序列。

说2'可能，是因为经过让我头疼的思考，仍然找不到反例。2和2’不等价，相反，可以证明R的cofinite拓扑不是第一可数的，但是满足2‘。具体证明如下。

预备：



对一个序列x_n，定义其suffix(N)为集合{x_k|k>N}。这样x_n收敛于x，iff（if and only if）对x的任何邻域存在N，suffix(N)是该邻域的子集。对任意元素x，如果存在N，x不属于suffix(N)，我们说x在x_n中（最多）出现有限次。





任意含有无穷个元素的集合X上的cofinite拓扑都比较特别：

3. 由于所有的非空开集只从全集里抛去了有限数目的元素，任意一对非空开集的交都是一个非空开集。因此每一个元素都是任一非空开集的聚点。同理包含了一个非空开集的集合本身也是开集，X所有元素的所有的邻域都是开集。

4. 如果有一个序列x_n，X所有的元素每一个在序列中最多出现有限次，则该序列收敛于X的所有元素。这是因为对X任意元素x的任意邻域A，X-A是有限的，其每一元素在x_n只出现有限次，因此存在N，X-A和suffix(N)的交集为{}，suffix(N)是A的子集。

可见这个拓扑上的收敛很特别!

先证明R的cofinite拓扑没有可数的邻域基。这个证明对任何不可数的集合上的cofinite拓扑都成立。

用反证法。假设某一点x有可数的邻域基。取S为该邻域基中的邻域的补集的并集，由于每一个补集都是闭集，只含有有限的点，所以S可数。R不可数，R中存在不属于S的y且y不等于x。R-{y}是除y以外所有的点的邻域，也是x的邻域。R-{y}不包含该邻域基的任何一元，因为它们都含有y。这与邻域基的定义矛盾。证毕。

再证R的cofinite拓扑符合2’。这个证明对任何有无穷个元素的集合都成立。

考虑R的任意子集A，如果A的点数有限，A是闭集，所有的聚点都在A中，trivially存在序列收敛于聚点（对一般闭集而言，重复该点即可；在这个拓扑上闭集没有聚点，就更trivial了）。如果A的点数无限，参照4，从A中取点构造x_n，R中的任一点在x_n中最多出现有限次，据4，x_n收敛于R的所有的点，当然包括（事实上等同于）A的所有聚点。

按应老师文中的定义，cofinite拓扑定义T₁空间，而非Hausdorff空间，是比较粗糙的拓扑，实际意义恐怕不大，但可以为理解拓扑的概念练练兵。多谢应老师的辅导！