我心如伊分享 http://blog.sciencenet.cn/u/张志东 在一个浮躁的社会和纷杂的年代,在心灵深处保持一片宁静的时空。

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漫谈黄金数-3

已有 6248 次阅读 2007-6-16 11:56 |个人分类:追梦|系统分类:科研笔记

今天,继续漫谈黄金数。可能大家心里有一个疑问,为什么我对黄金数如此痴迷,情有独钟?为什么我在《我心深处-三维伊辛模型的精确解之谜》一文中认为:根据我们提出的猜想,对于一个简单立方伊辛模型(K=K’=K’’),从条件 K* = 3K  sinh 2K sinh 6K = 1推定其居里温度精确地存在于黄金点 xc = exp(-2 Kc) = (sq(5) - 1)/2,1/Kc = 4.15617384……。下面从分别条件 K* = 3K  sinh 2K sinh 6K = 1出发,给出详细的推导过程。为了比较起见,先分别给出二维正方伊辛模型的对应结果。当然,这不可避免要涉及一些数学公式。有人说:“增加一个公式能吓跑一半读者”。我希望下面的一些简单的数学公式不要吓跑你。如果你能坚持看到最后,我保证你能真正体验到自然的美妙之处。

首先,列出一些双曲函数的定义和公式:

sinh A = (eA - e-A)/2; cosh A = (eA + e-A)/2; tanh A = sinh A/cosh A;

sinh (A+B) = sinh A cosh B + cosh A sinh B;

sinh 2A = 2 sinh A cosh A; cosh 2A = cosh 2 A + sinh 2 A.

另外,对于伊辛模型K* exp(-2K)=tanh K*定义。

二维正方伊辛模型的居里点精确解的条件为K* = K  sinh 2K sinh 2K = 1

1)从K* = K出发,有e-2K = tanh K = sinh K/cosh K = (eK - e-K)/( eK + e-K) =(1 - e-2K)/( 1 + e-2K)。所以 (e-2K) 2 + 2 e-2K – 1 = 0。令 x = e-2K方程x2 + 2 x –1 = 0,得到x = e-2K的解为白银数。

2sinh 2K sinh 2K = 1出发sinh2 2K = 1sinh 2K = ±1。从而(e2K - e-2K)/2 = ± 1。整理后有:(e-2K) 2 ± 2 e-2K – 1 = 0 x = e-2K方程x2 ± 2 x –1 = 0,也得到x = e-2K的解为白银数。

根据我们的猜想推定的三维简单立方伊辛模型居里温度的条件为K* = 3K  sinh 2K sinh 6K = 1

1K* = 3K出发e-2K = tanh 3K = sinh 3K/cosh 3K = (e3K - e-3K)/( e3K + e-3K) =(1 – (e-2K) 3)/( 1 + (e-2K) 3)。所以(e-2K) 4 + (e-2K) 3 + e-2K – 1 = 0 x = e-2K方程x4 + x3 + x –1 = 0。即,(x2 +1) (x2 + x –1) = 0因为x2 +1 ¹ 0 所以有 x2 + x –1 = 0,得到x = e-2K的解为黄金数。

2)从sinh 2K sinh 6K = 1出发,因为sinh 6K = sinh (4K + 2K),可以利用上面的公式得到:sinh 6K = 3 sinh 2K cosh2 2K + sinh3 2K

所以,有方程3 sinh2 2K cosh2 2K + sinh4 2K = 1

3(e2K - e-2K) 2 ( e2K + e-2K) 2 /16 + (e2K - e-2K) 4/16 = 1

x = e-2K方程3(x-1 - x) 2 (x-1 + x) 2 /16 + (x-1 - x) 4/16 = 1

3(1 - x2) 2 (1 + x2) 2  +  (1 - x2) 4 = 16 x4

   展开后得: 4 – 4x2 – 4x6 + 4x8 = 16 x4 。即x8– x6 – 4x4– x2 + 1 = 0

   方程可以因式分解为:(x2 + x - 1) (x6 – x5 + x4 – 2 x3 – x2– x –1) = 0

   我们再一次地见到熟悉的面孔:x2 + x – 1 = 0,可见x = e-2K的解中仍有黄金数。

   到这里,我想你肯定能体验到自然的精妙之处。我们暂时先不管这个解是否是三维伊辛模型的精确解。方程K* = 3K sinh 2K sinh 6K = 1本身所显示的美丽,就已经令人惊叹大自然的鬼斧神工。能揭示这个秘密的过程本身就是一个奇妙的享受。

(详细内容见Zhi-dong Zhang, Conjectures on exact solution of three - dimensional (3D) simple orthorhombic Ising lattices, http://arxiv.org/abs/0705.1045)  

发表在Philosophical Magazine, 87(34), 5309 – 5419 (2007)http://dx.doi.org/10.1080/14786430701646325

论文抽印本

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1 杨正瓴

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