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激辩猜想-25-无限劫争+尾声
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Perk教授在他的反驳意见(Rejoinder)中又加了一个附加的评论(Added Comments 3)。
附加的评论3
有关自由能和关联函数的解析性的大部分证明使用Schwinger–Dyson类型的线性关联记号，被大家记为BBGKY类型、Mayer–Montroll 或Kirkwood–Salzburg方程而为人知。如果张已经仔细地读[9]的细节和理解，他将会找到更多的方式去达到βf在β=0处的解析性。他应该找到[10]（在[9]中引用的文献[12]）。让我用Suzuki [11, 12] 的记号尝试去用向下直达到地面的方式来解释这个证明，限于具有任意大小的周期性条件的简单立方晶格上各向同性伊辛模型。
(4)这里，j1, . . . , jn为n自旋的标记，l为σjk的最近邻的六个自旋的标记。各向同性J1 = J2 = J3 = J是为了简便起见，可以被容易地去除。对k的平均被加在(4)中，以致所有的自旋均被同等地对待。
下面，我们使用
(5)这里，求和是对从给定的σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6中选择1，3或5个自旋的6，20或6种选择求和。可以容易地检查，系数ai为：
(6) ai的根在t = ±i, t = ±(√2 ± 1)i, and t = ±(√3 ± 2)i。也能证实，例如，将ai用部分分数展开，ai的用的t奇次项进行的系列展开改变符号，且当|βJ| < arctan(2 − √3) =π/12时是绝对地收敛的。
方程(4)–(6)的系统可以被看成作用在三维伊辛模型的所有关联函数的矢量空间上的线性算符。可以容易地，利用ai的改变符号性质，应用方程(5)从方程(4)右手边(RHS) 的32项估计这个算符的模。这仅需要我们研究：
(7)对纯虚数去t找到模的要求的上限值r。我们然后有方程(4) 右手边(RHS)由rM约束，这里M = max |<σ · · ·σ>|,为右手边(RHS)的32项关联函数的最大值。明显的，如果β≥ 0且为实数，M ≤ 1。我们必须强调，如果所有的ai由逐项用其绝对值代替的ai的幂级数得到的用t表示的幂级数替代，边界也是成立的。
由上所述，我们设r等于虚数t的方程(7)的绝对值。我们然后能显示r < 1，对于：
(8)要证明βf用β进行展开在β=0处的解析性，研究单位晶格的内能或最紧邻对的关联函数已经是足够的，因为：
u = ∂(βf)/∂β = -3 J <σ 000σ 100>. (9)
我们应用方程(4)到<σ 000σ 100>，然后我们应用方程(4)到新关联函数的每个项，我们保持重复这个过程。我们可能现在以及然后计算一个带零σ因子<1>=1的关联，在这里结束这个过程。因为带t的幂的每个关联消失，我们然后对任意给定尺寸的系统产生高温展开幂级数的更高和更高的项。这个系列展开是绝对地收敛的，因为当方程(8)成立时其绝对值的求和由Σrj < ∞束缚。我们能够首先假定β≥ 0且为实数。但是从绝对的收敛，我也得到在复数t和β平面内一个有限的收敛半径。增加系统的尺寸，我们得到结论，越来越多的项变得独立于尺寸，反之剩下的快速趋近于零。所以，展开收敛于热力学极限，我们再次地证明只要方程(8)成立自由能和所有的关联函数在t和在β解析。这个束缚是个粗略的估计，在文献中可以有更好的估计。进一步地，加一个小磁场H，扩展上面的步骤，我们也可以得到结论：所有的关联函数对足够小的β和H是有限的，以致在H = 0的坐标轴附近对小β没有杨-李的零根。
再次地结论，论文[1, 3, 6]包含严重的错误而无法修复。
References
[9] J.L. Lebowitz and O. Penrose, Commun. Math. Phys. 11 (1968) pp. 99–124.
[10] G. Gallavotti, S. Miracle-Sol´e, and D.W. Robinson, Phys. Lett. A 25 (1967) pp. 493–494.
[11] M. Suzuki, Phys. Lett. A 19, No. 4 (1965) pp. 267–268.
[12] M. Suzuki, Intern. J. Mod. Phys. B 16 (2002) pp. 1749–1765.
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经过与Perk教授的深入讨论以及本人的仔细推敲，我于今天更新了我的答复意见，加了一个附加的答复意见2：
附加的答复意见2
我加上几点对Perk有关arXive:0901.2935v2的附加评论2和3(arXiv:0901.2935v3 & v4)的附加答复意见：
尽管‘求解三维伊辛模型’是一个著名的问题，它是在带有没有被普遍性严格证明的遍历假定的标准平衡态统计物理框架内建立的。所以，用系综平均代替时间平均，特别是在三维伊辛模型，仍是有疑问的。有可能人们要在(3+1)维框架内处理三维伊辛模型。当然，在我的上一个答复中的“黑洞”仅仅是一个比喻。
Perk附加评论2(arXiv:0901.2935v3)中的主要内容仍然集中在讨论βf在T = ∞处的奇异性，这已经被证明是不成立的。我仅增加一个附加的评论：用热力学的基本公式F = U − TS，人们在T = ∞得到βf = -S/N，它没有意义，因为熵是对整个系统定义的，不是对单个晶格。进一步地，人们将面临在什么温度将其兴趣从βf 转移到F的问题。在Perk附加评论2(arXiv:0901.2935v3)中仅有的新内容是有关到高维的条件。按我的理解，从开始我们就要在四维进行积分，因为人们要通过在四维积分进行时间平均。
如前所述，Lebowitz和Penrose在他们的文章第102页清楚地指出，没有普遍性的原因来期望一个p或n的β 的系列展开收敛，因为β = 0处于(β , z)空间的E区的边界上。他们在他们的文章中第二章仅对硬核势做了包含β = 0的证明，在其它章节中讨论伊辛模型时没有包括这一点。在第二章结尾，引用Gallavotti等对晶格理论的证明时用了‘暗指’一词。当然，实际上，尽管Gallavotti等证明收敛的半径大于零，但再一次地他们的证明没有碰到β = 0，因为在方程(1)上的不等式，即, 
对β = 0不成立。按照我的观点，没有必要进行Perk附加评论3 (arXiv:0901.2935v4)中的长证明来证明βf以及关联函数在β = 0的解析性，因为对伊辛模型在这一点βf = - ln 2，它当然是解析的。但是这里关键的焦点是在β = 0时βf ≠ f ≠ F。
对β = 0不成立。按照我的观点，没有必要进行Perk附加评论3 (arXiv:0901.2935v4)中的长证明来证明βf以及关联函数在β = 0的解析性，因为对伊辛模型在这一点βf = - ln 2，它当然是解析的。但是这里关键的焦点是在β = 0时βf ≠ f ≠ F。我强调，著名的高温和低温展开仅仅计及转移矩阵中局域效应，没有计及“内因子”的全局效应，它们在有限温度不是“精确”的方法。实际上，前者仅在β = 0以及附近为精确的。进一步地，在三维伊辛模型仅仅存在一个临界点（或相变点）没有被严格地理论证明，这提供了在β = 0以及附近产生一个相变的机会。在β = 0以及附近所有的相互作用能从零到非零的变化导致在三维伊辛模型系统的几何（拓扑）结构的内禀变化。
结论是，猜想没有被证伪，它们仍然公开征求严格证明。
I am grateful to Prof. Dr. Jacques H.H. Perk for discussions via e-mails.
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尾声
我非常感谢与伍法岳先生等四大天王、Perk教授伉俪以及其他前辈高人的学术讨论。通过此番激辩澄清了许多事实，使我明白了许多以前不了解或不明白的学术观点和道理，也使激辩双方论点触底，其底线大白于天下。简要地总结如下：
1）关于高温展开的问题，焦点在于是对系统的自由能F，还是对单位晶格的自由能f甚至于是单位晶格的约化自由能βf来讨论其在无限大温度（β=0）以及附近的奇异性。我的观点是必须用系统的自由能F，无限大温度处的奇异性是存在且不可以回避的，所以高温展开不能被用来作为对猜想的精确解的评价标准。由于三维伊辛模型的内因子非局域效应，系统在无限大温度以及附近存在一个拓扑结构变化导致的相因子变化（也可以看成一种相变，当然与临界温度处的相变性质不同）。
2）关于低温展开的问题，大家都不否认低温展开是发散的。焦点在于低温展开的前几项能不能被用来作为对猜想的精确解的评价标准。特别是低温展开的第一项直接是从三维简单立方晶格有6个最紧邻自旋得到的。我的第一项表明应该考虑的最紧邻自旋数是8个，这是反方攻击我的一点。我的理解是，需要考虑时间一维（增加两个最紧邻自旋数）。这是由于三维伊辛模型的内因子非局域效应决定的，也是由于需要考虑时间平均。这涉及对统计物理的基础的认识以及对空间-时间、平衡-非平衡的认识以及定义问题。
3）大家都不反对加一维来作为解决三维伊辛模型的一种尝试。但对加一维后的积分形式Perk教授提出一个限制条件：要显示在四维的积分是在三维积分的导数（或用求和代替积分同时用一些差分代替导数的离散形式）。我认为没有必要，因为统计物理从开始就应该用时间积分，第四重积分本来就是存在的。
4）最后，我与Perk教授达成一致，确认到目前为止没有严格的理论证明在三维伊辛模型中仅仅存在一个临界点（或相变点）。严格的理论证明的困难与得到真正的精确解相当。从另外一个角度看，我们实际上需要用精确解来证明这一点。
5）大家都不反对统计物理的系综平均没有被普遍性地严格证明这个事实。我认为，在研究三维伊辛模型时，需要对统计物理用系综平均代替时间平均的合理性进行重新考虑。要想得到精确解，可能需要从头用时间平均来处理三维伊辛模型。而反方不同意对统计物理的这个基础进行挑战，希望在现有的框架中研究问题。
6）反方仍然确信猜想是错误的。而我认为，到目前为止猜想没有被证伪，一切让时间和实验结果来检验。毕竟，实践是检验真理的唯一标准。今后，无非有三条可能性可以发生：猜想被严格地证明、证伪或找到另外一个大家公认的精确解。
由于激辩双方的学术观点不同，观察问题的角度不同，经过激辩之后无法达成完全一致是很正常的。现在，除了一些达成一致的事实之外，在一些基本点上大家是公说公有理，婆说婆有理，谁也说服不了谁，有点鸡同鸭讲的味道。用围棋的术语表述，就是形成了连环劫，可以无穷劫争下去。我曾经在给PRL/PRE编辑的抗辩信中，花了很大的力气翻译中国的成语：“盲人摸象”以及苏轼的诗句“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。我在《标准之困惑-7》中引用了《庄子》一段有关标准之争辩的精彩论述。在激辩猜想之后，庄子这段话对我们仍然有指导意义。现再一次引用如下[译文请见《标准之困惑-7》]：
“既使我与若辩矣，若胜我，我不若胜，若果是也？我果非也邪？我胜若，若不吾胜，我果是也？而果非也邪？其或是也，其或非也邪？其俱是也，其俱非也邪？我与若不能相知也，则人固受其黮暗，吾谁使正之？使同乎若者正之，既与若同矣，恶能正之？使同乎我者正之，既同乎我矣，恶能正之？使异乎我与若者正之，既异乎我与若矣，恶能正之？使同乎我与若者正之，既同乎我与若矣，恶能正之？然则我与若与人俱不能相知也，而待彼也邪？”
“何谓和之以天倪？”曰：“是不是，然不然。是若果是也，则是之异乎不是也亦无辩；然若果然也，则然之异乎不然也亦无辩。化声之相待，若其不相待。和之以天倪，因之以曼衍，所以穷年也。忘年忘义，振于无竟，故寓诸无竟。”
——《庄子·齐物论》
《激辩猜想》系列连续剧的下一个节目是：谢幕。我在开始构思和写作《激辩猜想》时估计到了会有一场激辩的，但是我绝对没有估计到这场激辩是如此激烈，（自觉或不自觉地）参与激辩的人员是如此之众，涉及的辩题是如此之多，激辩的思维是如此之广，触及灵魂是如此之深，激辩的影响是如此之大，。。。我有幸能够与学术界的前辈高人以及广大博友一起参与和见证了这一场精彩的科学以及社会学的大讨论，学术思维的大碰撞，真是三生有幸！可以说，所有的参与者既是演员又是观众，人生本来就是一场戏，真真假假，戏里戏外，本来也没有什么明显的界限。在每出戏的最后总是有个谢幕，在每个人的一生结束时（早晚都有这一天）也会有个谢幕。按照中国的习惯，会有个领导上台接见演职员的程序。而大自然（包括我们每个人）的领导就是上帝。在《激辩猜想》系列连续剧中出场的人物，无论是主角配角，还是正方反方，大家都已经尽自己的能力激情演出，都会得到观众的赞赏。按中国古典小说的惯例，《激辩猜想》也不分英雄邪魔，所有演员均一律进入封神榜（目前本人没有时间也没有水平排这个榜了，抱歉：-））。同样，《激辩猜想》也没有什么善恶之分，大家都是好人，按西方基督教的教义，大家一律升入天堂，接受上帝的接见。在上帝的面前人人平等。
《激辩猜想》系列连续剧到此结束，皆大欢喜。
剧终[此处应该有掌声]。
包括附加的答复意见2的预印本 学术论剑
https://blog.sciencenet.cn/blog-2344-227068.html
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