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激辩猜想-18-Perk评论
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对“三维(3D)简单正交伊辛模型精确解的猜想”的评论
Jacques H.H. Perk†
145 Physical Sciences, OklahomaStateUniversity,
Stillwater, OK74078-3072, USA‡
and
Department of Theoretical Physics, (RSPSE), and
Centre for Mathematics and its Applications (CMA),
AustralianNationalUniversity,
Canberra, ACT 2600, Australia
本文争辩张志东最近的论文是错误的，违背了众所周知的定理。
在这个评论中，张志东最近的论文[1]被显示是包含错误的。尽管前期的评论[2]紧接着一个答复意见[3]和一个反驳[4]已经被发表，已经出现两篇文章[5，6]利用[1]中的错误结果。这里，我将带来几点没有在[2]讨论的内容以及加到[2]中讨论的那些内容中[翻译者注：最后在杂志上发表出来的内容与贴在预印本库上的手稿不完全一致，我按公开发表的翻译]。
三维伊辛模型推定的“精确解”在这之前已经被尝试过，见例如[7-9]。在1952年，J.R. Maddox (Nature前主编)在巴黎召开的统计物理2会议上给出他的三维伊辛模型的解[7]。在他的计算中的错误在会上被指出来，这是错误地应用Jordan-Wigner变换的结果[10]。张在论文[1]第5316页的方程(15)和(16)中也犯了这个错误。
运用Kaufman原始的标记—见[10]中方程(11)—和更最近的标记，Jordan-Wigner变换由下面公式表示：
,
,
(1)一个基本的性质是，为了利用旋转群的自旋算符表示的理论，所有的
矩阵反对易(kl = −lk, k 
l, 但 k 2 = 1)。在张的文章[1]中，j从1到nl变化, 对应于他的(r, s)从(1, 1)到(n, l)，或者j = (n−1)r+s。然后，我们发现，
矩阵反对易(kl = −lk, k l, 但 k 2 = 1)。在张的文章[1]中，j从1到nl变化, 对应于他的(r, s)从(1, 1)到(n, l)，或者j = (n−1)r+s。然后，我们发现，
. (2)与[1]中的方程(15a)和(15c)一致，但我们应该有：
(3)而正相反，在[1]中的方程(15b)为一个二次方项等价于：
. (4)在[1]中的方程(16)有一个对应的错误，我们能证明那里的P们和Q们不如要求的那样完全反对易。
这是[1]中的初始的错误。在他的公式(15)中张得到三维的自由费米子模型，正如Maddox[7]做的那样。在公式(15)中的U因子是不适合的，因为张能够从自由边界条件出发。对每个格点的块体自由能，在热力学极限下，由于Bogoliubov不等式边界项没有效应，因为对无限大系统表面与体积比消失。由这个错误，已经不需要如[1]中第5317页的方程(17)那样到一个第四维，Maddox的结果更直接。在上面的(3)方程中的高次项以及在转移矩阵中相应的指数因子使得三维伊辛模型不能到达精确解。Barry Cipra, Sorin Istrail和其他人已经甚至宣称三维伊辛模型是NP-完全性(NP-completeness) [11]。这意味着我们不要指望与零场下二维伊辛模型精确解类似的一个简单封闭形式的解存在。
在[1]中主要的结果之一是第5325页的每个格点的配分函数公式(49)，它有三个参数在附录中给出。在第5399页，人们发现方程(A.1), (A.2)和跟着的描述，那里这三个参数被表示成wx = 1, wy = wz等于一个带拟合系数从b0到b10以致高温展开被复原。所以，这个自由能的表达式没有比使用的高温展开的已知系数包含更多的信息。
在第5400页，张建议当温度为有限wy = wz ≡ 0。这在第5405–5406页的方程(A.11)–(A.13)中，用通常的高温展开变量tanhK被进一步讨论。当作者在温度一为有限时就选择wx = 1和wy = wz = 0，在“高温极限”(A.11)和更普遍的温度下的方程(A.13)之间存在一个显著的不同，它与原来的拟合不同，正如在[2]中讨论的那样。
的确，这个过程被显示是不正确的，因为高温展开的收敛性已经在1960年代被严格证明[2, 12, 13]，这个证明被在许多教科书中被引用[14-16]。这个证明是建立在Gallavotti和Miracle-Sol´e[12]用Kirkwood–Salzburg方程对格气的逸度展开的收敛性证明基础上的，它等价于伊辛模型。Lebowitz和Penrose [13]的另一个理论然后被用来建立用1/T的展开表示关联函数和自由能的收敛的有限半径。它们甚至直到临界点也是实解析的[13, 15]。所以张[1]颠覆了建立得很好的理论。在第5376页的结论被显示是错误的。
另外一个批评有关在第5342页的方程(102)和(103)给出的自发磁化强度的结果。它被展开为I = 1−6x8+. . ., 其中x = exp(−2K), K = J/kBT。但是，在第5380页的表2中我们发现从文献中的著名的低温展开有I = 1 − 2x6 + . . .。这个I − 1从x8开始对应于在四维每个格点有八个最近邻；而在三维应该有六个最近邻为x6。张的结果对低温变量x直到临界点是解析的，它在T = 0也给出精确值I = 1。有一个用x展开的收敛有限半径。所以，它必须与表2中的著名展开相符合，但它不。有几个附加的批评意见在[2]给出。
已经建立，在铁磁的伊辛模型中，热力学块体极限收敛到一个唯一的状态，离开，H = 0, T < Tc，那里态为从无限大体积极限具有所有的边界自旋都向上或都向下得到的状态任何凸组合，见[16]以及其引用的文献。然后我们能研究与在边界上所有自旋向上热力学极限下带有奇数个自旋的关联函数相联系的Schwinger–Dyso方程的一个离散形式的一个无限大系统。用这个方法，我们能严格地建立与文献中的已经报导的结果相一致的自发磁化强度的低温展开的最初项。因而，由于分歧，张的结果被显示是不正确的。
References
[1] Z.-D. Zhang, Philos. Mag. 87 (2007) pp. 5309–5419 and cond-mat/0705.1045.
[2] F.Y. Wu, B.M. McCoy, M.E. Fisher, and L. Chayes, Philos. Mag. 88 (2008) pp. 3093–3095.
[3] Z.-D. Zhang, Philos. Mag. 88 (2008) pp. 3096–3102.
[4] F.Y. Wu, B.M. McCoy, M.E. Fisher, and L. Chayes, Philos. Mag. 88 (2008) p. 3103.
[5] J. Strecka, L. Canova, and J. Dely, arXiv:0810.4400v1.
[6] D.J. Klein and N.H. March, Phys. Lett. A 372 (2008) pp. 5052–5053.
[7] J.R. Maddox, talk presented at StatPhys 2 in Paris, 1952. See, e.g. the introduction by the editor J.S. Rowlinson, in “J. D. van der Waals, On the Continuity of the Gaseous and Liquid States,” Dover Publications 2004, pp. 76-77.
[8] D.D. Das, Indian J. Physics 44 (1970) p. 244.
[9] S.L. Lou and S.H. Wu, Chinese Journal of Physics 38 (2000) pp. 841–854.
[10] B. Kaufman, Phys. Rev. 76 (1949) pp. 1232–1243.
[11] B. Cipra, SIAM News 33, No. 6, (July 17, 2000), and Science Vol. 288. no. 5471 (2 June 2000) pp. 1561–1562.
[12] G. Gallavotti and S. Miracle-Sole, Commun. Math. Phys. 7 (1968) pp. 274–288.
[13] J.L. Lebowitz and O. Penrose, Commun. Math. Phys. 11 (1968) pp.99–124.
[14] D. Ruelle, Statistical Mechanics, Rigorous Results, Benjamin, NY, 1969.
[15] R.B. Griffiths, Phase Transitions and Critical Phenomena, Vol. 1, edited by C. Domb and M.S. Green, Academic Press, London, 1972, chapter 2, sections III and IV D.
[16] S. Miracle-Sol´e, Theorems on phase transitions with a treatment for the Ising model, in Lecture Notes in Physics, vol. 54, Springer, 1976, pp.189–214.
脚标：
1在会议文集里他叫M. Maddox, 带M对应与Monsieur (法语里的先生)。
2 这里我删除了从周期性边界条件得来的附加的U因子，有 j = nk (for k = 1, . . . , l) 项[8], 它们也出现在[1]中。用自由的边界条件就没有这种U因子了。
3 Lou和Wu [9]正确地应用了一个等价于方程(3)的方程 (用Z表示
x和X表示−z)。当然，他们在[9]中的方程(77)后就走向了错误，因为他们假设了太多的P 因子的对应关系。我感谢张把[9]发给我引起我的注意。
x和X表示−z)。当然，他们在[9]中的方程(77)后就走向了错误，因为他们假设了太多的P 因子的对应关系。我感谢张把[9]发给我引起我的注意。[注：为了真实地反映这次学术讨论的情况，我将Perk教授的评论翻译成中文，有翻译得词不达意的地方敬请Perk 夫人Helen Au-Yang（海伦珀克）以及广大读者批评指正。
评论已经被接受发表在Phil. Mag. 89 (2009) 761。
预印本见本博文的附件。]
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