我心如伊分享 http://blog.sciencenet.cn/u/张志东 在一个浮躁的社会和纷杂的年代,在心灵深处保持一片宁静的时空。

博文

终结猜想-22-对易性定理 精选

已有 2909 次阅读 2019-9-19 08:16 |个人分类:追梦|系统分类:科研笔记

在科学探索的征途中一条波涛汹涌的大河挡住我们前进的道路。提出猜想等于是说,我们可以通过这一条大河,过河后可以继续向前走,到达最后的终点。而证明猜想的途径有许多种,可以在大河上架设一座大桥,也可以乘船渡河,也可以游泳,甚至潜水过河。我和铃木理教授试图用黎曼-希尔伯特问题以及拓扑学的方法证明猜想相当于乘船渡河。这一次,大呆与铃木理教授、March教授合作,用克利福德代数方法证明猜想,相当于是架设一座大桥。而证明四个定理就相当于为大桥打下四个坚实的桥墩,并且铺设了桥板,通向了河对岸。

定理四 (对易性定理)

在三维伊辛模型线性化过程和局域变换过程中算符的非对易性性质可以在约当-·诺依曼-维格纳机制的框架中应用约当代数处理成对易的,这可以通过对在时空中演化的三维伊辛模型的t个系统进行时间平均来实现。

定理四的证明过程详见我们的论文。证明过程简单地介绍如下:

量子力学的代数方法可以建立在约当代数基础上约当-·诺依曼-维格纳的标志性论文提供了量子理论的数学基础,并且将它在约当代数的基上进行了推广。感谢约当-·诺依曼-维格纳的定理以及约当前期的工作(详细见《终结猜想-4-约当代数和《终结猜想-5- 约当-冯•诺依曼-维格纳机制,人们意识到约当代数以及从四元数产生的结构的重要性。玻尔互补性原理在量子力学的数学架构中得到一个非常完美的表示: 从薛定谔的物质波的三维理论出发,人们可以量子化这个理论,并返回量子力学的希尔伯特空间。量子力学中粒子和波的完全等价性找到严格的数学基础。海森堡的不确定性原理、泡利的不相容原理、玻色统计均在量子理论中找到它们适当的位置。

我在约当-·诺依曼-维格纳框架内为简单正交伊辛晶格的有序-无序相变给出一个四元数基的三维量子模型。我的情况与约当-·诺依曼-维格纳的经典论文中约当代数的四元数序列相关。这种约当代数的四元数序列可以将三维伊辛模型改写成一个更为优雅的形式。在一定次序下的(3+1)伊辛模型,代表体系在时空中的演化,可以被转换成一个三维伊辛模型,反之亦然。下面,我们详细地描述,如何利用对易算符/矩阵用约当代数讨论三维伊辛模型,以及将获得结果转变到三维伊辛模型。

对两个满足约当代数的矩阵A B,我们有:A°B=(AB+BA)/2 。 

N个满足约当代数的矩阵A1, A2, A3, …An, .,我们可以进行推广(公式有点繁杂,在这里不给出,请看论文原文)。

除了在定理一中引入的方法,还有另外两种方法引入附加的维度:一)简单地对t 个三维伊辛模型的复制品进行加和,然后再除以 t,,这不改变体系的物理性质,但是也不解决问题,因为这个过程无法除去转移矩阵中的内因子,并且转移矩阵仍然不对易。二)在(3+1)时空中叠放t 个三维伊辛模型的复制品 (, t 个片段) ,具有在转移矩阵中的因子(或者算符)的位置的演化。从这两种方法获得的结果是等价的,但是仅仅后者对求解有效。从N个满足约当代数的矩阵的乘法方程很清楚地看出, (3+1)时空中叠放t 个三维伊辛模型的复制品将导致转移矩阵(以及分转移矩阵)的约当代数的乘法运算成立,它们对易。

在统计物理中,遍历假设认为,对一个物理量在特定微观态的时间演化过程做时间平均等价于在固定时间相同的物理量对微观状态的一些统计系综的平均。接受遍历假设意味着,使用统计系综是合理的,并且保证,与感兴趣的物理量的测量时间相比较,它的任意一个微观状态有效扫过系综所需要的时间足够地短。在三维伊辛模型,在转移矩阵中存在内因子Wj对遍历假设的合理性带来严峻的挑战。我们无法如在其他统计物理模型中那样忽视时间平均,因为我们需要处理由那些内因子Wj导致的非对易问题(对应于全局性效应或者非平庸的拓扑效应)。作为时间平均所需要的时间必须是无限大,与测量感兴趣的物理量的时间可以比较,甚至远远长于它。所以,非常有必要对三维伊辛模型的配分函数进行四重积分,去满足时间平均的要求。通过这种途径,时间保留在量子统计物理的框架内以便获得一个平衡态系统的时间平均的物理量。这个框架提供了一个构建约当代数的四元数序列的机会,以致约当-·诺依曼-维格纳机制可以被应用来处理三维伊辛模型。三维伊辛模型构建的四元数基是在S3复数四元数基为三维伊辛模型构建的四元数基自然地表示在四维空间(或者(3 + 1)维时空)一个旋转。这个过程与一些已经非常成熟的理论紧密地联系在一起,例如:复数四元数、四元数量子力学, 四元数相对论(详细见博文《终结猜想-3-四元数代数》、《终结猜想-4-约当代数》和《终结猜想-5- 约当-冯•诺依曼-维格纳机制》)

定理一、二、三和四在引入新的一个维度方面是自洽的和互补的。在定理一、二、三中,三维伊辛模型通过对原始的转移矩阵增加k个单位矩阵的直乘以及在自旋表象中扩展本征矢量的维度被扩展到 (3 + 1)维。在定理四中,三维伊辛模型通过对t个三维伊辛模型的体系进行时间平均以及建立一个与约当-·诺依曼-维格纳机制和约当代数相吻合的量子基被扩展到 (3 + 1)维。定理四解决了在定理二和三中算符的不对易性问题并且保证了前者的正确性。

致此,我们用四个定理(迹不变定理、线性化定理、局域变换定理和对易性定理)从正面支持了我提出的两个大呆猜想。证明过程一路等式到底,一直保持体系的物理性质不变(如转移矩阵的迹不变、作用量不变),将两个猜想的GAP进行了无缝连接。也可以说,终结了两个大呆猜想。证明四个定理如同一套组合拳,干净利落地结束战斗。圆满地完成了自己预定的任务:求解三维伊辛模型的精确解。尽管相关结果的正确性还需要更多同行的验证以及时间的检验。大呆欢迎同行对四个定理的证明过程中可能的疏漏提出意见,但是不接受任何对精确解的最后结果的评价。在猜想已经被严格证明的前提下,任何象高温展开、低温展开那样的结果在精确解面前均已经黯然失色,失去了做为评价标准来评价精确解的资格。从目前大呆的认识水平理解,基本上是功德圆满。四个定理严格地证明了两个猜想的主体部分。在我的猜想论文中,对应两个猜想分别有两个附加的条件,一个是旋转变换的角度K''',一个是权重因子(也就是拓扑相因子)的数值。在证明猜想的论文中也做了论证,在这个《终结猜想》系列的博文中就不做详细的介绍了,感兴趣的网友请看我的论文。因为感觉这里面还有许多问题没有理解透彻,仅仅是论证了其正确性,没有以定理的形式呈现。更严格的证明可能需要微分几何、拓扑几何等方面的深入研究。当然,旋转角度K'''的表达式是针对简单正交晶格这个普遍性情况的,对于简单立方晶格,三个晶体轴方向的角度相等为K拓扑变换的旋转角度K'''应该与K一致,无需任何证明的。

总结一下大呆的工作的意义:发展了一个克利福德代数方法,证明了两个大呆猜想,从而求得了三维伊辛模型的精确解,解决了这个物理学著名的百年难题。并且发展出一个新的拓扑量子统计理论。这个拓扑量子统计理论利用约当代数、时间平均,在(3+1)维度的约当-·诺依曼-维格纳机制框架内,通过拓扑变换和规范变换来处理三维多体相互作用体系的非平庸拓扑学问题。大呆的工作的意义可以从支持者和反对者的言论中得到印证。猜想支持者March教授和Klein教授在论文Physics Letters A 372 (2008) 5052–5053中说:今后在这个领域主要的兴趣是回到张对D = 3的建议,建立两个猜想的精细形式,如作者指出的那样,在[1]中建立的基本的统计力学整个地依赖于它们。(见《激辩猜想-13-分维模型》)猜想的反对者四大天王在他们发表的Rejoinder (Phil. Mag. 88, (2008) 3103)中说:我们的观点是,拒绝接受应用长期已知的展开在足够高和足够低的温度到热力学极限下精确解的严格结果(在[2]中引用)的结论,构成对统计物理的数学基础的否定。”(见《激辩猜想-10-天王反驳》)无论是正方的建立的基本的统计力学,还是反方说的构成对统计物理的数学基础的否定,从正反两个方面表明了大呆的工作的重大意义。在西方的警匪影片中,常常有这样一段对白:“你可以保持沉默,但你所说的都将成为呈堂证供。”一旦大呆的工作被证明是正确的,无论是正方还是反方,发表的所有观点都将成为证明我的工作的意义的支撑材料。而且,反对方出场的人越多,身份和学术地位越高,说明我的工作意义越重大,因为我的工作的思想打碎了反对方(或者说统计物理界主流)划定的条条框框,突破了他们的学术思想的禁锢。的确,我的猜想超越了时代,在发表时几乎没有人认同。经过我自己12年的努力才得到证明。或者说,我自己从数学上理解了我的物理思想。在猜想论文中的两句话,现在变成了28页的证明猜想的论文。难得的是,大呆的物理直觉非常棒,现在回过头去读猜想那篇论文以及《追梦之旅》、《激辩猜想》系列博文,发现大呆十几年前说的话都是对的,学术思想都是正确的。与十几年前相比,现在仅仅是补充了技术细节(当然,猜想的证明过程也不泛闪光点)。大呆坚信,大呆的猜想以及获得的精确解将会被学术界广泛认可(当然,不包括反对方,他们的偏见导致他们对这个问题失去了判断力。我也相信普朗克定理的正确性)。

当然,说我的工作构成对统计物理的数学基础的否定,有点言过其实。实际上,我的工作是正本清源。统计物理在建立时就是针对动力学系统的,是有时间平均的。由于时间平均的复杂性,统计物理学的开山鼻祖们就用系综平均代替时间平均。我的工作表明,对于三维多体相互作用系统(包括伊辛模型),由于三维空间与多体相互作用导致的非平庸拓扑结构要求恢复使用时间平均(仍然保留系综平均)。可以说,三维伊辛模型等多体相互作用体系自发产生时间。这是对时间与空间关系的新的认识,也是对统计物理学的一个贡献。另外一个贡献就是发现了多体相互作用体系的拓扑相因子,这是一种新的拓扑相因子。也证明了时间平均的复杂性(不是简单的求和、求积分)。100多年前,统计物理学的开山鼻祖们不知道后世量子力学的大发展,也不知道量子统计物理中三维伊辛模型存在的问题,更不清楚还有拓扑相因子这样的东东。他们无法用时间平均准确地描述物理世界的动力学行为(他们可能已经意识到,这里面存在一些说不清道不明的东西),就用系综平均来描述,可以说是权宜之计。当然,系综平均能够描述一些简单的统计物理体系,可以说,非常成功。但是,系综平均无法准确地描述三维伊辛模型这样的复杂体系。这是人们经过100多年的探索才理解的道理。所以说,任何真理都有其局限性,时效性。

今后,在三维伊辛模型的研究方向可以开展以下几个方面的工作:一)实验研究三维伊辛模型体系的临界现象,精确地测量临界温度和临界指数,与精确解做比较。当然,这方面已经有一些工作的结果与我的精确解吻合。二)将获得的三维伊辛模型精确解的结果推广应用到其他物理模型体系,通过不同模型之间的映射直接应用三维伊辛模型的精确解。三)用其他方法证明大呆猜想,通过其他途径获得三维伊辛模型的精确解,在此过程中建立不同方法之间的联系。四)从几何和拓扑的角度深入研究局域变换的角度K'''和拓扑相因子的意义。五)研究三维伊辛模型以及相似体系的拓扑效应对物理量的贡献,将高温展开、低温展开、重整化群方法或者蒙特卡洛方法获得的结果与精确解做比较,其差值即为拓扑学的贡献。这些近似方法有一个新的用武之处。六)求解其它更为复杂的三维伊辛模型(如四面体晶格、三维蜂窝晶格)。七) 拓展求解三维伊辛模型的方法的适用范围,研究非局域效应对物理量的贡献。以三维伊辛模型作为一个研究平台,建立其与其他物理体系以及数学理论的联系,包括共形场论、规范理论以及超弦理论等,从而寻求解决这些理论体系的重大科学问题。八)在拓扑学、代数学、几何学、凝聚态物理、统计物理、高能物理、计算机科学等领域的应用。总之。三维伊辛模型的水很深,目前露出水面的仍然是冰山一角。

由于三维伊辛模型的精确解是一个学术界久攻不下的难题,这个研究方向从物理学的热点问题变成冷门。但是,蕴含在三维伊辛模型的精确解中的物理本质没有随时间的改变而改变。三维伊辛模型的精确解肯定仍然是一个重大的物理学问题。由于伊辛模型是一个最基本的多体相互作用模型,获得其精确解以及求解的过程和方法必将对理解其他物理体系具有重要的指导意义。因为这些体系中的共性问题必然在求解三维伊辛模型的精确解的过程中被揭露出来。大呆用人格担保,三维伊辛模型精确解是一座金矿,而且是一座富金矿,感兴趣的人只要肯花费一些功夫,肯定会从中有所收获。三维伊辛模型精确解的研究方向注定会从一个冷门转变成热门。我的猜想的论文注定是一篇睡美人的文章。我的猜想的论文发表后在《哲学杂志》网站上12年的下载量为450,证明猜想的论文发表后,半年多下载量飙升到740。可见学术界重新燃起对猜想论文的兴趣。最近,世界上排名前十的国际科学出版社社长来信邀请我撰写伊辛模型的专著。

       下一回,我们将迎来《终结猜想-23-侠侣传奇》,然后,《终结猜想》系列博文将暂时告一段落,在下一篇博文将迎来又一个高潮,并且公开三维伊辛模型精确解求解过程中的一个内幕,是一个具有震撼力的爆料,敬请大家继续关注。

参考文献(三维伊辛模型精确解研究三部曲):

1,提出两个猜想:Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

2,初探数学结构:Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

3,证明四个定理:Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2





http://blog.sciencenet.cn/blog-2344-1198556.html

上一篇:终结猜想-21-再度交锋
下一篇:终结猜想-23-侠侣传奇

11 郑强 蒋迅 杨正瓴 吴斌 田云川 王安良 耿修瑞 孔梅 黄永义 李毅伟 郭胜锋

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (9 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备14006957 )

GMT+8, 2019-10-14 17:16

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部