网友们敏锐察觉到对“多项式时间”的解读是探讨“P versus NP”的一个重要议题，为此谈及一个旨在解读“多项式时间”的表达式（注）：

- 2^n＝Cn,0+Cn,1+Cn,2+Cn,3+…+ Cn,n-1+ Cn,n

一方面，从组合数计数公式Cn,k=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)/k!来看，Cn,k是一个k次多项式，其中k≤n，等式的右边是多项式，而等式的左边是指数型，故有：指数型函数与多项式函数相同。另一方面，于算法的一般性质，指数型时间复杂度的算法与多项式时间复杂度的算法又不同，故网友们认为，此等式隐含着“悖论”。

为了方便分析此“悖论”，我们构造另外一个更容易分析的表达式：

－2＊n ＝ 2+2+…+2，即n个2的加法，可表达为2乘n。

实际上，这个表达式涉及到两个观点：一是人的认知，二是算法（数学式）。

作为人的认知，这个表达式可看成是一个命题，其意义是：人认为，2＊n ＝ 2+2+…+2这个式子揭示了——“乘法”是人对加法（算法）的抽象，这是一个关于事实的本质的陈述，是认知层次上的。

在算法层次上，2＊n ＝ 2+2+…+2表达的是算法。人做乘法只有两个工具，背九九乘法表，或者，将乘法转化为加法由计算工具执行。我们知道，在具体的计算机ＣＰＵ硬件中，所有的计算都是由加法器完成的，就是说，计算机本质上只是一个加法器，计算机永远只能做加法，通过编程，机器才能做乘法，所以2＊n ＝ 2+2+…+2表达的是转化关系，也就是机器如何以加法器执行乘法。在这个意义上，2＊n ＝ 2+2+…+2不过也就是Ｐ＝Ｐ。

但是，若把算法层次混入到认知层次，这个表达式就成了“悖论”，即于算法意义上得出：“乘法=加法”，由此悖论推出，计算机本质是乘法器，即具有加法并行能力，是本质上的并行计算机，也相当于具有计算NP的指数时间能力的“神喻机”了。

悖论产生于兩个不同层次的混淆，但若将两个层次清楚分开，悖论就不悖了。用同样的方法也可以分析网友们提出的表达式“2^n＝Cn,0+Cn,1+Cn,2+Cn,3+…+ Cn,n-1+ Cn,n”所隐含的“悖论”。

“白马非马”揭示了相同的意义，当把公孙龙与卫兵的立场分开，“白马非马”就不矛盾了，“悖论”非悖也！

注：

－多项式型与指数型算法悖论（http://blog.sciencenet.cn/blog-340399-907226.html）

－P≠NP——基于认知的视角（http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=2446134&do=blog&id=914263）