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魔方里的科学和文化【导读：数学符号的内涵与美】精选

已有 13655 次阅读 2015-11-23 08:41 |个人分类:视频专栏：《魔方和数学建模》|系统分类:科普集锦| 魔方

魔方里的科学和文化【导读：数学符号的内涵与美】

关于三阶魔方，还有很多问题没有真正从数学上解决。

例如，三阶魔方的那些复位公式（操作序列）是如何弄出来的？能否给出数学意义上的推导？

我把对这个问题的回答放在本文的后面，因为有一系列的图片，现在先引出本文主题：数学符号的内涵与美。

网络里或别人的书里，都使用U（上）、D（下）、L（左）、R（右）、F（前）、B（后）来表示魔方小块的方位和操作序列。显然，U、D、L、R、F、B不是数学意义上的符号。因此，这些符号没有（或难有）可运算性。

我从1991年开时，就使用米勒指数（Miller index）来分类和表示魔方小块及其方位。因为，米勒指数是在笛卡儿坐标系里定义的。因此，我必须使用X（前）、-X（后）、Y（右）、-Y（左）、Z（上）、-Z（下）来表示魔方的操作序列，以便对应笛卡儿坐标系。无论是X、-X、Y、-Y、Z、-Z，还是米勒指数，都是数学意义上的符号，具有可运算性。在讨论高阶魔方问题时（如复位），可以充分展示这些数学符号的内涵与美。因此，我用了四章的内容来达到这一目的。

第8章四阶和五阶魔方的复位；第9章六阶和七阶魔方的复位

第10章八阶和九阶魔方的复位；第11章十阶和十一阶魔方的复位

如上所见，高阶魔方的复位用了4章的篇幅，从4阶魔方讨论到11阶魔方。实际上可以一直讨论下去，但是没有必要了。读者完全可以根据我给出的内容，自己外推出任何阶数高于11阶魔方的复位操作序列。

此图是手稿里的，在出版的书里，是彩色（双色）的。图中的数字是米勒指数，表示小块的位置，具有丰富的数学内涵：

（1）可以区分小块的类

例如，红色线框内标注①的小块和蓝色线框内标注①的小块属于同类，这样的小块共有48个。无论你怎么转动魔方，这48个小块只能在它们的类内置换，跑不出类外，就像角块跑不到边块位置一样。米勒指数<431>族有48个，和48个魔方小块一一对应。

（2）可以确定类内小块的数量

刚刚举例说的小块，其同类有48个。红色线框内标注③的和蓝色线框内标注③的小块属于同类，这样的小块共有24个。无论你怎么转动魔方，这24个小块只能在它们的类内置换，跑不出类外。米勒指数<411>族有24个，和24个魔方小块一一对应。

米勒指数（Miller index）也可以理解为一个矢量的三个分量，对于8阶魔方（和9阶魔方），我恰好定义魔方的边长为8个单位，将笛卡儿坐标系原点置于魔方立方体的中心。因此，这些米勒指数没有分数，都是整数，这满足科学的简单性原理。

我要强调的是，米勒指数表示魔方小块的方位，不但看起来漂亮，而且还有助于递推魔方小块换位的操作序列。红色线框所在的面位于魔方的前面，蓝色线框所在的面位于魔方的底面。在魔方前面的红色线框内，从左到右排列着6个面块（面上的小块），在魔方底面蓝色线框内，从左到右也排列着6个面块（面上的小块）。

用1个红色线框内的小块交换1个蓝色线框内的小块，如何实现呢？换句话说，就是分别进行：①和①交换；②和②交换；③和③交换；④和④交换；⑤和⑤交换；⑥和⑥交换。要实现这些交换，就需要操作序列（操作公式）。

如果使用米勒指数表示小块的方位，如下图所示，递推规律一目了然。

上面的图表中，小块的排列次序是按照图10.5的次序，表格中第1列米勒指数的排列次序对应①、②、③、④、⑤、⑥的排列次序。表格中第3列和第7列中y的系数，和对应行的米勒指数的第2位相同。需要指出的是。交换①和①的操作序列就是表格中的第1行，有8步：第1步转动-3y层，转角为90度；第2步转动-Z层，转角为90度；第3步转动1y层，转角为90度；第4步转动-Z层，转角为270度；第5步转动-3y层，转角为270度；第6步转动-Z层，转角为90度；第7步转动1y层，转角为270度；第8步转动-Z层，转角为270度。以此类推其他小块的交换操作序列。注意到，①和①交换、②和②交换、③和③交换，虽然转层不同，但是它们的转角是完全相同。④和④交换、⑤和⑤交换、⑥和⑥交换，虽然转层不同，但他们的转角是相同的。

除此之外，还有一点需要强调：在操作-Z层时，可以只转动-4z层，或同时转动-3z和-4z两层，或同时转动-2z、-3z和-4z三层。这3种操作模式只能选择一种，一旦选定，要贯穿操作全程（即完成8步）。

好了，现在回答开头的问题：

三阶魔方的那些复位公式（操作序列）是如何弄出来的？能否给出数学意义上的推导？

（1）把三阶魔方所有的状态（约10的19次方，巨大的大数据）按照步长都计算出来，编制成《魔方状态手册》（相当于数学手册），你随机地给出一个魔方状态花样，立刻可以从《魔方状态手册》里查找出能产生这个状态花样的最短的操作序列（公式）。如果用Google公司制造的“四核”计算机，完成这个任务需要40个35CPU年。

（2）那些操作公式（操作序列）如何从数学上严格地推导出来，现在世界上没有人能完成这个工作。

现在网络上流行的三阶魔方复位公式（操作序列），都是根据魔方爱好者的经验积累归纳出来的。

那些眼花缭乱玩魔方复位的人，他们可以完全不懂数学。但是，他们站在前人（经验归纳魔方复位公式的人）的肩膀上，几秒或十几秒就可以把随意搅乱的魔方复位，他们靠的是：70%的记忆力和30%汗水（要苦练）。

1992年，我用我的《魔方及其应用》（￥5元），和Davi Singmaster交换了两本书，书的封面如下（这两本书也如此说）：