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第二讲的重点是“魔方和准晶体”，同时也涉及了一些“魔方和夸克”、“魔方和基因”、“魔方和晶体学”、“魔方和矩阵”等内容。

现在按时间顺序，说课如下。

花1分48秒破题，用世界名著《我们赖以生存的隐喻》讲解了“隐喻”的定义及其跨越式思维的特点。

然而，本讲的内容确实有点跨越性：一会儿夸克、一会儿基因、一会儿准晶体、一会儿晶体学、一会儿矩阵。由此可见，魔方确实可以被当作科学模型，而且可以被用于多个不同的学科。

接下来用了6分钟的时间，讲解了“魔方和夸克”的隐喻关系，其中强调了“有重复的组合”的数学问题。显然，这里不能深入讲解，只能点到为止。深入理解夸克禁闭的原因，必须从对称性入手，因为夸克最初是定义在一种对称的数学空间里（SU(3)），而魔方的夸克也是由于魔方的结构对称性的限制所造成的。

在“魔方和夸克”段落，呼应了第1讲的15子棋。人为地把15子棋棋盘的14和15两个棋子交换位置，通过移动棋子法，不可能再把它们更正过来。同样，人为地组装出魔方的一种错位状态，不可能通过转动魔方把这个魔方复位。

实际上，这里再一次强调了“15子棋和魔方”的关系，也算是“从洛书到魔方演化”的一个补充论据。

在7分53秒的时候，屏幕的PPT跨越到了基因。

讲“魔方和基因”用了6分钟。基因的问题必然涉及到碱基，包括碱基的“组合”（编码）和碱基的排列。

一般地说，3个碱基决定（编码）一个氨基酸。当然了，碱基编码组成氨基酸，存在简并的情况。碱基的排列组成基因，换句话说，从4个碱基拿出3个，进行有重复的排列，有64种，正好对应64个基因遗传密码。需要强调的是，“有重复的排列”是个严格的数学定义。

在10分41秒，特别强调了一句：“为了回避生物化学的细节，我们用a　b　c　d四个数学符号，来代表4个碱基A　T　G　C”。

盖莫夫（Gamow George）当年的设想，“4个碱基拿出3个组合氨基酸，可以有20种。这帮助克里克（Francis Crick）确定了常见的蛋白质中的20种氨基酸。现在看，盖莫夫的编码表（Gamow's diamonds）有两个错误：重叠（overlapping）和非简并（non-degenerate）。现在公认的碱基编码是非重叠的和简并的。但是，盖莫夫对基因编码的贡献是公认的。

经过数学抽象之后，从a　b　c　d  4个元素中拿出3个进行有重复的组合，有20种情况；如果进行有重复的排列，有64种。需要强调的是：“有重复的组合”与“有重复的排列”是严格的数学定义。

在“魔方和基因”段落，穿插了“从3个夸克中拿出3个进行有重复的组合，有10种情况”、“从-1、0、1三个数字中拿出3个进行有重复的排列，有27种情况”、“64卦也是从4种符号中拿出3个，进行有重复的排列，有64种”。

然后，用多伦多大学的在《自然》的封面文章，结束了“魔方和基因”的隐喻。

14分10秒，屏幕上的PPT回顾了第1讲的结论性内容。接着特别强调了“魔方和九宫图”，即魔方的每一个面就是一个九宫图。

接下来，引入了一个重要的概念—魔方小块的特征点。

特征点概念不但在讨论“魔方和准晶体”时需要，在讨论“魔方和晶体学”以及用矢量法定义魔方小块方向指数时，都需要特征点的概念。

因此，针对特征点，在14分41秒，向学生提出了一个问题。

“魔方和准晶体”的隐喻，是第2讲的重点内容。从14分41秒开始，一直讲到28分45秒结束，用了14分钟。

在这个重点段落里，提到的内容有：

2011年以色列人的诺贝尔化学奖（准晶体）、正20面体、足球、C60、0.618法、黄金数1.618、斐波纳契级数，等等。

其中，用魔方的特征点和1.618求解正20面体的12个顶点坐标是本段落的关键内容。前面已经讨论了特征点，而且还提问了学生。因此，1.618及其应用应该是本段落的另外一个关键点。首先展示出求解0.618的代数方程，然后用同样的方式展示出求解1.618的方程，随后列出了斐波纳契级数，再一次导出了1.618，最后给学生提供了斐波纳契级数在生物学（花瓣数）中应用的线索。

在点群里，正20面体和C60是一回事。而C60的对称性和足球的完全相同。因此，老师把学生熟悉的足球展示出来，并且和正20面体模型进行了对比。

讨论完“魔方和准晶体”后，接下来讲“魔方和晶体学”，从28分49秒到31分3秒，用了2分14秒。该段落用矢量法导出了魔方小块的方向指数，这些数在晶体学中被称为米勒指数。

此外，还从“有重复的排列”的角度，强调了“这三个数，拿出三个来进行有重复的排列，一共有27种，即27种情况”。实际上，这在“魔方和基因”段落里就提到了这个“27”，这里结合魔方给出了详细的解释。

31分5秒，开始讨论“魔方和矩阵”，直到41分55秒，用了10分50秒。

这一段的主要内容是推导了三个转动矩阵。在推导的过程中，强调了描述一个转动需要三个要素：转轴、转向和转角。

因为绝大多数选课的学生没有学过矩阵，因此，本段落从学生熟悉的行列式开始。老师特别强调，行列式只表示一个数，而矩阵可以表示一个状态，也可以表示一个操作。

针对矩阵，老师给学生补习了两点内容：矩阵和矩阵的乘法；矩阵和矢量的乘法。

矩阵和矩阵的乘法，没有展开讲。矩阵和矢量的乘法，在推导三个转动矩阵的时候，就用到了。

推导三个转动矩阵用了9分钟的时间，在第4讲要用到这些矩阵。把这些推导放在这里讲，从教学法的角度看比较好处理。

因为接下来，用两个魔方演示矩阵的乘法不满足交换律的情况，即用魔方转动后的图案不同，隐喻了这些转动矩阵相乘时不满足交换律。

这就又回到了本讲的隐喻主题。

最后，作为本讲的结尾，提出了一个关于魔方循环的命题。

这正是下一讲的主题内容。

（第2讲结束）

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