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卷积,具有丰富多彩的物理意义 精选

已有 29219 次阅读 2012-6-20 08:04 |个人分类:晶体学和空间群|系统分类:科研笔记| 卷积

卷积,具有丰富多彩的物理意义

数学里有一种运算,叫做卷积。

科学网上有个栏目,叫《大话卷积》。

俺也来凑个热闹,欢迎用功夫的拍砖!

卷积是解决晶体结构离不开的计算手段,就像自然界的晶体是丰富多彩的一样,卷积的物理意义也是丰富多彩的。如果你想体会卷积的奥妙,那就从晶体(X射线衍射)学入门吧!

数学里的加法强烈要求两个量的单位(量纲)相同。

例如,2只羊+3只羊=5只羊。

如果把题目修改为:

2只羊+3头牛=?

显然,数学家找不到以上题目的答案,除非把题目本身作为答案。

物理学家使用卷积可以把这个题目做出来。

(注意,俺没有贬低数学家的意思,卷积就是这个样子,在数学里显得干瘪,在物理学里却血肉丰满)

再举一个经典的例子,密立根测定电子电荷的时候,得到一个公式:

Qne,式中Q为油滴的电荷,可以测量;n是一个未知的整数,e也是一个未知数。一个方程里有两个未知数,数学家解不了这个方程,作为物理学家的密立根却解出了这个方程,第一次求出了电子电荷。不过密立根为了求解这个方程,前后用了大约11年的时间,因此获得了诺贝尔物理学奖。

正如《大话卷积》栏目的几位博主们所说,讲卷积离不开傅立叶变换。用信号处理来说明傅立叶变换,根本不能充分显示傅立叶变换的妙处。

在晶体衍射里,傅立叶变换关联着两个完全不同的空间:现实的笛卡儿空间和倒易的衍射空间。

我们知道数学里的矩阵,它的物理意义也是很丰富的。

例如,魔方的转动可以用矩阵来描述,魔方的状态也可以用矩阵来描述。显然,转动是一种操作,而状态就是魔方的图案。

对于卷积也是一样的。在数学里,卷积只是一种运算。但是这种运算可以表达的物理意义是丰富多彩的。

在晶体X射线衍射中,实验测量出的衍射峰的线形h,包括两部分:晶体的贡献f和衍射仪器的贡献ghfg三者的关系满足卷积运算:

晶体对衍射(线形)的贡献+仪器对衍射(线形)的贡献,这就是一种物理学的“加法”,相当于“2只羊+3头牛”。从数学上很难理解“2只羊+3头牛”的命题,但是从物理学却很好理解,因为物理学可以把2只羊和3头牛理解为都是由分子组成的,这样描述2只羊的单位和描述3头牛的单位就一样了,都是分子单位。满足严格的数学要求。

 

这两个是经典的衍射问题,信号处理可能会遇到类似的问题。

   

 


根据公式(1)和公式(2),再考虑到卷积的定义和卷积定理,这是可以理解的。

 

(图2、图3和图4来自外国教授讲光学的PPT;图5和图6来自一个外国教授讲晶体衍射的PPT;俺使用了他们的原图素材,在此算是一个致谢!)

 



大话卷积
http://blog.sciencenet.cn/blog-2321-583961.html

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