400年：开普勒猜想、数学堆垛和信息纠错码

搞材料的人，都知道原子堆垛成面心立方和密排六方的致密度是0.74，但是很少有人知道球堆垛是个古典的数学问题。

科学需要点红杏出墙。

搞材料的人，只关注现实问题（0维、一维、二维和三维），总是低头走路，很少抬头仰望天空。

搞数学的人，他们不但生活在现实的三维空间，也生活在抽象空间（例如24维或更高维空间），著名的24维空间堆垛就是从开普勒堆垛橘子发展起来的。

虽然我们造不出四维（或者更高维）材料，但是我们的大脑却可以工作在高维空间，帮助我们解决一些在人间（三维空间）无法解决的问题。

开普勒不愧是搞天文的，仅仅根据观察水果店堆垛橘子，为数学界提出一个奋斗了400年的问题。

现在，数学家不但解决了开普勒猜想，而且还发展了24维空间堆垛理论，为数字信号的安全传播（纠错码）奠定了理论基础。

对于基础研究，急功近利者总是发问：

你那东西有什么用呢？

现在不是信息社会吗？

信息储存和压缩传播的核心原理，就来源于“傻乎乎”的几个数学家在高维空间堆垛积木球的数学游戏。

1948年，Shannon 发表关于信息理论的里程碑文章时，把数字通讯的核心问题之一归纳为“如何用球填充一个N维空间”。

和填充三维空间类似，描述填充N维空间也有两个基本参数：填充密度和配位数（kissing number）。

1900年，Gosset就已经研究了8维点阵，即 E₈ 点阵，也被称为Gosset点阵。

由此可见，数学家总是走在前面。

    1965年，Leech研究了24维点阵。

古人玩堆垛（相同圆球）积木游戏的时候，总想在有限的空间中填充最多的球，即如何堆垛才能实现填充密度最大？

1611年，德国天文学家开普勒（Johannes Kepler）给出了一个猜想型的答案：

没有什么堆垛模式比FCC堆垛的密度更大，开普勒给出的FCC堆垛密度是0.7405。

这就是著名的开普勒猜想（Kepler's Conjecture），直到大约400年后的1998年，才被美国数学家Thomas Hales给出了正确的证明。开普勒猜想也被希尔伯特收入到23个数学问题（第18题的部分内容）。

1850年，晶体学家Bravais归纳出了14种晶体学点阵，其中包括FCC和HCP两种点阵，其堆垛密度都是0.74。

更准确的值是π/(3srq(2))≈0.7404804770618256407353373605801。

但是，数学点阵和晶体点阵不是一回事。

例如，数学承认FCC堆垛是一种点阵，而HCP堆垛就不是一种数学点阵。

军队堆垛炮弹，照片来自NATURE|VOL 425 | 11 SEPTEMBER 2003

虽然我们知道，在3维空间，在所有的堆垛模式中，最大的堆垛密度是0.74。

如何用数学证明这个结论，却是个400年的老问题。

Thomas Hales用了6年的时间，终于给出了正确的证明，6篇系列文章发表在Discrete & Computational Geometry，2篇于1997年发表，4篇于2006年发表，6年＋9年＝15年。文章的题目很简单：Sphere Packings。

Discrete Comput Geom 17:1-51 (1997)，篇幅51页；

Discrete Comput Geom 18:135–149 (1997)，篇幅15页；

Discrete Comput Geom 36:71–110 (2006)，篇幅40页；

Discrete Comput Geom 36:111–166 (2006)，篇幅56页；

Discrete Comput Geom 36:167–204 (2006)，篇幅38页；

Discrete Comput Geom 36:205–265 (2006，篇幅61页。

以上6篇文章的作者数目，只有Thomas Hales自己1人。

由此可见，搞科学不是大炼钢铁，研究科学问题，人越少越好。而大炼钢铁却是人越多越红火。

关于开普勒猜想研究的表明：

原创性的科学研究是无法进行规划的。

在Shannon 创立信息论之前，谁也不知道高维堆垛理论就是信息通讯理论的核心内容之一。

有板有眼的科研规划都是圈子里的人有组织有纲领地把科研经费提前瓜分了。

在信息论诞生之前，谁也不知道数学家在远离我们生活的三维空间，在高维空间玩堆垛橘子的游戏有什么重大科学意义和社会意义？