立方体和五次对称性：0.618刀法

人们把1.618（或0.618）称为黄金比（黄金分割法），有时也被称为优选法。

上次有位网友留言说：

发表评论人：penrose [2009-3-25 11:37:37]

对于一些结构非常复杂的晶体，如果从传统的能带计算上给出电子结构的相关参数的话，是非常困难的，李老师可有魔方妙招？
五重对称性能用魔方演示么？

第一个问题，在问题提出的地方，已经答复了。

第二个问题，俺始终觉得回答得不到火候。现在再次讨论如下：

如果以1.618为边长，构造一个（1.618）立方体，把笛卡尔坐标系的原点置于立方体中心（0，0，0），从原点（0，0，0）到立方体每个面的距离就是0.809=1.618/2。

       如图所示，线段1－2在魔方的上面上，线段3－8在魔方的右面上，线段6－10在魔方的左面上，线段9－12在魔方的底面上，线段2－11在魔方后边的面上。

需要强调的是，魔方6个面上的6条线段确定了1个20面（三角形）体。

如果6条线段都相等，其中点都位于坐标轴。如果线段的长度为1，一半就是1/2。别忘记，魔方的边长为1.618。

在魔方立方体的框架下，很容易求出正20面体的12顶点的坐标。

例如，点1的坐标为（0.5，0，0.809），其他的以此类推。

注意：0.809＝1.618/2

如果从纯粹转动的角度讲，魔方的转动对称性对应O群，有24个元素。

上面的正20面体对应I群，有60个元素。

如果把12个顶点从线段（例如1－2）的1/3处正切割，就会切出12个五边形，同时，原来的三角形变成了六边形，这就是足球。

如果把反演i操作加上，O群就变成了Oh群，有48个元素。

同样：

如果把反演i操作加上，I群就变成了Ih群，有120个元素。

 
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