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可变系时空多线矢及其矢算应用于广义相对论

已有 1455 次阅读 2016-3-19 08:48 |个人分类:物理|系统分类:论文交流|关键词:可变系时空多线矢及其矢算应用于广义相对论

可变系时空多线矢及其矢算应用于广义相对论

 

    中国科学院力学研究所吴中祥

 

                                         

 

作为可变系时空多线矢及其矢算具体运用的实例,应用于迄今唯一已有的非惯性牵引运动理论,广义相对论的“3个验证”,所讨论的引力问题。

 

关键词:可变系时空多线矢及其矢算,广义相对论的“3大验证”

 

1.可变系时空多线矢和矢算导出引力公式

为简便计,仅讨论两个质点(0),(1) (即设其它物体对此两者的影响可以忽略, 两者本身的尺度与其间的距离相比,可以忽略),间的引力。

按不变基矢系[基矢系0]

质点(0)为静止实物,静止质量为M(0(0)); 运动质量M((0))= M(0(0))

质点(1)静止质量:M(0(1))=0, (光子); M(0(1))=0, (实物粒子)

质点(1)运动质量:

M(1) =h[频率(1)] c^2, (光子)

M(1)= M(0(1))(1-[r(1-0(0,j))时间导数^2/c^2,j=13求和] )^(-1/2) (实物粒子)

质点(0)对质点(1)的引力势为:

U((1-0(0))) =KM(0)M(1)([ r(1-0(0,a)) ^2, a=03求和] )^(-1/2)

=KM(0(0))M(0(1))(1-[r(1-0(0,j))时间导数^2/c^2,j=13求和] )^(-1/2)

  ([ r(1-0(0,a))^2, a=03求和] )^(-1/2),  ((0),(1):实物粒子)

=KM(0(0))h[频率(1)] c^2([ r(1-0(0,a)) ^2, a=03求和] )^(-1/2),

                                    ((0)实物粒子, (1):光子)     (1.1)

M(0(0)), M((1))=0

应有r(1-0(0)) ^2=([ r(1-0(0,a)) ^2,a=03求和]) =0,否则U((1-0(0))无意义, 因而,在4维空间的单连通区域内应将r(1-0(0))=0的点从相应的Green函数在4维空间的积分中扣除。

 

质点(0)对质点(1)的引力:

[F((1-0(0)))] =[D(1-0(0)] U((1-0(0))

=K( M(0(0))[(偏分r(1-0(0,a)M(1))[r(1-0(0,b))^2,b=03求和]

-M(1) [r(1-0(0,b))偏分r(1-0(0,a) r(1-0(0,b)),b=03求和] )

[r(1-0(0,b))^2,b=03求和]^(-3/2) [基矢0(a)],a=03求和]

=KM(0(0))M(0(1))(1- r(1-0(0,j))^2,j=13求和]^(-3/2)

                [r(1-0(0,b))^2,b=03求和]^(-3/2)

                [(dr(1-0(0,j)/dt(0))(偏分r(1-0(0,a)(dr(1-0(0,j)/dt(0))/c^2)

[r(1-0(0,b))^2,b=03求和]

                -(1-(dr(1-0(0,j))/dt(0))^2/c^2,j=13求和])

             [r(1-0(0,b))(偏分r(1-0(0,b) r(1-0(0,b)), b=03求和])

[基矢0(a)],a=03求和],    ((0),(1)均实物子)

=KM(0(0))h([频率(1)]c^(-2)[r(1-0(0,b))^2,b=03求和]^(-3/2)

[(偏分r(1-0(0,a) [频率(1)]) [r(1-0(0,b))^2,b=03求和]

         -[频率(1)] (偏分r(1-0(0,a)r(1-0(0,b)), b=03求和])

         [基矢0(a)],a=03求和],        ((0):实物粒子, (1):光子)    (1.2)

这相当于将Newton引力定律扩展到4维时空的近、远程及其过渡,并应用

于各种相对论性粒子。

 

[频率(1)] (偏分r(1-0(0,a)r(1-0(0,b)), b=03求和])=0

[(dr(1-0(0,j)/dt(0))(偏分r(1-0(0,a)(dr(1-0(0,j)/dt(0)) ,a=03求和] =0

 

简化为:

[F(1-0(0)]

=-KM(0(0))M(0(1))(1-[r(1-0(0,j))时间导数^2/c^2,j=13求和] )^(-1/2)

   ([r(1-0(0,b ))^2, b=03求和] )^(-3/2)

[[r(1-0(0,b ))(偏分r(1-0(0,a) r(1-0(0,b)), b=03求和]

[基矢0(a)],a=03求和],              ((0):实物粒子, (1):光子)

=-KM(0(0))h[频率(1)]c^(-2)[r(1-0(0,b))^2,b=03求和]^(-3/2)

[[r(1-0(0,b))(偏分r(1-0(0,a) r(1-0(0,b)), b=03求和])

[基矢0(a)],a=03求和],              ((0):实物粒子, (1):光子) (1.3)

 

[r(1-0(0)]3维空间分量远大于“时轴”分量,为长程(通常)引力,近似有:

[F(1-0(0)]

~ -KM(0(0))M(0(1))(1-[r(1-0(0,j))时间导数^2/c^2,j=13求和] )^(-1/2)

 ([r(1-0(0,b ))^2, b=03求和] )^(-3/2)

[[r(1-0(0,b ))(偏分r(1-0(0,a) r(1-0(0,b)), b=03求和]

[基矢0(a)],a=03求和],              ((0): , (1): 均实物粒子)

~-KM(0(0))h[频率(1)]c^(-2)[r(1-0(0,b))^2,b=03求和]^(-3/2)

[r(1-0(0,b))[(偏分r(1-0(0,a)r(1-0(0,b)), b=03求和])

[基矢0(a)],a=03求和],               ((0):实物粒子, (1):光子) (1.4)

 

引力也是辏力,当引入辏力的相应表达式,设M(0(0))足够大,引力中心与参考系原点(0)相重,且运动仅限于在[基矢012] 3-维时空内 (Newton 引力),并取变换:

1/L(0) =[r(1-0(0(3)))r=[r(1-0(0,b))^2,b=13求和]^(1/2),上式简化为:

[F(1-0(0,0)]

~- ict(1-0(0))KM(0(0))M(0(1)L(0)^3(1+((rp(12))/(M(0(1)c))^2

   ((dL(0)/d[r(0,1)])^2+ L(0)^2))^2;

[F(1-0(0,1)]~-KM(0(0))M(0(1)L(0)^2c(r(0,1)) (1+((rp(12))/(M(0(1)c))^2 ((dL(0)/d[r(0,1)])^2+ L(0)^2))^(1/2);

[F(1-0(0,2)]~-KM(0(0))M(0(1)L(0)^2s(r(0,1)) (1+((rp(12))/(M(0(1)c))^2 ((dL(0)/d[r(0,1)])^2+ L(0)^2))^(1/2);

[F(1-0(0,3)]=0,                  ((0):, (1) 均实物粒子)

 

[F(1-0(0,0)]

~- ict(1-0(0))KM(0(0))h[频率(1)]c^(-2)(rp(12))L(0)^3

((dL(0)/d[r(0,1)])^2+ L(0)^2))^(1/2);

[F(1-0(0,1)]~-KM(0(0))h[频率(1)]c^(-2)(rp(12))L(0)^2 c(r(0,1))

((dL(0)/d[r(0,1)])^2+ L(0)^2))^(1/2);

[F(1-0(0,2)]

~-KM(0(0))M(0(1)h[频率(1)]c^(-2)(rp(12))L(0)^2 s(r(0,1))

((dL(0)/d[r(0,1)])^2+ L(0)^2))^(1/2);

[F(1-0(0,3)]=0,                  ((0):实物粒子, (1):光子)    (1.5)

 

又由于引力质量与惯性质量相等,引力与惯性力平衡,对于实物粒子和光子都可以建立如下等式:

[F(1-0(0,a)] = -[F0(1-0(0,a)]a=0,1,2,3,  而有:

 

((d^2)L(0)/(d[r(0,1)])^2+L(0))(1+((rp(12))/(M(0(1)c)^2

/((dL(0)/d[r(0,1)])^2+ L(0)^2))^2=KM(0(0))(M(0(1)/(rp(12)) ; 即:

(d^2)L(0)/(d[r(0,1)])^2 +L(0)

=KM(0(0))(M(0(1)/(rp(12)) Cexp(2KM(0(0))L(0)/c^2), ((0):, (1):均实物粒子)

  ((d^2)L(0)/(d[r(0,1)])^2+L(0))((dL(0)/d[r(0,1))+L(0)^2)=KM(0(0))/c^2; 即:

(d^2)L(0)/(d[r(0,1)])^2 +L(0)

=(K M(0(0))/c^4)(hC’/( rp(12))^2 exp(2K M(0(0))L(0)/c^2),

((0):实物粒子, (1):光子), (1.6)

2.用本理论体系演绎矢算地处理广义相对论的“三大验证”问题

现用本理论体系,普适于任意参考系(包括非惯性牵引运动的)和时空(包括

Riemann弯曲的) 统一的,连续演绎的代数和解析矢算,具体处理广义相对论的“三大验证”问题(此处物体本身的尺度,与相互作用和运动范围相比,都可以

忽略,因而,都可当作质点处理)

(1) 行星绕日“进动角”

对于太阳系各行星,M(0(0))L(0)c^(-2)都是小量,取1级近似,由(1.6)(实物粒子)有:

(d^2)L(0)/(d[r(0,1)])^2 +L(0)+(1+ 2K M(0(0))L(0)/c^2+)/p(0)=0;  

Ict(0,1)=-icC((rp)12)M(0(1))^3(1+((rp)12/(M(0(1))c))^2

(1+2KM(0(0))L(0)/c^2+)(dL(0)/d[r(0,1)])/ L(0)

((d L(0)/d[r(0,1)]) + L(0)^2))^(-3/2),

其中1/ p(0)=- CKM(0(0))(M(0(1))/((rp)12))^2

 

对适当的初始条件,由上式L(0)的微分方程,解得M(0,1)的运动轨迹为:

L(0)~ (1+e(0)cos(1-KM(0(0))/(p(0)c^2))[r(0,1)])/p(0),

(d L(0)/d[r(0,1)]) +L(0)^2)

~ (1+ e(0)^2+2e(0)cos(1-KM(0(0))/(p(0)c^2))[r(0,1)]/p(0)^2

+e(0)^2KM(0(0))/(p(0)c^2)(-2+KM(0(0))/(p(0)c^2))

sin^2 (1- KM(0(0))/(p(0)c^2))[r(0,1)]),                       (2.1)

(2.1)可见, 每当差[r(0,1)]~2/(1-+ KM(0(0))/(p(0)c^2)) 弧度时,M(0,1)的运动轨迹重复,即可求得每转“进动角”为:

[进动角(0)] =[r(0,1)]-2~2KM(0(0))/(p(0)c^2)弧度/,         (2.2)

 

实际观测表明:(22)表达的每转“进动角”并不正确,这是因为该式的导出并未考虑到非惯性牵引运动系时空的弯曲特性,而采用了不变基矢系[基矢系(0)]表达(1)点的运动轨迹。

为此,将(2.1)由按[基矢系(0)]变换为,按可变基矢系[基矢系(!)]

L(0,(1)) ~正或负2/(cos[r(0,1)]sin[r(0,1)](2c^2t(0,1)^2

               (1+e(0)sin[r(0,1))^2/p(0) -1])

              (1+e(0)sin(1-3KM(0(0))/(p(0)c^2))[r(0,1)]

-(3/2)e(0)KM(0(0))/c^2cos[r(0,1)]

-2p(0)(1+(1+e(0)sin[r(0,1)])^3/((1+e(0)sin[r(0,1)])^2

-p(0)^2/2c^2t(0,1)^2))e(0)KM(0(0))/c^2

([r(0,1)]-/2)cos[r(0,1)] +),               (2.1')

(2.1')可见,

每当差[r(0,1)(1)]~2/(1-3KM(0(0))/(p(0)c^2)

~2(1+3KM(0(0))/(p(0)c^2) 弧度时,M(0,1)的运动轨迹重复,即可求得每转“进动角”为:

[进动角(1)]=[r(0,1)(1)]-2~6KM(0(0))/(p(0)c^2)弧度/,      (2.2')

 

用太阳系九大行星的已知有关参量代入(2.2') 计算[进动角(1)],并与其实测值[进动角(1)] Einstein理论值[进动角(1)] 比较(见下表)

(其中,冥王星现已被排除为大行星,但是,在此的有关数据,仍然有意义。)

 

                            天王 海王   冥王

P(0)=l(0)(1-e(0)^2)^(1/2)

(百万公里)   56.76 108.0  149.7  227.0 777.1  1424  2866 4496  5725

T(地球年)     241   .625  1.00   1.88   11.9  29.5   84.0  104.8 247.7

[进动角(1)]

(/百年)     41.88  8.485 3.826  1.342  .062  .014  .0024  .0012 . 0004

(10^(-7)弧度/) 4.893  2.571 1.855  1.22   .357  .195  .097   .062 .049

[进动角(1)]

(/百年)      43.03  8.3    3.8    1.35  .06

(10^(-7)弧度/) 5.027   2.015 1.862  1.23   .346

[进动角(1)]

(/百年)     43.11   8.4   5.0

             4.5     4.8   1.2

(10^(-7)弧度/) 4.973   2.545 2.227

 

结果都在实验误差和有效数字范围内很好地相符。

 

(2)光子在引力作用下的频率红移

由在(1)点的光子的惯性力,和受在(0)点的相对静止质量作用的引力,与微分位置矢在3维空间分量的点乘积相等,建立方程。

[基矢系(0)]

KM(0(0))c^(-2) h[频率(1)]d L(0)=hd[频率(1)], 并取小量KM(0(0))c^(-2)/r(1(0,(3))1级近似 (r(1(0,(3))=1/L(0)远大于KM(0(0))c^(-2)),解得:

[频率(1)]~C(0)(1+ KM(0(0))c^(-2)/r(1(0,(3))+),                   (2.3)

其中C(0)是按[基矢系(0)]的积分常数,相当于在引力可忽略的远处(r(1(0,(3))很大)的频率。

(2.3),当光子距引力中心r(1(0,(3))移至r’(1(0,(3))处,其频率移动:

[频率(1)]= [频率(1)] - [频率’(1)]

= KM(0(0))c^ (-2)( 1/ r(1(0,(3))-1/r(1(0,(3))) [频率(1)],        (2.4)

 

[基矢系(1)],当在(1)点的光子由距引力中心r(1(0,(3))处移至r’(1(0,(3))处,其频率移动:

[频率(1)]= [频率(1)] - [频率’(1)]

= KM(0(0))c^ (-2) (1/ r(1(0,(3))-1/r(1(0,(3))) [频率(1)],         (2.4’)

 

(2.4),(2.4’)有相同的形式,且都与Einstein所给光子频率随其距引力中心距离而变的光子频率“红移”公式完全相符,并已由以地球、太阳、和多种星团的多个恒星为引力中心的许多实测所验证。

 

(3)光子在引力作用下运动方向的偏折

[基矢系0],取小量KM(0(0))c^(-2)/ r(1(0,(3))1级近似 (r(1(0,(3))远大于KM(0(0))c^ (-2)),并令C”=hC’/(c(rp(0))12), (1.6)   (光子),有:

(d^2) L(0)/d[r(0,1)]^2+L(0)

+( KM(0(0))c^(-2)))C”^2 (1+2 KM(0(0))c^(-2))L(0)+…)=0,      (2.5)

在近日点附近,还有:

L(0)= h /(c(rp(0))12),  C”=L(0)(1- KM(0(0))c^(-2)L(0) +), 再代入上式,即得光子在近日点附近的运动方程:

(d^2)L(0)/d[r(0,1)]^2+L(0)

+(KM(0(0))c^(-2))L(0)^2 (1-4(KM(0(0))c^(-2)L(0))^2+…)~0,     (2.6)

KM(0(0))c^(-2)L(0) <<1 (在距引力中心较远处,r(1(0,(3))很大处)并取L(0)0级近似L0(0),  (2.6)简化为:(d^2) L0(0)/d + L0(0)~0,  由此解得:

L0(0)~cos[r(0,1)] /R0(0),                                   (2.7)

其中R0(0)是引力中心到光子轨迹的垂直距离。

(2.7)表明:当光子在距引力中心较远处,其运动轨迹是近似于直线。

当取小量KM(0(0))c^(-2) L(0)1级近似,L1(0)(2.6)简化为:

(d^2) L1(0)/d[r(0,1)]^2+L1(0)+( KM(0(0))c^(-2))L1(0)^2~0,      (2.8)

取在L(0)0级近似解, L0(0),附近的“微扰解”,即取小量L*,并令

L1(0)= L0(0)+L*, (9.7),(9.8),有:

(d^2)L*/d[r(0,1)]^2+L*-( KM(0(0))c^(-2))(cos[r(0,1)]/R0(0))^2~0,  (2.9)

   由此解得光子在近日点附近的轨迹:

L1(0)~cos[r(0,1)]/R0(0)+(KM(0(0))c^(-2))(1+(sin[r(0,1)]/R0(0))^2)/3, (2.10)

表明,当引力不可忽略时,光子在近日点附近的轨迹近似为双曲线的一支,在其渐近线([r(0,1)] =/2+正小量(0), L1(0)=0,r(1(0,(3))趋于无穷大)上,由(2.10)有:

0 ~ cos(/2+正小量(0))/R0(0)

+(KM(0(0))c^ (-2))(1+(sin(/2+正小量(0))/R0(0))^2)/3

~正小量(0)+(KM(0(0))c^(-2))2/R0(0)/3, 即有偏转角:

2正小量(0)~-4(KM(0(0))c^(-2))/R0(0)/3,                    (2.11)

 

   (2.11)是按(0)点处的不变轴矢系[基矢系0]表达在(1)点处光子的运动,这对于在引力作用下的非惯性牵引运动系是不正确的,应计及时空几何的弯曲特性而采用可变轴矢系, [基矢系1]

[基矢系0]变换到[基矢系1](2.10)成为:

L1(0)~2(ct(0,1))^2 (cos[r(1,1)]/R0(1))^3 (1+(KM(0(0))c^(-2))

(1+sin[r(1,1)]^2)/R0(1)/cos[r(1,1)]+)

/(sin[r(1,1)]cos[r(1,1)]),                            (2.10')

也近似为双曲线的一支,在其渐近线([r(1,1)]=/2+正小量(1),L1(0)=0,  r(1(0,(3)) 趋于无穷大)上,有:

0~1+( KM(0(0))c^(-2))(1+sin(/2+正小量(1))^2)/R0(1)/cos(/2+正小量(1))

~1-( KM(0(0))c^(-2)) (1+1)/正小量(1) /R0(1), 即有偏转角:

2正小量(1)~4(KM(0(0))c^(-2))/R0(1),                          (2.11')

(2.11')Einstein的结果完全一致,并与已知的实测结果完全相符。

 

附注:计算中,仅计及质点所受太阳的引力,并未计及其它行星和天体的影响,但在相应的实测情况下,其影响与太阳的引力相比,都在实测误差范围之内而可以忽略,因而其结果都能与已知的实测结果完全相符。

 

3.结论

广义相对论是迄今唯一已有的非惯性牵引运动理论,以上的“3大验证”都是实测证明广义相对论正确性的重要依据。

 

本文由可变系时空多线矢和矢算对它们导出的结果,都与Einstein的结果完全一致,并与已知的实测结果完全相符,当然也证明了可变系时空多线矢在相应条件下的正确性。其中的(1)(3)两例还具体表明:采用矢量表达非惯性牵引运动,必须采用可变基矢系[基矢系x],并且还证明了:本文所给的由[基矢系0][基矢系1]的变换的正确性。至于第(2)例,由于方程在(1)点的光子的惯性力,和受在(0)点的相对静止质量作用的引力,与微分位置矢在3维空间分量的点乘积相等,而建立的方程所导出,虽然[基矢系0][基矢系1]间有偏转,但其中各相应矢量间的点乘积却是一样的,因而,分别由[基矢系0][基矢系1]所得的结果当然就是一样的。

 

  这样,在相对论基础上,就从4维时空1-线矢出发,具体创新地导出了各种物理量的相应4维时空可变系多线矢、纤维丛矢和相应的矢量场。它们分别都是相应的整体矢量,都有各自不同的整体运动变化规律和矢量结构特性。它们既能具体反映非惯性牵引运动系的时空弯曲特性;又能作连续演绎的矢量运算。远比通常的3维矢量和矢算复杂、丰富得多,而且都是客观存在,必需计及,而通常的3维矢量和矢算又无法表达和解决的!

而通常采用的张量,P-形式,Vierbein,或由“点集符号”,“纤维丛”等表达相应的流形等,对于这各种高次、线 (包括2-线) 的物理量多线矢、纤维丛矢和矢量场,也都仅能形式地表达其各相应分量“模长”的集合,或它们间变换矩阵的各“元”。狄拉克(P.A.M.Dirac) 的基矢量 (左、右矢) 也只相当于某种多线矢和相应的倒易矢,都没能表达它们各分量与各相应1-线轴矢间的矢量结构和方向关系,都未能确切, 整体,矢量地表达它们。

而且通常的3维矢算也已不适用于4维时空各高次、线 (包括2-线) 多线矢和矢量场。特别是,非惯性牵引运动系各类多线矢的微分、偏微分还都与时空联络系数(黎曼-克利斯托夫(Riemann-Christoffel)符号) 有关,且各有确定的不同取向的相应组分。

通常使用张量的“缩并”和“反对称化”,以及“外积”、外微分等也都不能确切地进行4维时空各类多线矢和矢量场间统一的,连续、演绎的,代数和解析矢算。

因此,为了在这一层次,研讨各种物理问题,就必须如上以4维时空可变系位置1-线矢作为基本矢量,按通常矢量空间理论,适应4维时空多线矢的结构特性,创新建立相应的代数和解析矢算法则得到各次、线的多线矢和纤维丛矢。

它们的各基矢是由相应各1-线基矢,按相应的矢量结构组成,并相应地决定其维数和方向。各种多线矢的代数(和、差,叉、点乘,倒易矢,,) 和解析 (微分、偏微分、积分,梯度、“散度”、“旋度”,,) 矢量运算就是它们的矢算。形成了一整套统一的,适用于可变系时空各类多线矢的,可连续演绎运算的,矢算工具。

能统一表达、研讨,具体判断、区分,惯性与非惯性牵引运动,欧几里德和黎曼时空,的各种运动特性和规律。用以表达并研讨各种 (包括一些现有理论尚未能解决的)物理问题,并从而发展了相应的时空观。

对于高速、有相互作用的,非惯性牵引运动系,这种可变系时空多线矢量和矢算,是相当于通常3维空间的矢量和矢算对于经典力学,一样地必不可少。

 

用于迄今唯一已有的非惯性牵引运动理论,广义相对论,的实测证明其正确性重要依据的,“3大验证”,都与Einstein的结果完全一致,并与已知的实测结果完全相符,当然也证明了本文在相应条件下的正确性。

 

   本文摘自本人发表在[科学网]的系列博文《“时空可变系多线矢物理学的创建、作用与发展”。




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