可变系时空多线矢及其矢算应用于广义相对论

    中国科学院力学研究所吴中祥

                                 提         要

作为可变系时空多线矢及其矢算具体运用的实例，应用于迄今唯一已有的非惯性牵引运动理论，广义相对论的“3个验证”，所讨论的引力问题。

关键词：可变系时空多线矢及其矢算，广义相对论的“3大验证”

1．可变系时空多线矢和矢算导出引力公式

为简便计，仅讨论两个质点(0),(1) (即设其它物体对此两者的影响可以忽略, 两者本身的尺度与其间的距离相比，可以忽略),间的引力。

按不变基矢系[基矢系0]，

质点(0)为静止实物，静止质量为M(0(0)); 运动质量M((0))= M(0(0))，

质点(1)静止质量：M(0(1))=0, (光子); M(0(1))不=0, (实物粒子)。

质点(1)运动质量：

M(1) =h[频率(1)] c^2, (光子)，

M(1)= M(0(1))(1-[r(1-0(0,j))时间导数^2/c^2,j=1到3求和] )^(-1/2) (实物粒子)，

质点(0)对质点(1)的引力势为:

U(引(1-0(0))) =KM(0)M(1)([ r(1-0(0,a)) ^2, a=0到3求和] )^(-1/2)

=KM(0(0))M(0(1))(1-[r(1-0(0,j))时间导数^2/c^2,j=1到3求和] )^(-1/2)

  ([ r(1-0(0,a))^2, a=0到3求和] )^(-1/2),  ((0),(1)均:实物粒子)

=KM(0(0))h[频率(1)] c^2([ r(1-0(0,a)) ^2, a=0到3求和] )^(-1/2),

                                    ((0)实物粒子, (1):光子)     (1.1)

当M(0(0)), M((1))不=0，

应有r(1-0(0)) ^2=([ r(1-0(0,a)) ^2,a=0到3求和]) 不=0，否则U(引(1-0(0))无意义, 因而，在4维空间的单连通区域内应将r(1-0(0))=0的点从相应的Green函数在4维空间的积分中扣除。

质点(0)对质点(1)的引力：

[矢F(引(1-0(0)))] =[矢D(1-0(0)] U(引(1-0(0))

=K( M(0(0))[(偏分r(1-0(0,a)M(1))[r(1-0(0,b))^2,b=0到3求和]

-M(1) [r(1-0(0,b))偏分r(1-0(0,a) r(1-0(0,b)),b=0到3求和] )

[r(1-0(0,b))^2,b=0到3求和]^(-3/2) [基矢0(a)],a=0到3求和]

=KM(0(0))M(0(1))(1- r(1-0(0,j))^2,j=1到3求和]^(-3/2)

                [r(1-0(0,b))^2,b=0到3求和]^(-3/2)

                [(dr(1-0(0,j)/dt(0))(偏分r(1-0(0,a)(dr(1-0(0,j)/dt(0))/c^2)

[r(1-0(0,b))^2,b=0到3求和]

                -(1-(dr(1-0(0,j))/dt(0))^2/c^2,j=1到3求和])

             [r(1-0(0,b))(偏分r(1-0(0,b) r(1-0(0,b)), b=0到3求和])

[基矢0(a)],a=0到3求和],    ((0),(1)均实物子)

=KM(0(0))h([频率(1)]c^(-2)[r(1-0(0,b))^2,b=0到3求和]^(-3/2)

[(偏分r(1-0(0,a) [频率(1)]) [r(1-0(0,b))^2,b=0到3求和]

         -[频率(1)] (偏分r(1-0(0,a)r(1-0(0,b)), b=0到3求和])

         [基矢0(a)],a=0到3求和],        ((0):实物粒子, (1):光子)    (1.2)

这相当于将Newton引力定律扩展到4维时空的近、远程及其过渡，并应用

于各种相对论性粒子。

当[频率(1)] (偏分r(1-0(0,a)r(1-0(0,b)), b=0到3求和])=0；

[(dr(1-0(0,j)/dt(0))(偏分r(1-0(0,a)(dr(1-0(0,j)/dt(0)) ,a=0到3求和] =0，

简化为：

[矢F引(1-0(0)]

=-KM(0(0))M(0(1))(1-[r(1-0(0,j))时间导数^2/c^2,j=1到3求和] )^(-1/2)

   ([r(1-0(0,b ))^2, b=0到3求和] )^(-3/2)

[[r(1-0(0,b ))(偏分r(1-0(0,a) r(1-0(0,b)), b=0到3求和]

[基矢0(a)],a=0到3求和],              ((0):实物粒子, (1):光子)

=-KM(0(0))h[频率(1)]c^(-2)[r(1-0(0,b))^2,b=0到3求和]^(-3/2)

[[r(1-0(0,b))(偏分r(1-0(0,a) r(1-0(0,b)), b=0到3求和])

[基矢0(a)],a=0到3求和],              ((0):实物粒子, (1):光子) (1.3)

当[矢r(1-0(0)]的3维空间分量远大于“时轴”分量，为长程(通常)引力，近似有：

[矢F引(1-0(0)]

~ -KM(0(0))M(0(1))(1-[r(1-0(0,j))时间导数^2/c^2,j=1到3求和] )^(-1/2)

 ([r(1-0(0,b ))^2, b=0到3求和] )^(-3/2)

[[r(1-0(0,b ))(偏分r(1-0(0,a) r(1-0(0,b)), b=0到3求和]

[基矢0(a)],a=0到3求和],              ((0): , (1): 均实物粒子)

~-KM(0(0))h[频率(1)]c^(-2)[r(1-0(0,b))^2,b=0到3求和]^(-3/2)

[r(1-0(0,b))[(偏分r(1-0(0,a)r(1-0(0,b)), b=0到3求和])

[基矢0(a)],a=0到3求和],               ((0):实物粒子, (1):光子) (1.4)

引力也是辏力，当引入辏力的相应表达式，设M(0(0))足够大，引力中心与参考系原点(0)相重，且运动仅限于在[基矢012] 3-维时空内 (即Newton 引力)，并取变换：

1/L(0) =[r(1-0(0(3)))r=[r(1-0(0,b))^2,b=1到3求和]^(1/2)，上式简化为：

[矢F引(1-0(0,0)]

~- ict(1-0(0))KM(0(0))M(0(1)L(0)^3(1+((rp(12))/(M(0(1)c))^2

   ((dL(0)/d[角r(0,1)])^2+ L(0)^2))^2;

[矢F引(1-0(0,1)]~-KM(0(0))M(0(1)L(0)^2c(r(0,1)) (1+((rp(12))/(M(0(1)c))^2 ((dL(0)/d[角r(0,1)])^2+ L(0)^2))^(1/2);

[矢F引(1-0(0,2)]~-KM(0(0))M(0(1)L(0)^2s(r(0,1)) (1+((rp(12))/(M(0(1)c))^2 ((dL(0)/d[角r(0,1)])^2+ L(0)^2))^(1/2);

[矢F引(1-0(0,3)]=0,                  ((0):, (1) 均实物粒子)

[矢F引(1-0(0,0)]

~- ict(1-0(0))KM(0(0))h[频率(1)]c^(-2)(rp(12))L(0)^3

((dL(0)/d[角r(0,1)])^2+ L(0)^2))^(1/2);

[矢F引(1-0(0,1)]~-KM(0(0))h[频率(1)]c^(-2)(rp(12))L(0)^2 c(r(0,1))

((dL(0)/d[角r(0,1)])^2+ L(0)^2))^(1/2);

[矢F引(1-0(0,2)]

~-KM(0(0))M(0(1)h[频率(1)]c^(-2)(rp(12))L(0)^2 s(r(0,1))

((dL(0)/d[角r(0,1)])^2+ L(0)^2))^(1/2);

[矢F引(1-0(0,3)]=0,                  ((0):实物粒子, (1):光子)    (1.5)

又由于引力质量与惯性质量相等，引力与惯性力平衡，对于实物粒子和光子都可以建立如下等式：

[矢F引(1-0(0,a)] = -[矢F0(1-0(0,a)]；a=0,1,2,3,  而有：

((d^2)L(0)/(d[角r(0,1)])^2+L(0))(1+((rp(12))/(M(0(1)c)^2

/((dL(0)/d[角r(0,1)])^2+ L(0)^2))^2=KM(0(0))(M(0(1)/(rp(12)) ; 即：

(d^2)L(0)/(d[角r(0,1)])^2 +L(0)

=KM(0(0))(M(0(1)/(rp(12)) Cexp(2KM(0(0))L(0)/c^2), ((0):, (1):均实物粒子)

  ((d^2)L(0)/(d[角r(0,1)])^2+L(0))((dL(0)/d[角r(0,1))+L(0)^2)=KM(0(0))/c^2; 即：

(d^2)L(0)/(d[角r(0,1)])^2 +L(0)

=(K M(0(0))/c^4)(hC’/( rp(12))^2 exp(2K M(0(0))L(0)/c^2),

((0):实物粒子, (1):光子), (1.6)

2.用本理论体系演绎矢算地处理广义相对论的“三大验证”问题

现用本理论体系，普适于任意参考系(包括非惯性牵引运动的)和时空(包括

Riemann弯曲的) 统一的，连续演绎的代数和解析矢算，具体处理广义相对论的“三大验证”问题(此处物体本身的尺度，与相互作用和运动范围相比，都可以

忽略，因而，都可当作质点处理)：

(1) 行星绕日“进动角”

对于太阳系各行星，M(0(0))L(0)c^(-2)都是小量，取1级近似，由(1.6)(实物粒子)式有：

(d^2)L(0)/(d[角r(0,1)])^2 +L(0)+(1+ 2K M(0(0))L(0)/c^2+…)/p(0)=0;  

Ict(0,1)=-icC((rp)12)M(0(1))^3(1+((rp)12/(M(0(1))c))^2

(1+2KM(0(0))L(0)/c^2+…)(dL(0)/d[角r(0,1)])/ L(0)

((d L(0)/d[角r(0,1)]) + L(0)^2))^(-3/2),

其中1/ p(0)=- CKM(0(0))(M(0(1))/((rp)12))^2 。

对适当的初始条件，由上式L(0)的微分方程，解得M(0,1)的运动轨迹为：

L(0)~ (1+e(0)cos(1-KM(0(0))/(p(0)c^2))[角r(0,1)])/p(0),

(d L(0)/d[角r(0,1)]) +L(0)^2)

~ (1+ e(0)^2+2e(0)cos(1-KM(0(0))/(p(0)c^2))[角r(0,1)]/p(0)^2

+e(0)^2KM(0(0))/(p(0)c^2)(-2+KM(0(0))/(p(0)c^2))

sin^2 (1- KM(0(0))/(p(0)c^2))[角r(0,1)]),                       (2.1)

由(2.1)可见, 每当差[角r(0,1)]~2派/(1-或+ KM(0(0))/(p(0)c^2)) 弧度时，M(0,1)的运动轨迹重复，即可求得每转“进动角”为：

[进动角(0)] =差[角r(0,1)]-2派~2派KM(0(0))/(p(0)c^2)弧度/转,         (2.2)

实际观测表明：(22)表达的每转“进动角”并不正确，这是因为该式的导出并未考虑到非惯性牵引运动系时空的弯曲特性，而采用了不变基矢系[基矢系(0)]表达(1)点的运动轨迹。

为此，将(2.1)由按[基矢系(0)]变换为，按可变基矢系[基矢系(!)]：

L(0,(1)) ~正或负2/(cos[角r(0,1)]sin[角r(0,1)](2c^2t(0,1)^2

               (1+e(0)sin[角r(0,1))^2/p(0) -1])

              (1+e(0)sin(1-3KM(0(0))/(p(0)c^2))[角r(0,1)]

-(3派/2)e(0)KM(0(0))/c^2cos[角r(0,1)]

-2p(0)(1+(1+e(0)sin[角r(0,1)])^3/((1+e(0)sin[角r(0,1)])^2

-p(0)^2/2c^2t(0,1)^2))e(0)KM(0(0))/c^2

([角r(0,1)]-派/2)cos[角r(0,1)] +…),               (2.1')

由(2.1')可见，

每当差[角r(0,1)(1)]~2派/(1-3KM(0(0))/(p(0)c^2)

或~2派(1+3KM(0(0))/(p(0)c^2) 弧度时，M(0,1)的运动轨迹重复，即可求得每转“进动角”为：

[进动角(1)]=差[角r(0,1)(1)]-2派~6派KM(0(0))/(p(0)c^2)弧度/转,      (2.2')

用太阳系九大行星的已知有关参量代入(2.2') 计算[进动角(1)]，并与其实测值[进动角(1)测] 和Einstein理论值[进动角(1)理] 比较(见下表)，

（其中，冥王星现已被排除为大行星，但是，在此的有关数据，仍然有意义。）

行  星         水   金    地     火   木    土   天王 海王   冥王

P(0)=l(0)(1-e(0)^2)^(1/2)

(百万公里)   56.76 108.0  149.7  227.0 777.1  1424  2866 4496  5725

T(地球年)     241   .625  1.00   1.88   11.9  29.5   84.0  104.8 247.7

[进动角(1)]

(秒/百年)     41.88  8.485 3.826  1.342  .062  .014  .0024  .0012 . 0004

(10^(-7)弧度/转) 4.893  2.571 1.855  1.22   .357  .195  .097   .062 .049

[进动角(1)测]

(秒/百年)      43.03  8.3    3.8    1.35  .06

(10^(-7)弧度/转) 5.027   2.015 1.862  1.23   .346

[进动角(1)理]

(秒/百年)     43.11   8.4   5.0

             4.5     4.8   1.2

(10^(-7)弧度/转) 4.973   2.545 2.227

结果都在实验误差和有效数字范围内很好地相符。

(2)光子在引力作用下的频率红移

由在(1)点的光子的惯性力，和受在(0)点的相对静止质量作用的引力，与微分位置矢在3维空间分量的点乘积相等，建立方程。

按[基矢系(0)]：

KM(0(0))c^(-2) h[频率(1)]d L(0)=hd[频率(1)], 并取小量KM(0(0))c^(-2)/r(1(0,(3))的1级近似 (即r(1(0,(3))=1/L(0)远大于KM(0(0))c^(-2))，解得：

[频率(1)]~C(0)(1+ KM(0(0))c^(-2)/r(1(0,(3))+…),                   (2.3)

其中C(0)是按[基矢系(0)]的积分常数，相当于在引力可忽略的远处(r(1(0,(3))很大)的频率。

按(2.3)，当光子由距引力中心r(1(0,(3))处移至r’(1(0,(3))处，其频率移动：

差[频率(1)]= [频率(1)] - [频率’(1)]

= KM(0(0))c^ (-2)( 1/ r(1(0,(3))-1/r(1(0,(3))) [频率(1)],        (2.4)

按[基矢系(1)]，当在(1)点的光子由距引力中心r(1(0,(3))处移至r’(1(0,(3))处，其频率移动：

差[频率(1)]= [频率(1)] - [频率’(1)]

= KM(0(0))c^ (-2) (1/ r(1(0,(3))-1/r(1(0,(3))) [频率(1)],         (2.4’)

(2.4),(2.4’)有相同的形式，且都与Einstein所给光子频率随其距引力中心距离而变的光子频率“红移”公式完全相符，并已由以地球、太阳、和多种星团的多个恒星为引力中心的许多实测所验证。

(3)光子在引力作用下运动方向的偏折

按[基矢系0]，取小量KM(0(0))c^(-2)/ r(1(0,(3))的1级近似 (当r(1(0,(3))远大于KM(0(0))c^ (-2))，并令C”=hC’/(c(rp(0))12), 由 (1.6)   (光子)，有：

(d^2) L(0)/d[角r(0,1)]^2+L(0)

+( KM(0(0))c^(-2)))C”^2 (1+2 KM(0(0))c^(-2))L(0)+…)=0,      (2.5)

在近日点附近，还有：

L(0)= h /(c(rp(0))12),  C”=L(0)(1- KM(0(0))c^(-2)L(0) +…), 再代入上式，即得光子在近日点附近的运动方程：

(d^2)L(0)/d[角r(0,1)]^2+L(0)

+(KM(0(0))c^(-2))L(0)^2 (1-4(KM(0(0))c^(-2)L(0))^2+…)~0,     (2.6)

当KM(0(0))c^(-2)L(0) <<1 (在距引力中心较远处，r(1(0,(3))很大处)并取L(0)的0级近似L0(0),  (2.6)简化为：(d^2) L0(0)/d + L0(0)~0,  由此解得：

L0(0)~cos[角r(0,1)] /R0(0),                                   (2.7)

其中R0(0)是引力中心到光子轨迹的垂直距离。

(2.7)表明：当光子在距引力中心较远处，其运动轨迹是近似于直线。

当取小量KM(0(0))c^(-2) L(0)的1级近似，L1(0)，(2.6)简化为：

(d^2) L1(0)/d[角r(0,1)]^2+L1(0)+( KM(0(0))c^(-2))L1(0)^2~0,      (2.8)

取在L(0)的0级近似解, L0(0)，附近的“微扰解”，即取小量L*，并令

L1(0)= L0(0)+L*, 由 (9.7),(9.8)，有：

(d^2)L*/d[角r(0,1)]^2+L*-( KM(0(0))c^(-2))(cos[角r(0,1)]/R0(0))^2~0,  (2.9)

   由此解得光子在近日点附近的轨迹：

L1(0)~cos[角r(0,1)]/R0(0)+(KM(0(0))c^(-2))(1+(sin[角r(0,1)]/R0(0))^2)/3, (2.10)

表明，当引力不可忽略时，光子在近日点附近的轨迹近似为双曲线的一支，在其渐近线(当[角r(0,1)] =派/2+正小量(0), 取L1(0)=0,r(1(0,(3))趋于无穷大)上，由(2.10)有：

0 ~ cos(派/2+正小量(0))/R0(0)

+(KM(0(0))c^ (-2))(1+(sin(派/2+正小量(0))/R0(0))^2)/3

~正小量(0)+(KM(0(0))c^(-2))2/R0(0)/3, 即有偏转角：

2正小量(0)~-4(KM(0(0))c^(-2))/R0(0)/3,                    (2.11)

   (2.11)是按(0)点处的不变轴矢系[基矢系0]表达在(1)点处光子的运动，这对于在引力作用下的非惯性牵引运动系是不正确的，应计及时空几何的弯曲特性而采用可变轴矢系, [基矢系1]，

由[基矢系0]变换到[基矢系1]，(2.10)成为：

L1(0)~2(ct(0,1))^2 (cos[角r(1,1)]/R0(1))^3 (1+(KM(0(0))c^(-2))

(1+sin[角r(1,1)]^2)/R0(1)/cos[角r(1,1)]+…)

/(sin[角r(1,1)]cos[角r(1,1)]),                            (2.10')

也近似为双曲线的一支，在其渐近线(当[角r(1,1)]=派/2+正小量(1),取L1(0)=0,  r(1(0,(3)) 趋于无穷大)上，有：

0~1+( KM(0(0))c^(-2))(1+sin(派/2+正小量(1))^2)/R0(1)/cos(派/2+正小量(1))

~1-( KM(0(0))c^(-2)) (1+1)/正小量(1) /R0(1), 即有偏转角：

2正小量(1)~4(KM(0(0))c^(-2))/R0(1),                          (2.11')

(2.11')与Einstein的结果完全一致，并与已知的实测结果完全相符。

附注：计算中，仅计及质点所受太阳的引力，并未计及其它行星和天体的影响，但在相应的实测情况下，其影响与太阳的引力相比，都在实测误差范围之内而可以忽略，因而其结果都能与已知的实测结果完全相符。

3．结论

广义相对论是迄今唯一已有的非惯性牵引运动理论，以上的“3大验证”都是实测证明广义相对论正确性的重要依据。

本文由可变系时空多线矢和矢算对它们导出的结果，都与Einstein的结果完全一致，并与已知的实测结果完全相符，当然也证明了可变系时空多线矢在相应条件下的正确性。其中的(1)、(3)两例还具体表明：采用矢量表达非惯性牵引运动，必须采用可变基矢系[基矢系x]，并且还证明了：本文所给的由[基矢系0]到[基矢系1]的变换的正确性。至于第(2)例，由于方程在(1)点的光子的惯性力，和受在(0)点的相对静止质量作用的引力，与微分位置矢在3维空间分量的点乘积相等，而建立的方程所导出，虽然[基矢系0]与[基矢系1]间有偏转，但其中各相应矢量间的点乘积却是一样的，因而，分别由[基矢系0]或[基矢系1]所得的结果当然就是一样的。

  这样，在相对论基础上，就从4维时空1-线矢出发，具体创新地导出了各种物理量的相应4维时空可变系多线矢、纤维丛矢和相应的矢量场。它们分别都是相应的整体矢量，都有各自不同的整体运动变化规律和矢量结构特性。它们既能具体反映非惯性牵引运动系的时空弯曲特性；又能作连续演绎的矢量运算。远比通常的3维矢量和矢算复杂、丰富得多，而且都是客观存在，必需计及，而通常的3维矢量和矢算又无法表达和解决的！

而通常采用的张量，P-形式，Vierbein，或由“点集符号”，“纤维丛”等表达相应的流形等，对于这各种高次、线 (包括2-线) 的物理量多线矢、纤维丛矢和矢量场，也都仅能形式地表达其各相应分量“模长”的集合，或它们间变换矩阵的各“元”。狄拉克(P.A.M.Dirac) 的基矢量 (左、右矢) 也只相当于某种多线矢和相应的倒易矢，都没能表达它们各分量与各相应1-线轴矢间的矢量结构和方向关系，都未能确切, 整体，矢量地表达它们。

而且通常的3维矢算也已不适用于4维时空各高次、线 (包括2-线) 多线矢和矢量场。特别是，非惯性牵引运动系各类多线矢的微分、偏微分还都与时空联络系数(黎曼-克利斯托夫(Riemann-Christoffel)符号) 有关，且各有确定的不同取向的相应组分。

通常使用张量的“缩并”和“反对称化”，以及“外积”、外微分等也都不能确切地进行4维时空各类多线矢和矢量场间统一的，连续、演绎的，代数和解析矢算。

因此，为了在这一层次，研讨各种物理问题，就必须如上以4维时空可变系位置1-线矢作为基本矢量，按通常矢量空间理论，适应4维时空多线矢的结构特性，创新建立相应的代数和解析矢算法则得到各次、线的多线矢和纤维丛矢。

它们的各基矢是由相应各1-线基矢，按相应的矢量结构组成，并相应地决定其维数和方向。各种多线矢的代数(和、差，叉、点乘，倒易矢,…,等) 和解析 (微分、偏微分、积分，梯度、“散度”、“旋度”,…,等) 矢量运算就是它们的矢算。形成了一整套统一的，适用于可变系时空各类多线矢的，可连续演绎运算的，矢算工具。

能统一表达、研讨，具体判断、区分，惯性与非惯性牵引运动，欧几里德和黎曼时空，的各种运动特性和规律。用以表达并研讨各种 (包括一些现有理论尚未能解决的)物理问题，并从而发展了相应的时空观。

对于高速、有相互作用的，非惯性牵引运动系，这种可变系时空多线矢量和矢算，是相当于通常3维空间的矢量和矢算对于经典力学，一样地必不可少。

用于迄今唯一已有的非惯性牵引运动理论，广义相对论，的实测证明其正确性重要依据的，“3大验证”，都与Einstein的结果完全一致，并与已知的实测结果完全相符，当然也证明了本文在相应条件下的正确性。

   本文摘自本人发表在[科学网]的系列博文《“时空可变系多线矢物理学的创建、作用与发展”。