歌德巴赫猜想完善证明已成整数与素数的一条定律

中国科学院力学研究所吴中祥

                         提         要

给出了1个表达并确定各素数的序数、数值和变化规律的简便方法，简单、完善地全证明了“歌德巴赫猜想”，因而，得到整数与素数的如下定律：

对于正负实整数或正负虚整数、复数整数的实部与虚部：m，大于3的，所有2m，都至少有2个素数相加，等于它们；所有2m+1，都至少有3个素数相加，等于它们。

并且扩展到：

对于足够大的正负实整数或正负虚整数、复整数：m，所有2m，都至少有相应的偶数个素数相加，等于它们；所有2m+1，都至少有相应的奇数个素数相加，等于它们。

关键词：猜想，定律，素数，奇数，偶数，复数

1．什么是哥德巴赫(Goldbach)猜想？它要求证明什么？

   哥德巴赫在1742年致信欧拉(L.Euler)，提出证明猜想(B)：“每个等于或大于7的奇数都能写成3个素数之和”欧拉回信指出，为了解决这个问题，只须证明猜想(A)：“每个等于或大于6的偶数都能写成2个素数之和”，这就是所谓“歌德巴赫猜想”(A)和(B)。也就是它要求证明的内容。

2．现有证明“歌德巴赫猜想”的主要方法

所谓“歌德巴赫猜想”(A)和(B)都只是奇数、偶数与素数关系的，看来很简单的问题，而许多数学家为证明它，却做了200多年长期的努力，虽已取得很大进展并推动了整个解析数论的发展，但是，这个猜想至今仍然未被完全证明。

它为什么如此难以证明呢？

纵观对此问题的研究现况，关键在于：

各个自然数只需由其顺序，n，就能确定其数值，n。

“偶数”或“奇数”，是由可被或不可被“2”整除，而区分的两类整数。

因而，也可采用整数，m，为序，以，2m，顺序表达各“偶数”；以2m+1顺序表达各“奇数”，并确定其数值。

而“素数”或“合数”，是由除“1”和其自身外，可被或不可被任何整数整除的整数，所区分的两类整数。却不能简单地顺序确定其数值。

1918年G. H. Hardy, 和 s. Ramanujan, 采用一个由序数m从2到n求和2iknm的指数函数（复数的指数表达）S(k,n)，其中k是0到1的变量，而在自然数, n, 和素数, p, 间建立起联系，因2iknm的指数由k从0到1的积分=1(m=0);  0(m不=0), 其中m为任意整数，因而，方程n=p(1)+p(2)中, p(1), p(2)大于或等3的解数为： D(n)=在上述积分的核乘以S (k, n) 的平方；方程n=p(1)+p(2)+p(3)中, p(1), p(2) , p (3)大于或等3的解数为：T(n)=在上述积分的核乘以S (k, n) 的立方，这样：

证明Goldbach猜想,就只须计算积分D(n)，T(n)，

对于猜想(A)，就只要证明：对于偶数的n大于或等于6；D(n)大于0。

对于猜想(B)，就只要证明：对于奇数的n大于或等于7；T(n) 大于0。

这就是Hardy - Littlewood - Ramanujan圆法的基本思想，它确定了证明“歌德巴赫猜想”的重要研究方向。

3．迄今的主要进展，但仍未全面完成的困难和问题

但是，计算积分D(n)，T(n)，也并不容易。

一些学者创造、发展、简化、和证明了估算S(k, n)的方法和公式，它对于研究猜想(B)是很成功，而对于研究猜想(A)却收效甚微。

为了化解证明猜想(A)的困难：人们采用首先证明，“每个充分大的偶数是不超过a个素数的乘积和不超过b个素数的乘积之和” (即所谓：命题{a, b}或“a + b” ), 其中a, b, 是正整数，

当使a, b,逐步递减为1，命题{1,1}，即所谓：“1+1”, 就是猜想(A)。

一些学者采用不断改进的”筛法”，即：对其中的积分函数相应作某些改进，或改为某种相应合用的极限求和，例如：某种pai函数、lin函数，等等，按“圆法”进行筛选，使a, b, 逐渐减小的命题{a, b}得到了证明。

我国数学家陈景润1966年宣布证明了命题{1,2}(即所谓：“1+2” )，1973年发表了命题{1,2}的全部证明，这就距歌德巴赫猜想的最终解决，仅“1”之差，但仍未全面完成，

人们甚至尚不能肯定沿用现有的方法是否确能最终解决。

4．表达并确定各素数的序数、数值和变化规律的简便方法

各个自然数都只需由其顺序，n，就能确定其数值，n。

“偶数”或“奇数”，是由可被或不可被“2”整除，而区分的两类整数，也可采用整数，m，为序，以，2m，顺序表达各“偶数”；以2m+1顺序表达各“奇数”，并确定其数值。

而“素数”或“合数”，是由除“1”和其自身外，可被或不可被任何整数整除的整数，所区分的两类整数，就不能简单地顺序确定其数值。

但是，按其定义，就有，各素数都有不能被，小于它的所有素数，整除，的基本特性。

利用此一特性，就可采用：

整数，m，以表达各“素数”，j(m)，的顺序.而由j(m)/j(m-k); k=0，1,2,…,m-1,都不是整数，判定j(m)是素数。

这样，我们就知道：m=1，j(1)=2, m=2，j(2)=3, 就是奇数，而m=和>2, 则j(m)+1，就都是能被2整除，而必然不是素数，就完全可以：对j(m)逐次+2，直到j(m)+2s时，(j(m)+2s)/j(m-k); k=0，1,2,…,m-1,都不是整数，而可以判定j(m)+2s是j(m+1)。

   如此，就完全可以按序数，m，列表，具体确定各个素数，j(m)，的数值，例如：

m     1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15，…，无穷大

j(m)   2  3  5  7  11 13 17  19 23  29 31 37 41 43 47，…，j(无穷大)

   直到m=无穷大，j(m)= j(无穷大)，即：无穷大素数。

5．哥德巴赫(Goldbach)猜想的完善证明

采用如上方法表达和确定素数的数值和序数，就有：

当m=3，已知有：偶数6=j(2)+j(2)，2个素数之和是偶数，比这2个素数小的素数只各有1个。而对于大于6的所有偶数：

当m每+1，则比这2个素数小的素数都各增加1个。

当偶数2m=j(m-s)+j(m-s’)；s，s’=0,1,2,…,或m-1, 则按素数的基本特性，j(m)/j(m-k)；k=1,2,…,m-1,都不是整数，就可以判定，不管素数在整数系列中如何分布，只要是比素数，j(m+1)，小的全部素数，j(m+1-k’)；k’=0，1,2,…,或m-1，中至少必有1个素数，能使2(m+1)-j(m-k)=j(m+1-k’)；k,k’=0，1,2,…,或m-1，成立，而必至少能有2个素数之和是偶数，2(m+1)。

如此逐次，增大 m，直到无穷大，就证明了，大于6的所有偶数都至少有2个素数相加，等于它们

当m=3，已知有奇数7=j(1)+j(1)+j(2)，3个素数之和是奇数，比这3个素数小的素数只有0个和1个。而对于大于7的所有奇数：

当m每+1，则比这3个素数小的素数都各增加1个。

奇数2m+1=j(m-s)+j(m-s’)+j(m-s”)；s,s’,s”=0,1,2,…,或m-1, 则按素数的基本特性，j(m)/j(m-k)；k=0，1,2,…,m-1,都不是整数，就可以判定，不管素数在整数系列中如何分布，只要是比素数，j(m+1)，小的全部素数，j(m+1-k”)；k” =0，1,2,…,或m-1，中，至少必有1个素数，能使2(m+1)+1-j(m-k)-j(m-k’)=j(m+1-k”) ；k,k’,k”=0，1,2,…,或m-1，成立，而必至少能有3个素数之和是奇数，2(m+1)+1。

如此逐次，增大m，直到无穷大，就证明了大于7的所有奇数都至少有3个素数相加，等于它们。

对于m>3 的任意偶数，2m，和奇数，2m+1，分别逐个增大，的数据都具体验证了上述结论。

因而，对于，正实整数(也适用于负实整数或正负虚整数)，就已简单、完善地证明了：大于6的所有偶数都至少有2个素数相加，等于它们，或大于7的所有奇数都至少有3个素数相加，等于它们，的“歌德巴赫猜想”(A和B)。

6．对于复数素数的证明

复整数m=m1+im2，与相应的“共轭复整数”m*=m1-im2，相乘=相应的实整数，m1^2+m2^2。

复素数j(m)= j(m1)+i j(m2))，与相应的“共轭复素数”j(m)*=j(m1)-i j(m2)，相乘=相应的实素数，j(m1)^2+j(m2)^2。

复素数j(ma)/复素数j(mb)=(j(ma1)+i j(ma2))/(j(mb1)+i j(mb)2)

=(j(ma1)+i j(ma2))(j(mb1)-i j(mb2))/(j(mb1)^2+j(mb2)^2)

=((j(ma1)j(mb1)-j(ma2)j(mb2))+i(j(ma2)j(mb1)-j(ma1)j(mb2)))

/(j(mb1)^2+j(mb2)^2)

=(j(ma1)j(mb1)-j(ma2)j(mb2))/(j(mb1)^2+j(mb2)^2)

+i(j(ma2)j(mb1)-j(ma1)j(mb2))/(j(mb1)^2+j(mb2)^2)

=(复素数j(ma)/复素数j(mb))的实部+i(复素数j(ma)/复素数j(mb))的虚部。

当复整数，m的实部与虚部，都〉3，

复偶数，2m的实部与虚部分别=j(m-s)+j(m-s’)；s，s’=0,1,2,…,或m-1, 的实部与虚部，就可以判定，不管复素数在复整数系列中如何分布，只要是分别比复素数，j(m+1) 的实部与虚部，小的全部素数，j(m+1-k’)；k’=0，1,2,…,或m-1的实部与虚部，中至少必有1个复素数的实部与虚部，能使

(2(m+1)-j(m-k)) 的实部与虚部分别=j(m+1-k’)；k,k’=0，1,2,…,或m-1的实部与虚部，成立，而必至少能有2个复素数的实部与虚部分别之和是复偶数，2(m+1)，的实部与虚部。

如此逐次，增大 m，直到无穷大，就证明了，大于6的所有复偶数都至少有2个复素数相加，等于它们

复奇数，2m+1的实部与虚部分别2m+1=j(m-s)+j(m-s’)+j(m-s”)；s,s’,s”=0,1,2,…,或m-1, 的实部与虚部，就可以判定，不管复素数在复整数系列中如何分布，只要是分别比复素数，j(m+1)+1的实部与虚部，小的全部素数，j(m+1-k”)；k” =0，1,2,…,或m-1，的实部与虚部，中至少必有1个复素数的实部与虚部，能使

2(m+1)+1-j(m-k)-j(m-k’)的实部与虚部分别j(m+1-k”) ；k,k’,k”=0，1,2,…,或m-1，的实部与虚部，成立，而必至少能有2个复素数的实部与虚部分别之和是复奇数，2(m+1)+1，的实部与虚部。

如此逐次，增大 m，直到无穷大，就证明了，大于6的所有复偶数都至少有2个复素数相加，等于它们，或大于7的所有复奇数都至少有3个复素数相加，等于它们。

因而，对于复数，就证明了：大于6的所有复偶数，都至少有2个复素数相加，等于它们，或大于7的所有复奇数都至少有3个复素数相加，等于它们，的所谓：“歌德巴赫猜想”(A和B)。

在此，必需，也仅需，要求相应的各“复数”的实部与虚部，都满足以上的条件。

否则，就不能证明。

   这也正是，实际上，采用复数表达的“圆法”和相应的“筛法”的现有证法，不能最终证明，命题{1,1}，即所谓：“1+1”，的实质原因。

7．整数与素数的一条定律

   “歌德巴赫猜想”既已得到完善的证明，就得到如下一条整数与素数的定律：

   对于正负实整数或正负虚整数，对于复数整数的实部与虚部：m大于3的，所有2m，都至少有2个素数相加，等于它们；所有2m+1，都至少有3个素数相加，等于它们。

8．整数与素数的这条定律的扩展

   由于m 〉1的素数，j(m)，都是奇数，因而，整数与素数的这条定律可扩展为：

对于足够大的正负实整数或正负虚整数、复整数： m，所有2m，都至少有相应的偶数个素数相加，等于它们；所有2m+1，都至少有相应的奇数个素数相加，等于它们。

9．参考文献：

[1] 数学百科全书第二卷编委会 (顾问)苏步青等 (主任) 王元等科学出版社1994

[2] 歌德巴赫猜想潘承洞潘承彪科学出版社 1981

[3] 数论导引华罗庚科学出版社 1957

[4]“Asymptotic formula in combinatory analysis”, Hardy, G. H., Ramanujan, S., Proc. London Math. soc. (2) 17 (1918), 75-115.