“数”（1）

中国科学院  力学研究所  吴中祥

                          提          要

“数”是从一切实际事物，及其所有的特性和运动规律，都必有的“数量”和“顺序”，抽象出来的特性。

通过实践，比较、区分、联系，从最基本的“数”，“1”，逐次发展认识到：自然数、整数，正、负数，分数、小数，偶数、奇数，素数、合数，实数、虚数、复数，乃至，数列、函数，代数，等等各种的“数”。

并加深认识它们本身的各种特性和变化、演变规律。

就形成代数、解析的数论。

“数”的这些特性和规律，就都决定了相应的一切实际事物，及其所有的特性和运动规律，都有的数量和顺序的特性和规律。

   研究任何实际事物的特性和规律，就都需研究与其彼此相互依存、协调一致的，相应“数”的相应特性和规律。

关键词：各种数，数论，

1．“数”的基本特性

“数”最基本的特性是可数性、可列性。

“数”是从一切事物中抽象出来的，它的可数性、可列性也正是联系到各种事物本身的可数性、可列性。

2．任何事物是否“可数”？就必须具有如下两个基本条件：

(1)它们必须是“同类”的事物。

(2)必须确定同一的“单位”

当然，有时也可将某些事物，甚至是不同类的事物，组配成“套”、“团”或“堆”，作为“单位”，这类成“套”、“团”或“堆”的相应事物，就也按此“单位”而可数了。

(3)各种“数”本身却是与事物的种类、性质、单位都无关

但是，既已抽象为“数”之后，各种“数”本身就与事物的种类、性质、单位都无关，它们所表达的事物种类、性质、单位等等都需另外注明。

3．任何事物怎样才是可列的？

只有该事物是可数的，而且确定了它们的“排列顺序”的基本类别，例如：数值、体积、重量、大小，先后、高低、好坏，等等之后，才是可列的。

对于“数”，一般就只是分别对同类的数，相同的单位，按数值大小的排列顺序，才是可列的。对于不同类的数，甚至某类不同单位的数，也是不可列的。

当然，全部实数或虚数，因可分别按同一的单位，确定其大小的顺序，那么，整个实数轴或虚数轴上的各数，就也都按其单位而可列了。

4. 各种“数”的产生和发展

最基本的数，是“正整数”中的“自然数”，自然数的顺序和数值是从客观事物中抽象出时，就已经确定了的，只要有了“单位”，就有了“1”。

即可按其顺序，n，表达其数值为：n=1、2、3、…、n。

各种“数”都有：加、减、乘、除的4则运算。

由加法，就产生不断增大的数，无限增加，就产生了“无穷大”，即：要多大就有多大，但只要能继续增加，就不会有最大，直到不能再增，就是，也才是“最大”。

由“正整数”的减法，同等大小的数相减，就产生了“0”。

被减数小于减数，就产生了各个“负整数”乃至“负无穷大”、“负最大”。

大数的表达，进位制：

当数值很大时，就需要一个简便的表达方式，这就创造出各种进位制。即，将“m位”的“s进位”的数，n，表达为：

n=nj;j=m,m-1,…, 2,1；m=(n-(nj;j=m-1,m-2,…, 2,1的数串)/s)；的数串。

对于，通常采用的“10位制”，其各位数，nj;j=m,m-1,…, 2,1，都只是，9、8、7、6、5、4、3、2、1、0，这10个数中的一个。

   对于10进制，有n位的各整数可表达为：

nn[1,n]+n(n-1)[1(n-1)] +n(n-2)[1(n-2)]+…+n2[1,2]+n1,

其中，[1,j]=第j位数的单位1，它的数值是10^j；nj=第j位数的数值，它的数值只是： 0，1，2，…，或9。

但是，计算机因都是只能采用多个电子管的“开”与“关”2种选择的组合，来计数，而只能是以其各位数，都只是，1、0这2个数中的一个的“2位制”为基础的组合：“2^n+2^n'位制”，而“10位制”就由“2^3+2位制”表达。

由乘法，就产生了“乘方”、“开方”，“指数”、“对数”，开方，而不能消除根号的，就产生了“无理数”。

由除法，不能得出整数的，就产生了“分数”。

被除数小于或大于除数，就产生了“真分数”或“带分数”。

按10进制，就产生了“小数”，其小于1的部分形成循环的，就是“循环小数”，无限循环的，就是“无限循环小数”。

有些“分数”可以等于相应的“小数”，有些“分数”只能趋近于但并不等于相应的“小数”。

古人已知：“1尺之槌，日取其半，永世不竭。”，即：1连续地被2除，会愈来愈小，但始终不会=0，的“无穷小”的概念。即：较小的数被较大的数连续的除就产生了各种的“无穷小”。

有限的数被无穷大除，也得到无穷小。有限的数被“最大”除，就得到0。

有限的数被无穷小除，也得到无穷大。有限的数被0除，就得到“最大”。

可被或不可被“2”整除的整数，就区分为“偶数”或“奇数”。

   任何数被1除，都=其自身，任何数被其自身除，都=1，

除“1”和其自身外，可被或不可被整除的整数，就区分为“合数”或“素数”。

还有，常数、变数、函数之分，而有“代数”。

各种数都有相应的各种运算规则。

微小的变数、函数还形成相应的“微分”，乃至相应的“无穷小”，而由事物的相应的变化规律，形成各种代数、微分和偏微分方程式。

   （未完待续）