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x^n+a=0的根式解
通常x^n+a=0应可解为:
x=(-a)^(1/n)。
有人就因:
(-a)^(1/n)=(-1)^(1/n)乘 a^(1/n) 而认为:
(-1)^(1/n)=-1,
(-a)^(1/n)=- a^(1/n)。
当指出他不对时,还“理直气壮”地“教训”指出他错误的人。
这是因为他根本不知道(-1)^(1/n)到底是什么?!
他这种错误,其实,也是现在许多人的通病,
因而,有必要具体纠正,解决如下:
(-1)^(1/n)是x^n+1=0的根式解;
它有n为个值,n为大于2的奇数时,-1只是它的1个值;n为大于4的偶数时,1、 -1只是它的2个值。
x=(-a)^(1/n)是x^n+a=0的根式解;
它也有n个值;
x=(a)^(1/n)是x^n-a=0的根式解;
它也有n个值;
n为大于2的奇数时,-(a)^(1/n)只能是(-a)^(1/n) 的n个解中,
对应于(-1)^(1/n)的n个解中=-1,乘(a)^(1/n) 的n个解中相应的那个解;
n为大于4的偶数时,(a)^(1/n)、 -(a)^(1/n)只能是(-a)^(1/n) 的n个解中,
对应于(-1)^(1/n)的n个解中=1和-1,乘(a)^(1/n) 的n个解中相应的那2个解。
而决不能误认为:
(-a)^(1/n)=-(a)^(1/n)。
当n=2,
(-1)^(1/2)是x^2+1=0的根式解,它有2个值,
通常把它们表达为:
+i 和-i。但要注意:不能误认为它只是i 或-i的1个值。
当n=3,
(-1)^(1/3)是x^3+1=0的根式解,
它有3个值,除-1而外,还有2个互为共轭的复数值。
以及n=更大的情况,方程x^n+a=0,它们全部的值,都只有逐次仅引进2次根式解出它们全部各根,才能确定。
按本博客博文
http://blog.sciencenet.cn/blog-226-860084.html 和
http://blog.sciencenet.cn/blog-226-873126.html所给方法,
这些实际上,是相应简化了的方程,就都能解决,例如;
x^2 +a0=0,(x +(-a0)^(1/2)) (x -(-a0)^(1/2))=0,
x1=(-a0)^(1/2)=i(a0)^(1/2), x2=-(-a0)^(1/2)=-i(a0)^(1/2),
x^3 +a0=0,消去其1个根,x3,有x^2 +a0=0,
x1=i(a0)^(1/2), x2= -i(a0)^(1/2),
将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x3=-a0/(x1x2)=-1,
x^4+a0=0,
(x^2+(-a0)^(1/2))(x^2-(-a0)^(1/2))=0,
(x^2+i(a0)^(1/2))(x^2-i(a0)^(1/2))=0,
(x+(i)^(3/2)(a0)^(1/4))(x-(i)^(3/2)(a0)^(1/4))
(x+i^(1/2)(a0)^(1/4))(x-i^(1/2)(a0)^(1/4))=0,
x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),
x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),
x3=-i^(1/2)(a0)^(1/4),
x4=i^(1/2)(a0)^(1/4),
x^5 +a0=0,消去其1个根,x5,有x^4 +a0=0, 即得:
x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),
x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),
x3=-i^(1/2)(a0)^(1/4),
x4=i^(1/2)(a0)^(1/4),
将它们代入5次方程根与系数的1个关系式即得:x5=-a0/(x1x2x3x4)=-1,
x^6 +a0=0,
(x^3+i(a0)^(1/2))(x^3-i(a0)^(1/2))=0,
消去x3、x6,有:
(x^2+i(a0)^(1/2))(x^2-i(a0)^(1/2))=0,
x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),
x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),
将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x3=- i(a0)^(1/2)/(x1x2)=1,
x4=-i^(1/2)(a0)^(1/4),
x5=i^(1/2)(a0)^(1/4),
将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x6= i(a0)^(1/2)/(x1x2)=-1,
x^7+a0=0, 消去其1个根,x7,有:x^6+a0=0,
x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),
x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),
x3=- i(a0)^(1/2)/(x1x2)=1,
x4=-i^(1/2)(a0)^(1/4),
x5=i^(1/2)(a0)^(1/4),
x6= i(a0)^(1/2)/(x1x2)=-1,
将它们代入7次方程根与系数的1个关系式,即得:x7=-a0/(x1x2…x6)=-1,
由此类推,就仅需引进2次根式,即可解得任意n次的x^n+a0=0,方程的公式解。
对于a0=1的简化情况,即得:
x^2 +1 =0,(x +(-1)^(1/2)) (x -(-1)^(1/2))=0,
x1=(-1)^(1/2)=i, x2=-(-1)^(1/2)=-i,
x^3 +1=0,消去x3,有x^2 +1=0,
x1=i, x2= -i,
将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x3=-1/(x1x2)=-1,
x^4+1=0,
(x^2+(-1)^(1/2))(x^2-(-1)^(1/2))=0,
(x^2+i)(x^2-i)=0,
(x+(i)^(3/2))(x-(i)^(3/2))
(x+i^(1/2))(x-i^(1/2))=0,
x1=-(i)^(3/2),
x2=(i)^(3/2),
x3=-i^(1/2),
x4=i^(1/2),
x^5 +1=0,消去x5,有x^4 +1=0, 即得:
x1=-(i)^(3/2),
x2=(i)^(3/2),
x3=-i^(1/2),
x4=i^(1/2),
将它们代入5次方程根与系数的1个关系式即得:x5=-1/(x1x2x3x4)=-1,
x^6 +1=0,
(x^3+i)(x^3-i)=0,
消去x3、x6,有:
(x^2+i)(x^2-i)=0,
x1=-(i)^(3/2),
x2=(i)^(3/2),
将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x3=- i/(x1x2)=1,
x4=-i^(1/2),
x5=i^(1/2),
将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x6= i/(x1x2)=-1,
x^7+1=0, 消去x7,有:x^6+1=0,
x1=-(i)^(3/2),
x2=(i)^(3/2),
x3=- i/(x1x2)=1,
x4=-i^(1/2),
x5=i^(1/2),
x6= i/(x1x2)=-1,
将它们代入7次方程根与系数的1个关系式,即得:x7=-1/(x1x2…x6)=-1,
由此类推,就仅需引进2次根式,即可解得任意n次的x^n+1=0,方程的公式解。
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