“数学”及其新的革命性发展

中国科学院  力学研究所  吴中祥

                          提          要

人们必须通过实践，正确认识客观事物的特性和运动规律，才能利用和改造客观世界，得到生存、发展。

一切客观事物最普遍的特性和运动规律，是从其中抽象出来的“数”和“形”。

“数学”就是研讨“数”和“形”及其相互关系和变化规律，并逐个、逐次加深认识而发展的学科。

各种“数”都是从一切实际事物的数量和顺序中抽象出来的概念，并通过实践，逐个对其变化规律，逐次比较、区分、联系，加深认识，而发展的。

由于仅引进2次根式，解得任意n次不可约代数方程，就能由2次根式表达-1和任意正整数的任意n次根式，才能，也即能，以实数、虚数、复数表达所有的数，由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数表达，所有的无理数都才是，也只是，由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。

有了表达并确定各素数的序数、数值和变化规律的方法，就能，类似地利用现有的各种解析运算方法，具体发展素数和素数复数的代数和解析运算方法。

使数论和解析数论革命性地发展。

“形”，及其与“数”的相互关系和变化规律的一些认识和发展，就形成各相应的“几何学”、“解析几何学”、“微分几何学”和“拓扑学”。

特别是，3维空间发展到4维时空，3维矢算发展到弯曲时空的时空可变系多线矢，及其矢算，就能，也才能，表达并研讨客观存在的，现有理论尚未能解决的，各种已知有关实际问题，全面地解决各种实际问题的已知各种形与数的有关问题，从而发展了相应的形与数的数学。

关键词：数，形，代数，解析，数论，几何，矢算，

（一）数：

1．“数”的基本特性

“数”最基本的特性是可数性、可列性。

“数”是从一切事物中抽象出来的，它的可数性、可列性也正是联系到各种事物本身的可数性、可列性。

2．任何事物是否“可数”？就必须具有如下两个基本条件：

(1)它们必须是“同类”的事物。

(2)必须确定同一的“单位”

当然，有时也可将某些事物，甚至是不同类的事物，组配成“套”、“团”或“堆”，作为单位，这类成“套”、“团”或“堆”的相应事物，就也按此单位可数了。

(3)各种“数”本身却是与事物的种类、性质、单位都无关

既已抽象为“数”之后，各种“数”本身就与事物的种类、性质、单位都无关，它们所表达的事物种类、性质、单位等等都需另外注明。

3．任何事物怎样才是可列的？

只有该事物是可数的，而且确定了它们的“排列顺序”的基本原则，例如：数值、体积、重量、大小，先后、高低、好坏，等等之后，才是可列的。

对于“数”，一般就只是分别对同类的数，相同的单位，按数值大小的排列顺序，才是可列的。对于不同类的数，甚至某类不同单位的数，也是不可列的。

当然，如果将稍大于0；且稍小于1的，全部实数或虚数，整体作为单位，那么，整个实数轴或虚数轴上的各数就也都是按此单位可列的了。

   自然数的顺序和数值是已经从客观事物中，抽象出时就确定了的。但是，由它产生的其它各数的顺序和数值就还需具体确定。

4. 各种“数”的产生和发展

只要有了“单位”，就有了“1”

最基本的数，是“正整数”中的“自然数”：1、2、3、…、n，

各种“数”都有：加、减、乘、除的4则运算。

由它的加法，就产生不断增大的数，无限增加，就产生了“无穷大”。

由它的减法，同等大小的数相减，就产生了“0”，被减数小于减数，就产生了各个“负整数”乃至“负无穷大”

由它的乘法，就产生了“乘方”、“开方”，“指数”、“对数”，开方而不能去掉根号，就产生了“无理数”。

由它的除法，不能得出整数的，就产生了“分数”，被除数小于或大于除数，就产生了“真分数”或“带分数”，按10进制，就产生了“小数”，其小于1的部分形成循环的，就是“循环小数”，无限循环的，就是“无限循环小数”。

有些“分数”可以等于相应的“小数”，有些“分数”只能趋近于但并不等于相应的“小数”。

可被或不可被“2”整除的整数，就区分为“偶数”或“奇数”。

除“1”和其自身外，可被或不可被整除的整数，就区分为“合数”或“素数”。

还有，常数、变数、函数之分，而有“代数”，都有相应的各种运算规则。

微小的变数、函数还形成相应的“微分”，乃至相应的“无穷小”，而由事物的相应的变化规律，形成各种代数、微分和偏微分方程式。

5，实数的“偶数”、“奇数”、“合数”、“素数”的相互关系，以及正负实数或正负虚整数“歌德巴赫猜想”的证明

可被或不可被“2”整除的整数，就区分为“偶数”或“奇数”，

因而，可采用整数m，以2m顺序表达各“偶数”；以2m+1顺序表达各“奇数”；

分数和小数，也都能由其数值确定其序数。

除“1”和其自身外，可被或不可被整除的整数，就区分为“合数”或“素数”，

因而，可采用整数m，以j(m) 顺序表达各“素数”.

按素数的特性，有：j(m)/j(m-k); k=1,2,…,m-1,都不是整数，这也就是判定j(m)是素数的基本条件。

就可以按序，m，列表，具体确定各个素数，j(m)，的数值，并可以确定，

r(m,1)=j(m+1)-j(m)，例如：

m     　1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15 ………

j(m)  　2  3  5  7  11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 ………

r(m,1)　1　2　2　4　2　4　2　4　6　2　6　4　2　4　… … …

除j(1)=2，为“偶数”外，所有的j(m)； m>1的“素数”，都是“奇数”。

而且，所有的“偶数”+“偶数”=“偶数”，所有的“偶数”+“奇数”=“奇数”，所有的“奇数”+“奇数”=“偶数”，

对于正实整数(也适用于负实整数或正负虚整数)，就容易地，简单地直接地完全证明:

“除2以外，的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”，或=3个“奇数”相加”，还可以扩展为：“除2以外，的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”，或=奇数个“奇数”相加。

而且，

偶数6= j(2)+j(2)，而对于大于6的所有偶数，

当偶数2m=j(m-s)+j(m-s‘)；s，s’=1,2,…,或m-1, 则按素数的基本特性，j(m)/j(m-k)；k=1,2,…,m-1,都不是整数，就可以判定，至少必有如下的1种情况是素数：

2(m+1)-j(m-k)=j(m+1-k‘)；k=1,2,…,或m-1。

如此逐次，增大 m，就证明了，大于6的所有偶数都至少有2个素数相加，等于它们

奇数7= j(1) +j(1)+j(2)，而对于大于7的所有奇数，

当奇数2m+1=j(m-s)+j(m-s’)+j(m-s“)；s,s’，s“=1,2,…,或m-1, 则按素数的基本特性，j(m)/j(m-k)；k=1,2,…,m-1,都不是整数，就可以判定，至少必有如下的1种情况是素数：

2(m+1)+1-j(m-k)-j(m-k’)=j(m+1-k“) ；k,k’，k“=1,2,…,或m-1。

如此逐次，增大 m，就证明了大于7的所有奇数都至少有3个素数相加，等于它们。

因而，对于，正实整数(也适用于负实整数或正负虚整数)，就已简单、直接地完全证明了：大于6的所有偶数都至少有2个素数相加，等于它们，或大于7的所有奇数都至少有3个素数相加，等于它们，的“歌德巴赫猜想”。完全无需引进复数的“圆法”、“筛法”的复杂运算，而至今尚不能完全证明。

特别是，分别给出了偶数，2m，和奇数，2m+1，随着m改变到m+1，由素数，j(m),、j(m-k)； k=1,2,…,k-1，表达的变化规律，对研究素数特性，乃至发展数论、解析数论，都有重要作用。

6.对素数其它有关特性的研讨

有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，就不仅能直接地完全证明歌德巴赫猜想(A和B)，而且，能全面研讨素数的各种特性，例如：

(1) 具体顺序表达各自然数、偶数和奇数

有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，就能：

由 素数j(1)^a(1) j(2)^a(2)…j(k)^a(k),  其中，k从1,2,…,s，s从2,3,…,任意大整数，指数，a(1),a(2) ,…, a(k)依次单独从1,2,…, s，=1，而其它指数均=0，直到往返重复s-1次，则，k=s从2,3,…,任意大整数，就可依次顺序表达，除1外的全部自然数，n。

   或级数，J(s)

=j(1)^s,j(2)乘j(1)^(s-1)；j(1)^s+1,j(2)乘j(1)^(s-1)+1、

j(1)(j(1)^(s-1)+1),j(1)(j(2)乘j(1)^(s-j(1))+1)、

j(1)(j(1)^(s-1)+1)+1, j(1)(j(2)乘j(1)^(s-j(1))+1)+1、

j(1)^j(1)(j(1)^(s-j(1))+1), j(1)^j(1)(j(2)乘j(1)^(s-j(2))+1)

j(1)^j(1)(j(1)^(s-j(1))+1)+1, j(1)^j(1)j(2) (乘j(1)^(s-j(2))+1)+1、

… … …

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1), j(1)^(s-j(1))(j(2)乘j(1)+1)、

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1)+1, j(1)^(s-j(1))(j(2)乘j(1)+1)+1； s=1,2,…, (任意大的整数)。

就可依次顺序表达，除1外的全部自然数，n。

   类似地，

可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)…j(k)^a(k))表达，除2外的全部偶数，2n。

可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)…j(k)^a(k))+1表达，除1和3外的全部奇数，2n+1。

r(m,s)=j(m+s)-j(m)，除m=1；s=1时，r(1,1)=1，是奇数，而外，其他所有m大于1的r(m,s)，都是偶数。而有：

r(m,1)=j(m+1)-j(m)，

r(m+1,1)=j(m+2)-j(m+1)，

r(m+1,1) + r(m,1) =j(m+2)- j(m)，

r(m,s)=j(m+s)-j(m)，

r(m+s,1)=j(m+s+1)-j(m+s)，

r(m+s,1) =j(m+s+1)- j(m) - r(m,s)，

j(m+s+1) =r(m+s,1) + r(m,s) + j(m)，

(2) 孪生素数

孪生素数是指差为2的素数对，即p和p+2同为素数。

前几个孪生素数分别是：

（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。

100以内有8个孪生素数对；501到600间只有两对。随着数的变大，可以观察到的孪生素数越来越少。

2013年5月《自然》在“突破性新闻”栏目里，宣布，《数学年刊》接受华人学者张益唐发表的题为《素数间的有界距离》的文章，证明了存在无数多个孪生素数对（p,q），其中每一对素数之距离，不超过七千万。

存在无数多个素数对，其中每一对素数之差值，如何估算？

有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，这问题即：

当j(m+s)= j(m)+r，j(m+s+1)=j(m+s)+2，r=？

并有：j(m+s)/j(m+s-k); k=1,2,…,m+s-1,都不是整数，j(m+s+1)/j(m+s+1-k); k=1,2,…,m+s,都不是整数。

因此，即有：r(m,s) =j(m+s)-j(m)，也就是，对于任何确定的m和s，就完全能确定r(m,s)，例如：

m=2，s=5， j(m)=3，j(m+1)=5，j(m+s)=11，j(m+s+1)=13，r(m,s)=8=j(m+s)-j(m)，

m=2，s=7， j(m)=3，j(m+1)=5，j(m+s)=17，j(m+s+1)=19，r(m,s)=15=j(m+s)-j(m)，

m=7，s=26，j(m)=17，j(m+1)=9，j(m+s)=101，j(m+s+1)=103，r(m,s)=86=j(m+s)-j(m)，

m=7，s=28 ，j(m)=17，j(m+1)=9，j(m+s)=107，j(m+s+1)=109，r(m,s)=92=j(m+s)-j(m)，等等。

显然，只要按表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，确定了：j(m)，j(m+1)，j(m+s)，j(m+s+1)都是素数，而且，j(m+1)-j(m)=2，j(m+s+1)-j(m+s)=2，就可以由j(m+s)、j(m)或j(m+1+s)、j(m+1)的数值完全确定：r(m,s)=j(m+s)-j(m)，或r(m,s)=j(m+1+s)-j(m+1)，就不仅能估计r(m,s)＜某数的范围，而是能完全确定r(m,s)的具体数值。而j(m+s)、j(m)、j(m+1+s)、j(m+1)，都是有限的数值，当然，r(m,s)就只是小于j(m+s) 或j(m+1+s)的有限数值。

(3) 证明不可能有“无限长度的素数等差数列”

用素数构成的等差数列被称为素数等差数列。

2004年4月18日，陶哲轩和格林两人宣布：他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”。

但是，不知他们是怎么证明的，且证明太繁复，长达50页，又没能给出具体实例。

创建了判断素数的简便方法，用以探究是否能有“任意长度的素数等差数列”？  即：

所有的偶数都可被2整除，就不是素数，因此：

末位数为：2、4、6、8、0，的任何整数，就都不是素数。

末位数不是：2、4、6、8、0，的任何整数，就可能是素数。

5与任何数相乘，其末位数必为：5或0，因此：

末位数为：5和0的任何整数，就都不是素数。

末位数不是：5和0的任何整数，就可能是素数。

对于末位数为：1、3、7、9的任何整数，则：

3与任何数相乘，其各位数之和，都必可被3整除，就不是素数，因此：

各位数之和可以被3整除的整数，就都不是素数。

各位数之和不可被3整除的整数，就可能是素数。

若不能被3整除：

且其各位数都是7，可被7整除，就不是素数。

且其各位数不都是7，不可被7整除，就可能是素数。

若其各位数不都是7，而末位数为7，则，去掉其末位数后，减2，如前，判断其是否能被 9或3整除；若能，该整数就能被9或3整除，若不能，其末位数，又为7，则重复如上做法；直到最后只剩下2位数，若=27，则该整数就能被3或9整除，就不是素数。

若以上各种情况，都不成立，

且其末位数为3，则，去掉其末位数后，减6，如前，判断其是否能被 7或9整除；若能，该整数就能被7或9整除，若不能，其末位数，又为3，则重复如上做法；直到最后只剩下2位数，若=63，则该整数就能被7或9整除，就不是素数。

若以上各种情况，都不成立，

且其末位数为9，则，去掉其末位数后，减4，如前，判断其是否能被 7整除；若能，该整数就能被7整除，若不能，其末位数，又为9，则重复如上做法；直到最后只剩下2位数，若=49，则该整数就能被7整除，就不是素数。

若以上各种情况，都不成立，

且其末位数为1，则：

去掉其末位数后，减2，判断其是否能被3或 7整除；若能，该整数就能被3或7整除，若不能，其末位数，又为1，则重复如上做法；直到最后只剩下2位数，若=21，则该整数就能被3或7整除，就不是素数。

若以上情况都不成立，就可能是素数。

而且，对于高位数的整数，还必须考虑到是否能被更高位数的素数整除，例如：

末位数=1的   221  可被  13，17 整除；

末位数=3的   553   可被  29，17 整除；

末位数=7的   187   可被  11，17 整除；

末位数=9的   2299  可被  11,19   整除；等等，都须具体判定。

正因以上方法尚未解决判定是否能被大于11的各素数整除，就必须限制于整数小于121，才能得出：

任何整数，只要以上各种情况，有任何一种成立，就不是素数，如果所有情况都不成立，就必是末位数=1，3，7，9的素数。

虽然，还可以给出更多的条件，增大必须限制小于的数值，但是，这个数值不可能无穷大。

   对于素数数列，就必须其各项都是素数。因而：

j(m,s,t) = j(m)+ r(m, s,t)，当r(m,s,t)=2ts，

   对于，确定的m和s，t=0,1,2,…,t为止，当下式

j(m,s,t)= j(m)+2ts，都能满足，

j(m, s,t)就是，也才是：j(m)为初项，2s为差值的共t+1项的素数等差数列。

  由于所有的素数都只是其末位数是1、3、7、9的整数，要得到t为任意值，的素数数列，其差值2s就必须保证任意t的各项的末位数都是1、3、7、9的整数，这只有使s含有5的倍数，才有可能，而且，由于t的逐个增加，每隔2次，2st的各位数之和必然能被3整除，如果初项j(m) 的末位数为3或9，隔2次就必然会被3整除而不是素数。

因而，仅当选取s=15n；n为任意正整数，j(m) 的末位数为7或1，则2st=30nt的末位数都为0，任意t项的末位数都为7或1，都可能是素数，2st=30nt的各位数之和都=3的整倍数，而j(m)是素数，不可能被3整除，对于任意的t，j(m,s,t+1)也不可能被3整除。

且当j(m,s,0)=j(m)的末位数=7，则对于任意的t，j(m,s,t+1)的末位数也必然=7，就可以肯定它们都不能被2、4、6、8、0，和5，整除。

而且，只要j(m)的各位数中，不存在4，和在任意的相邻2位，不存在56，

或65，则，增加2st=30nt，t是任意大的正整数，就都不会使其各位数都=7，

而且，任何素数的乘积，除了7乘11=77而外，也都不会使其各位数都=7，

因而，以上的各种情况，必然都不能被7整除。

由此可见，当取s=15n；n为任意正整数，j(m)的末位数=7，且大于77，并且各位数中，不存在4，和在任意的相邻2位，不存在56，或65，

且其各位数都是7，可被7整除，就不是素数。

且其各位数不都是7，不可被7整除，就可能是素数。

若其各位数不都是7，而末位数为7，则，去掉其末位数后，减2，如前，判断其是否能被 9或3整除；若能，该整数就能被9或3整除，若不能，其末位数，又为7，则重复如上做法；直到最后只剩下2位数，若=27，则该整数就能被3或9整除，就不是素数。

只有以上情况都不成立，才可能是素数。

而且，即使以上情况都不成立，还需要j(m,s,t)= j(m)+2ts；t=1，2，…，到任意大的正整数，都不是末位数=9和3，或=7和1的，素数的乘积，才能得到各种可能的“无限长度的素数等差数列”。

而对于足够大的素数，末位数=9，3，7或1的很多，j(m,s,t)=j(m)+2ts；t=1，2，…，到任意大的正整数，都不是末位数=9和3或=7和1的，素数的乘积，是根本不可能的。

且当j(m,s,0)=j(m)的末位数=1，则对于任意的t，j(m,s,t+1)的末位数也必然=1，就可以肯定它们都不能被2、4、6、8、0，和5，整除。

当取s=15n；n为任意正整数，j(m)的末位数=1，则：

去掉其末位数后，减2，如前，判断其是否能被 7或3整除；若能，该整数就能被7或3整除，若不能，其末位数，又为1，则重复如上做法；直到最后只剩下2位数，若=21，则该整数就能被3或7整除，就不是素数。

或去掉其末位数后，减8，如前，判断其是否能被9整除；若能，该整数就能被9整除，若不能，其末位数，又为1，则重复如上做法；直到最后只剩下2位数，若=81，则该整数就能被9整除，就不是素数。

只有以上情况都不成立，才可能是素数。

而且，即使以上情况都不成立，还需要j(m,s,t)= j(m)+2ts；t=1，2，…，到任意大的正整数，都不是末位数=7和3，或=9和9的，素数的乘积，才能得到各种可能的“无限长度的素数等差数列”。

而对于足够大的素数，末位数=9，3，7或1的很多，j(m,s,t)=j(m)+2ts；t=1，2，…，到任意大的正整数，都不是末位数=7和3或=9和9的，素数的乘积，是根本不可能的。

而且，也没有任何其它的选取，能够得到“无限长度的素数等差数列”。

因而，不可能有“无限长度的素数等差数列”。

类似地，还可研讨有关素数的更多特性。

7.任意n次不可约代数方程仅引进2次根式的公式解

仅引进2次的根式，不致于产生-1的高于2次的根式，而能仅以实数、虚数或复数表达，全面、具体给出任意n次不可约代数方程的确切的公式解，以及各高次更简化的解法，和一些相应的实例。

(1)   2次不可约代数方程：

x^2+a1x+a0=0，    

  都可由变换y=x+a1/2，x=y-a1/2，x^2=y^2-a1y+a1^2/4,而使

x^2+a1x+a0

=y^2-a1y+a1^2/4+a1(y-a1/2)+a0

变换为1次项的系数=0，的如下形式：

y^2+b0=0,  b0=a0-a1^2/4,                         {1.1.1’}

由y2^2 =-b0，解得：

y1=+i(b0)^(1/2),             (1’)

y2=-i(b0)^(1/2),             (2’)

x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),

x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2)，

  即得任意2次不可约代数方程，仅引进2次根式，的公式解。

(2) 任意3次不可约代数方程，仅引进2次根式，的3个公式解。

x^3+a2x^2+a1x+a0=0，都可变换为：2次项的系数=0，的如下形式::

y^3+b1y+b0=0,  b1=a1-a2^2/3,  b0=a0-a2a1/3+2(a2/3)^3,

此3次不可约代数方程还可以与所设2次不可约代数方程，y^2+b’1y+b’0=0，有如下关系式：

y^3+b1y+b0=(y^2+b’1y+b’0)(y-y3)

         =y^3+(b’1-y3)y^2+(b’0-y3)y-b’0y3=0，

则此2次方程，(y^2+b’1y+b’0=0，的各系数都由此3次不可约代数方程各系数表达：

b’1-y3=0,    b’1 = y3,

b’0-y3=b1,   b’0=b1+y3,

-b’0y3=b0,   y3=-b0/b’0=-b0/( b1+y3),

且有,如下2次方程：

y^2+b1y+b0=0,

   由此，可解得：

y1=-b1/2+(b1^2/4-b0)^(1/2),        (1*)

y2=-b1/2-(b1^2/4-b0)^(1/2),        (2*)

方程y^3+b1y+b0=0，有y1、y2、y3,的3个根，

由(1*)、(1*)表达的y1、y2，也就是它的2个解。

再由根与系数间的关系式，y1+y2+y3=0，和y1、y2即得y3的解：

y3 =-(y1+y2)=b1，               (3*)

即得任意3次不可约代数方程，仅引进2次根式，的3个公式解。

(3) 任意2m次不可约代数方程，仅引进2次根式，的公式解

对于任意2m次不可约代数方程的多项式都总可表达为：

x^(2m)+a[2m-2]x^(2m-2) +…+a[1]x+a[0]，

当m>2，还都可改写为如下2个m次不可约代数方程的多项式的乘积，即：

(x^(m)+a’[m-2]x^(m-2) +…+a’[1]x+a’[0]) (x^(m)+a”[m-2]x^(m-2) +…+a”[1]x+a”[0])，有：

0= a”[m-2] a’[1] +a”[m-3] a’[2]+…+ a”[1]a’[m-2]

a[2m-2]=a’[m-2] +a”[m-2] (1+a’[0]) +a”[m-3] a’[1]+…+ a”[0]a’[m-2]

… … …

a[m+1]=a’[1] +a”[1] +a”[m-2]a’[3]+a”[m-3]a’[4]+…+a”[3]a’[m-2]

a[m]= a’[0] +a”[0] +a”[m-2]a’[2] +a”[m-3]a’[3] +… +a”[2]a’[m-2]

a[m-1]= a”[m-2]a’[1] +a”[m-3]a’[2] +… +a”[1]a’[m-2]

… … …

a[2]= a”[2]a’[0]+a”[1]a’[1]+ a”[0]a’[2]

a[1]=a”[1]a’[0] +a”[0]a’[1]

a[0]=a”[0]a’[0]

   由此解得：各a”[j]、a’[j]；j=0,1, … m-2为a[j]；j=0,1, … 2m-2的函数。

   即可，分别仅引进2次根式，解得a”[j]、a’[j]；j=0,1, … m-2的2个方程，即得仅引进2次根式，此2m次不可约代数方程的根式解。

.按此法，任意4次不可约代数方程，仅引进2次根式，的4个公式解。

任意4次的不可约代数方程总可表达为：

x^4+a2x^2+a1x+a0=0，                                 (2.1.1’)

令：

x^4+a2x^2+a1x+a0

=(x^2+a’1x+a’0)(x^2+a”1x+a”0)

而有：

a’1+ a”1=0,    a’1=- a”1,         (1)

a’0+a”0=a2,    a’0=a2-a”0,    (2)

a”0a’1+a”1a’0=a1,   (3)

a”0a’0=a0,         (4)

(1)代入(3) ：

(a2-2a”0)a”1=a1,  (3’)

(2)代入(4) ：

a”0^2-a2a”0+a0=0,         (4’)

   a”0(4)- a’0(4’) ：

a”0=-a0a’0/(a0-a2a’0),        (4”)

(4”)代入(2) ：

a’0^2=-1,  a’0=+,-i,        (a)

(a)代入(2) ：

a”0 =a2-,+i,               (b)

(a), (b)代入(3) ：

a”1=-,+i a1+(+,-i -a2)a’1,   (3”)

(b)代入(3’) ：

(a2-2(a2-,+i))a”1=a1,   (3’)

a”1=a1/(-a2 +,-2i),          (c)

(c)代入(1) ：

a’1=- a1/(-a2 +,-2i),         (d)

于是，可分别解得2个2次方程：x^2+a’1x+a’0=0，x^2+a”1+a”0=0，的各2个解，而得到，仅引进2次根式，4次不可约代数方程的4个根式解。

按此法，仅引进2次根式，6次不可约代数方程的根式解

任意6次不可约代数方程总可表达为：

x^6+a4x^4+a3x^3+a42x2+a1x+a0=0,

又总可表达为：

(x^3 +a’1x+a’0)(x^3 +a”1x+a”0)=0,

   有：

a4=a’1+a”1,            (1)

a3=a’0+a”0,            (2)

a2=a”1a’1,             (3)

a1=a”1a’0+a”0a’1,       (4)

a0=a”0a’0,             (5)

   由此容易解得：

a’0= a3/2+,-(a3^2/4 -a0)^(1/2),                              (a)

a’1=a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0,       (b)

a”0=a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)^(1/2)),                          (c)

a”1=a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0),   (d)

分别将(c)、(c)、(c)、(c)代入2个3次方程，并解出它们，

x^3 +(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)x

+ a3/2+,-(a3^2/4 -a0)^(1/2)=0，

x^3+(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))x

+a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)^(1/2))=0,

  于是得到：

x1= a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0,

x2=-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)/2

  +((a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)^2/4

    -(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

x3=-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)/2

  -((a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)^2/4

    -(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

x4= a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0),

x5=-(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))/2

  +((a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))^2/4

   (a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

x6=-(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))/2

  -((a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,- a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))^2/4

   (a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)))^(1/2),

即得，仅引进2次根式，任意6次不可约代数方程的根式解。

(4) 2m+1次不可约代数方程仅引进2次根式的简化根式解

 2m+1次方程x^(2m+1)+a[2m-1]x^(2m-1)+a[2m-2]x^(2m-2) +…+a[1]x+ a[0]=0，可以表达为：

(x’^(2m)+ a’ [2m-1]x’^(2m-1)+…+a’[1]x’+a’[0])(x’-x)=0, 即：

x’^(2m+1)+(a’[2m-1]-x)x’^(2m) +(a’[2m-2] -xa’[2m-1])x’^(2m-1)

+…+(a’[0]-x)a’[1]x’-xa’[0])，有：

a’[2m-1]-x=0，

a’[2m-2] –xa’[2m-1]= a[2m-1]，

a’[2m-3] –xa’[2m-2]= a[2m-2]，

…   …   …  …  …  …  …

a’[1]-xa’[2]= a[2],

a’[0]-xa’[1]= a[1],

-xa’[0]= a[0],

于是，得到:

a’[2m-1]= x，

a’[2m-2]=a’[2m-1]x+a[2m-1]，a’[2m-2] =a’[2m-1]x +a[2m-1]，

a’[2m-3] =(a’[2m-2]-a[2m-2])/x，

…   …   …  …  …  …  …

a’[2] =(a’[1]-a[2])/x,  a’[1]=xa’[2]+a[2],

a’[1] = (a’[0]-a[1])/x,  a’[0]=xa’[1]+a[1],

a’[0]= -a[0]/x,

即：全部a’[j]；j=0,1,…,2m都由x和a[j]；j=0,1,…,2m-1表达。

而相当于消去一个根，得到x仅由此2m+1次方程各系数表达的一个2m次方程：

x^(2m)+a[2m-1]x^(2m-1)+a[2m-2]x^(2m-2) +…+a[1]x+ a[0]=0, (1*)  注意：a[2m-1]不=0，

    可采用变换，y=x- a[2m-1]/(2m),使y方程，的b[2m-1]=0，即成为：

y^(2m) +b[2m-2]y^(2m-2) +…+b[1]y+ b[0]=0,               (1**)

其中b[j];j=0,1, … , 2m-2 均由a[j];j=0,1, … , 2m-1表达。

按2.节方法，仅需引进2次根式，即可解出此2m次方程(1**) 的各个解，再将此各解变换为变量x，就也即是此2m+1次方程的x[j]；j=1,2,…,2m，的2m个仅由此2m+1次方程各系数,表达的解。

将它们代入，2m+1次方程各根与系数的1个关系式，例如：x[2m+1]=- (x[1]+x[2]+x[3]+…+x[2m]) 或x[2m+1]=- a[0] /(x[1]x[2]x[3]…x[2m])，即得x[2m+1]仅由此2m+1次方程各系数,表达的解。  

这就仅需引进2次根式，解得2m+1次的不可约代数方程的各个解。即：更为简便地解得奇数次不可约代数方程的根式解。

按此法，任意5次不可约代数方程，仅引进2次根式，的5个公式解。

x^5+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,由：

(x’^4+a’3x’^3+a’2x’^2+a’1x’+a’0)(x’-x) =x’^5+(a’3-x)x’^4+(a’2-xa’3)x’^3+(a’1-xa’2)x’^2+(a’0-xa’1)x’-xa’0=0,  表达。

有x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,    (1) 注意：a3不=0，

取x=y-a3/4,

使(1) 成为：b3=0，的y^4+b2y^2+b1y+b0=0，         (1’)

b2=6 (a3/4)^2-3a3^2/4+a2

b1=-4(a3/4)^3+3a3(a3/4)^2-a2a3/2+a1

b0=(a3/4)^4-a3 (a3/4)^3+a2(a3/4)^2-a1a3/4+a0

:

y1=-b1/4+(b1^2/16-((1/4+b0)^(1/2)+1/2)/4)^(1/2),

y2=-b1/4-(b1^2/16-(1/4+b0)^(1/2) +1/2)/4)^(1/2),

y3=b1/4+(b1^2/16-((1/4+b0)^(1/2)+1/2)/4)^(1/2)

y4= b1/4-(b1^2/16-((1/4+b0)^(1/2) +1/2)/4)^(1/2),

 相应地代回，得到的原5次方程的xj；j=1,2,3,4,

将它们代入原5次方程根与系数的1个关系式x5=-a0/(x1x2x3x4)，即得：x5仅由此5次方程各系数,表达的解。 

按此法，任意7次不可约代数方程，仅引进2次根式，的7个公式解。

x^7+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,由：

(x’^6+a’5x’^5+a’4x’^4+a’3x’^3+a’2x’^2+a’1x’+a’0)(x’-x)=

x’^7+(a’5-x)x’^6+(a’4-xa’5)x’^5+(a’3-xa’4)x’^4+(a’2-xa’3)x’^3+(a’1-xa’2)x’^2

+(a’0-xa’1)x’-xa’0=0,  表达。

而有x^6+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,    (1)  注意：a5不=0，

取x=y-a5/6,

使(1) 成为：b5=0，的y^6+b4y^4+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0， (1’)

b4=15(a5/6)^2-5a5^2/6+a4

b3=-20(a5/6)^3+10a5(a5/6)^2-4a4a5/6+a3

b2=+15(a5/6)^4-10a5(a5/6)^3+6a4(a5/6)^2-3a3a5/6+a2

b1=-6(a5/6)^5+5a5(a5/6)^4-4a4(a5/6)^3+3a3(a5/6)^2-2a2a5/6+a1

b0=+(a5/6)^6-a5(a5/6)^5+a4(a5/6)^4-a3(a5/6)^3+a2(a5/6)^2+a2(a5/6)^2

+a2(a5/6)^2+a0

仅需引进2次根式，即可解出6次方程，(1’) ，各个解，也即是此7次方程仅由方程各系数表达的，yj；j=1,2,3,4,5,6，6个解。

y1= b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0,

y2=-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)/2

  +((b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)^2/4

    -(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),

y3=-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)/2

  -((b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0)^2/4

    -(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),

y4= b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0),

y5=-(b4-(b2a1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))/2

  +((b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))^2/4

   (b0/(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),

y6=-(b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))/2

  -((b4-(b2b1(b3/2+(b3^2/4 -b0)+,- b3(b3^2/16 -b0/4)^(1/2))/b0))^2/4

   (b0/(b3/2+,-(b3^2/4 -b0)))^(1/2),

   相应地代回，得到原7次方程的xj；j=1,2,…,6,

将它们代入原7次方程根与系数的1个关系式x7=-a0/(x1x2…x6)，即得：x7仅由此7次方程各系数,表达的解。 

这就仅需引进2次根式，即可解得7次的不可约代数方程的公式解。

由此类推，就可按2^s,3乘2^(s-1)；2^s+1,3乘2^(s-1)+1

2(2^(s-1)+1), 2(3乘2^(s-2)+1)、2(2^(s-1)+1)+1, 2(3乘2^(s-2)+1)+1、

2^2(2^(s-2)+1), 2^2(3乘2^(s-3)+1)、2^2(2^(s-2)+1)+1, 2^23(乘2^(s-3)+1)+1、

… … …

2^(s-2) (2^2+1), 2^ (s-2) (3乘2+1)、

2^(s-2) (2^2+1)+1, 2^(s-2) (3乘2+1)+1； s=1,2,…,n(任意大的整数)的顺序，仅需引进2次根式，即可简便地解得任意n次的不可约代数方程的公式解。

经适当变换，此法还可用于解多元代数方程，加上相应的初始和边界条件，还可用于解微分方程和偏微分方程。

8.负数的开方，“虚数”与“实数”的区分，“复数”和“共轭复数”

任何负数，-A=-1乘A，负数，-A开n次方(-A)^(1/n)=(-1)^(1/n) 乘A^(1/n),

    (-1)开2次方, (-1)^(1/2) 就是“虚数符”，i，负数，-A开2次方(-A)^(1/2)=i乘A^(1/2),

任何的数，有或没有虚数符，i，就区分为：“虚数”或“实数”。

“复数”，A，就是实数A1加虚数iA2，复数A=A1+iA2。

相应的“共轭复数”A*=A1-iA2。

由于，也只有，解决了n次方程，x^n+1=0,仅引进2次根式的解，(-1)^(1/n)，就都能，也才能，由相应的实数、虚数或复数的相应组合表达，例如：

(-1)^(1/n)是x^n+1=0的根式解；

   它有n为个值，n为大于2的奇数时， -1只是它的1个值；n为大于4的偶数时，1、 -1只是它的2个值。

x=(-a)^(1/n)是x^n+a=0的根式解；

它也有n个值；

x=(a)^(1/n)是x^n-a=0的根式解；

它也有n个值；

n为大于2的奇数时， -(a)^(1/n)只能是(-a)^(1/n) 的n个解中，

对应于(-1)^(1/n)的n个解中=-1，乘(a)^(1/n) 的n个解中相应的那个解；

n为大于4的偶数时，(a)^(1/n)、 -(a)^(1/n)只能是(-a)^(1/n) 的n个解中，

对应于(-1)^(1/n)的n个解中=1和-1，乘(a)^(1/n) 的n个解中相应的那2个解。

而决不能误认为：

(-a)^(1/n)=-(a)^(1/n)。

当n=2，

(-1)^(1/2)是x^2+1=0的根式解，它有2个值，

通常把它们表达为：

+i和-i。但要注意：不能误认为它只是i或-i的1个值。

当n=3，

(-1)^(1/3)是x^3+1=0的根式解，

它有3个值，除-1而外，还有2个互为共轭的复数值。

以及n=更大的情况，方程x^n+a=0，它们全部的值，都只有逐次仅引进2次根式解出它们全部各根，才能确定。

按以上方法，这些实际上，是相应简化了的方程，就都能解决，例如；

x^2 +a0=0，(x +(-a0)^(1/2))(x -(-a0)^(1/2))=0，

x1=(-a0)^(1/2)=i(a0)^(1/2),  x2=-(-a0)^(1/2)=-i(a0)^(1/2),

x^3 +a0=0，消去其1个根，x3，有x^2 +a0=0，

x1=i(a0)^(1/2),  x2= -i(a0)^(1/2),  

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得：x3=-a0/(x1x2)=-1，

x^4+a0=0，

(x^2+(-a0)^(1/2))(x^2-(-a0)^(1/2))=0,

(x^2+i(a0)^(1/2))(x^2-i(a0)^(1/2))=0,

(x+(i)^(3/2)(a0)^(1/4))(x-(i)^(3/2)(a0)^(1/4))

(x+i^(1/2)(a0)^(1/4))(x-i^(1/2)(a0)^(1/4))=0,

x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x3=-i^(1/2)(a0)^(1/4),

x4=i^(1/2)(a0)^(1/4),

x^5 +a0=0,消去其1个根，x5，有x^4 +a0=0, 即得：

x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x3=-i^(1/2)(a0)^(1/4),

x4=i^(1/2)(a0)^(1/4),

将它们代入5次方程根与系数的1个关系式即得：x5=-a0/(x1x2x3x4)=-1，

x^6 +a0=0,

(x^3+i(a0)^(1/2))(x^3-i(a0)^(1/2))=0,

  消去x3、x6，有：

(x^2+i(a0)^(1/2))(x^2-i(a0)^(1/2))=0,

x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得：x3=- i(a0)^(1/2)/(x1x2)=1，

x4=-i^(1/2)(a0)^(1/4),

x5=i^(1/2)(a0)^(1/4),

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得：x6= i(a0)^(1/2)/(x1x2)=-1，

x^7+a0=0, 消去其1个根，x7，有：x^6+a0=0,

x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x3=- i(a0)^(1/2)/(x1x2)=1，

x4=-i^(1/2)(a0)^(1/4),

x5=i^(1/2)(a0)^(1/4),

x6= i(a0)^(1/2)/(x1x2)=-1，

将它们代入7次方程根与系数的1个关系式，即得：x7=-a0/(x1x2…x6)=-1，

由此类推，就仅需引进2次根式，即可解得任意n次的x^n+a0=0,方程的公式解。

  对于a0=1的简化情况，即得：

x^2 +1 =0，(x +(-1)^(1/2)) (x -(-1)^(1/2))=0，

x1=(-1)^(1/2)=i,  x2=-(-1)^(1/2)=-i,

x^3 +1=0，消去x3，有x^2 +1=0，

x1=i,  x2= -i,  

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得：x3=-1/(x1x2)=-1，

x^4+1=0，

(x^2+(-1)^(1/2))(x^2-(-1)^(1/2))=0,

(x^2+i)(x^2-i)=0,

(x+(i)^(3/2))(x-(i)^(3/2))

(x+i^(1/2))(x-i^(1/2))=0,

x1=-(i)^(3/2),

x2=(i)^(3/2),

x3=-i^(1/2),

x4=i^(1/2),

x^5 +1=0,消去x5，有x^4 +1=0, 即得：

x1=-(i)^(3/2),

x2=(i)^(3/2),

x3=-i^(1/2),

x4=i^(1/2),

将它们代入5次方程根与系数的1个关系式即得：x5=-1/(x1x2x3x4)=-1，

x^6 +1=0,

(x^3+i)(x^3-i)=0,

  消去x3、x6，有：

(x^2+i)(x^2-i)=0,

x1=-(i)^(3/2),

x2=(i)^(3/2),

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得：x3=- i/(x1x2)=1，

x4=-i^(1/2),

x5=i^(1/2),

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得：x6= i/(x1x2)=-1，

x^7+1=0, 消去x7，有：x^6+1=0,

x1=-(i)^(3/2),

x2=(i)^(3/2),

x3=- i/(x1x2)=1，

x4=-i^(1/2),

x5=i^(1/2),

x6= i/(x1x2)=-1，

将它们代入7次方程根与系数的1个关系式，即得：x7=-1/(x1x2…x6)=-1，

由此类推，就仅需引进2次根式，即可解得任意n次的x^n+1=0,方程的公式解。

9. 复数与相应的“共轭复数”相乘、复数除以复数，及复数“歌德巴赫猜想”的证明

复数A，A1+iA2，与相应的“共轭复数”A*，A1-iA2，相乘=相应的实数，A1^2+A2^2。

复数A/复数B=(A1+iA2)/(B1+iB2)=(A1+iA2)(B1-iB2)/(B1^2+B2^2) =(A1B1-A2B2)+i(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)。

只有“复数”，F=F1+iF2，的实部与虚部，即：F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与F2=(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)，都是整数，成为N=N1+iN2，才是整数，N。

只有“复数”，F=F1+iF2，的实部与虚部，即：F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)，除2都是整数，M=M1+iM2，才是偶数,以2M表达。

只有“复数”，F=F1+iF2，的实部与虚部，即：F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)，除2都不是整数，M=M1+iM2，才是奇数,2M+1表达。

只有J(m)=J(m)1+iJ(m)2除以J(m-k)=J(m-k)1+iJ(m-k)2；k=1,2,…,m-1，的实部与虚部，

J(m)1=(J(m)1J(m-k)1-J(m)2J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2) 与J(m)2=(J(m)2 J(m-k)1- J(m)1J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2)，都不是整

数，才是“复数”素数，以J(m)=J(m)1+iJ(m)2，表达。

因而，对于复数，要证明除2以外，的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”，或=3个“奇数”相加，或扩展为：“除2以外，的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”，或=奇数个“奇数”相加”，以及大于6的所有偶数都至少有2个素数相加，等于它们，大于7的所有偶奇数都至少有3个素数相加，等于它们，的“歌德巴赫猜想”，就必需，也仅需，要求相应的各“复数”都满足以上的条件。否则，就不能证明。

类似地，对于“复数”孪生素数有关特性的证明，也必需，且仅需，要求相应的各“复数”都满足以上的条件。否则，就不能证明。

10.0和无穷大是特殊的数

0是特殊的整数它和无穷大，与其它数的4则运算都不相同。

任何其它数A+0=A， A-0=A， Ax0=0， A/0=无穷大，

0无正、负之分别，其与其它任何数4则运算结果的正负都有其它数的正负决定。

任何其它正、负数A+正无穷大都=正无穷大、

任何其它正、负数A+负无穷大都=负无穷大、

任何其它正、负数A-正无穷大都=负无穷大、

任何其它正、负数A-负无穷大都=负无穷大、

任何其它有限数A /无穷大，都=0，

任何有限数/0=无穷大、任何有限数/无穷大=0、使得无穷大和0产生不同的级别，

任何有限数/(n级0)=n级无穷大、任何有限数/(n级无穷大)=n级0

n级无穷大/(n’级0)=(n+n’)级无穷大、n级0/(n’级无穷大)= (n+n’)级0，

以此类推，产生各高级的无穷大和0，并有：

任何有限数 =(n级0) 乘 (n级无穷大)=(n级无穷大) 乘 (n级0)、

n级无穷大乘 (n  级0)=(n - n’)级无穷大、

n级0乘 (n’级无穷大)=(n - n’)级0 ，

0无正、负之分别，其与其它任何数4则运算结果的正负都由其它数的正负决定。

无穷大与其它非0的数乘、除结果的正负，仍按正正为正，负负为正，正负为负，负正为负。

11．关于连续性

首先，任何随某个参量, x, 变化的事物某种特性, f(x), 应是一一对应的。x就是变量，f(x) 就是函数。只能讨论存在一一对应的变量的函数是否连续？

其次，严格地说，应该有两个一一对应的无限小，a 和b。所谓无限小就是小于任意小，可以小到趋近于0，但又不=0，的正数。

若x 改变a；则f(x)改变b，当x趋近于 c时，存在对应的f(x) 并且= f(c)，就称：x = c 时，f(x) 连续。

但是，对于某些实际情况，例如：化合物、合金、溶液等整体的连续性，所取的任意小就可以不必真正趋近于0，而实际上只需趋近于稍大于其中各原子的尺度，或视觉上近于0，即可。

对于各种事物的各种特性，对应的x 可以是时间、长度、体积，甚至速度、温度等等不同的量。就都类似地相应反映各该事物该特性对于这些量相应的连续性。

对于“数”，就要考虑到各类不同的“数”，例如：有理数（整数、分数（小数、循环小数））、无理数、实数、虚数、复数等等。而且所有的正、负实数，都包括，全部有理数和无理数相互穿插，按数值大小顺序排列地表达在一个实数轴上；所有的正、负虚数，包括顺序排列的全部虚有理数和虚无理数，也都可包括，全部有理数和无理数相互穿插，按数值大小顺序排列地表达在一个与实数轴正交的虚数轴上；而全部相应的复数，就是此实数轴与虚数轴所组成的平面上相应的各点。

考虑“数”的连续性，对实数轴与虚数轴所采用的任意小就必须是真正趋近于0才行，因此，只能对全部实数、虚数、复数进行，而不可能分别对有理数（或整数、分数（或小数）或无理数进行。

12. 素数和复数素数的微分和积分，解析数论的发展

序数为从m到m+1的变量，x，的正实整数(也适用于负实整数或正负虚整数)，素数，j(x)，的微分，dj(x) ，按其基本性质，应是：

d(j(x)/j(x-k))=dj(x)/j(x-k)-j(x)dj(x-k)/j(x-k)^2，即应是：

dj(x)-j(x)dj(x-k)/j(x-k)；k=1,2,…,x-1,

序数为为从m到m+1的变量，x，的的复数素数，J(x)=[J(x)1]+i[J(x)2]，的微分，dJ(x)=d[J(x)1]+id[J(x)2]，的

实部应是：

d[J(x)1]=d(([J(x)1][J(x-k)1]-[J(x)2][J(x-k)2)]

/([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2))

     =(d[J(x)1][J(x-k)1]+[J(x)1]d[J(x-k)1]、-d[J(x)2][J(x-k)2]+[J(x)2]d[J(x-k)2])

/([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2)

      -2(([J(x)1][J(x-k)1]-[J(x)2][J(x-k)2])

        ([J(x-k)1]d[J(x-k)1]+[J(x-k)2]d[J(x-k)2])

/([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2)^2；k=1,2,…,x-1,即应是：

([J(x-k)1]^3+[J(x-k)1][J(x-k)2]^2)d[J(x)1]

-([J(x-k)1]^2[J(x-k)2]+[J(x-k)2]^3)d[J(x)2]

+(-([J(x)1[J(x-k)1]^2+(2[J(x)2][J(x-k)1]

+[J(x)1][J(x-k)2])[J(x-k)2])d[J(x-k)1]

+(-(2[J(x)1][J(x-k)2]+[J(x)2][J(x-k)1])[J(x-k)1]

+[J(x)2][J(x-k)2]^2)d[J(x-k)2]；k=1,2,…,x-1,

虚部应是：

dJ(x)2=d(([J(x)2][J(x-k)1]-[J(x)1][J(x-k)2])

/([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2))

     =(d[J(x)2][J(x-k)1]+[J(x)2]d[J(x-k)1]

-d[J(x)1][J(x-k)2]-[J(x)1]d[J(x-k)2])

        /([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2)

      -2([J(x)2][J(x-k)1]-[J(x)1][J(x-k)2])

        ([J(x-k)1]d[J(x-k)1]+[J(x-k)2]d[J(x-k)2])

/([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2)^2；k=1,2,…,x-1,即应是：

([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2)[J(x-k)1]d[J(x)2]

-([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2)[J(x-k)2]d[J(x)1]

+(-[J(x)2][J(x-k)1]^2+(2[J(x)1][J(x-k)1]

+[J(x)2][J(x-k)2])[J(x-k)2])d[J(x-k)1]

+(-(2[J(x)2][J(x-k)2]+[J(x)1][J(x-k)1])[J(x-k)1]

+[J(x)1][J(x-k)2]^2)d[J(x-k)2]；k=1,2,…,x-1,

   这样，有了表达并确定各素数的序数、数值和变化规律的如上方法，就能，类似和利用现有的各种解析运算方法，分别由j(x)，的微分，dj(x) ，和复数素数，J(x)=J(x)1+iJ(x)2，的微分，dJ(x)=dJ(x)1+idJ(x)2，和x从m到m+1的积分，具体发展素数在的解析运算方法。

13. “数”本身的特性和规律对客观事物的有关特性和规律的认识和利用

“数”是从客观事物中抽象出来的，它本身的特性和规律，也必然符合客观事物的有关特性和规律，并促进对客观事物的有关特性和规律的认识和利用。例如：

各种“数”，正负数，整数、分数、小数，偶数、奇数，合数、素数，实数、虚数、复数，的产生与区分。

分数与无循环小数相等；而只是趋近于循环小数。

0和无穷大的特殊运算规律。

微分、无穷小，和相应的积分。

对素数的排序、数值的确定及其与其它数类，特别是，偶数、奇数，的相互关系。

各种方程的解，任何n次方程都可仅引进2次根式而得解。

即使方程的系数是复数，也可分解为实、虚2个方程分别求解。

任何高次的根式都能由2次根式的组合，即实数、虚数和复数表达。

一切无理数都可由素数的2次根式表达。

以及进而，与各种事物中抽象出的各种维数的“形”而产生的几何、3角、解析几何、微分几何，等特性和规律的研究、发展。

特别是，其中有关的关键性的科学认识和发展，必将促进对一切事物的特性和运动规律的科学认识的革命性发展。

（二）形

1．点、线、面和体的各种“形”与“数”结合而发展出各种“几何学”

“形”的基本元素是“点”，它标志任何维空间的1个确定的位置。

空间的“维”是由彼此线性无关的各点分别组成。

“点”在任何维空间按一定规律的聚集，或运动的轨迹，就形成“线”，有一定的起点和终点的，就是“线段”。

各种“线段”就有了长度。

仅在不变的1维空间，聚集，或运动的“线”或“线段”，就是“直线”或“直线段”。

在1维或多维空间，不限于在某不变的1维空间，聚集，或运动的“线”或“线段”就形成相应的各种2维或多维的“曲线”或“曲线段”。

“直线”或“直线段”仅在另1不变的1维空间，聚集，或运动，就形成“平面”或“平面形”。

在2维或多维空间，不限于在某不变的2维空间，聚集，或运动的“面”或“面形”就形成相应的各种2维或多维的“曲面”或“曲面形”。

各种“面形”就有了宽度和面积。

“面”或“面形”在另一1维空间，聚集，或运动，就形成各种“体”或“3维体形”

各种“3维体形”就有了高度和体积。

各种“面形”中最基本的是3角形。

可以认为，各种“面形”都是由相应的多个3角形拼凑形成的。例如：

4边形可以由2、3或4个3角形拼成。

5边形可以由3、4或5个3角形拼成。

………

n边形可以由n-2、n-1或n个3角形拼成。

3角形本身还可以由多个乃至无穷多个相应的小3角形拼成，因而，各种“面形”也都可以由多个乃至无穷多个相应的小3角形拼成。

各种“3维体形”中最基本的是4面体。

可以认为，各种“3维体形”都是由相应的多个4面体拼凑形成的。

4面体本身还可以由多个乃至无穷多个相应的小4面体拼成，因而，各种“3维体形”也都可以由多个乃至无穷多个相应的小4面体拼成。

类似地，还可以有更高维的，“平”和“曲”的，“面形”和“体形”。

“点”、“线”、“面”和“体”有了“位置”、“长度”、“面积”和“体积”等，就把形和数结合起来了。

各种平直的“点”、“线”、“面”和“体”，可由平直的，仿射或正交的，坐标系，表达各种“形”和相应的“数”的结合及其运动的规律；

各种弯曲的“线”、“面”和“体”，相应的各“点”、就只能由曲线坐标系，表达各种“形”和相应的“数”的结合及其运动的规律。

研究客观事物的各种“形”和相应的“数”结合运动的规律，就形成各相应的“几何学”、“解析几何学”、“微分几何学”和“拓扑学”。

平直的，各种维的，线、面、体，可由各相应的有确定方向的“矢量”表达，并形成代数和解析的矢算法则。

3维空间的代数和解析的矢算，是经典物理学的重要、有力工具。

现有数学尚未解决各种弯曲空间的矢量表达和矢算法则，而只能由曲线坐标，按张量运算法则，形成黎曼几何，解决某些有关问题。

2．对客观世界的认识从3维空间发展为4维时空

3维空间的“矢量”和“矢算”，是建立在“绝对时间”观念之上的，即：认为，参考系与时间无关，不同参考系间的变换，就是“伽利略变换”。

但是，“迈克尔逊光学实验”表明：对于光子，“伽利略变换”不成立，只有狭义相对论，打破“绝对时间”的观念，采用4维时空的“闵科夫斯基矢量”表达时空位置，而参考系与是与时间有关的，不同参考系间的变换，应是“洛伦兹变换”，才与客观实际相符。

3维空间矢量及其“伽利略变换”的，经典物理学，只是当3维空间的速度与相应的光速相比可以忽略的“低速近似”；而3维空间的速度与相应的光速相比不可忽略的光子和高速粒子就必须采用4维时空矢量及其“洛伦兹变换”。

   但是，4维时空不同参考系间的变换应由相应的4维时空牵引位置矢的方向余弦表达，而通常由相应的4维时空牵引速度矢的方向余弦表达的“洛伦兹变换”，其实，只适用于惯性的牵引运动，而且，这就表明了非惯性的牵引运动必将产生广义相对论所反映的，时空的弯曲。

   由于包括3维空间的速度与相应的光速相比不可忽略的光子和高速粒子的时空位置，必须采用4维时空的“闵科夫斯基矢量”表达，就使对各种形和数，及其运动规律的研究必须采用4维时空的矢量。而对于非惯性的牵引运动就还必须反映时空的弯曲特性。

所有的仿射系都可由正交系具体表达。

正交系3维空间的2个1线矢的叉乘形成的2线矢，仍为组合数=3维，可用与其正交的1线矢，即相应的1线倒易矢，表达，2个1线矢的点乘成为标量，因而，可以只有1线矢和标量。

但是，4维时空的矢量的各种运算规则却与3维空间的矢量有着原则的不同，2个1线矢的叉乘形成的2线矢，却是组合数=6维，2个2线矢的叉乘形成的22线矢，却是组合数=15维，22线矢叉乘 1线矢却是组合数=12维，等等，都只能分别以它们各自的不同维数的相应多线矢表达。

现有数学尚未解决4维时空以及更高维的各类多线矢量的表达，及其矢算，甚至尚未能确定4维时空更高维矢量的客观存在，更没有反映时空弯曲特性的各类多线矢量的表达，及其矢算。因而，必须创建统一适用于包括非惯性的牵引运动弯曲特性的各维多线矢量的表达与矢算。

3．创建时空各类多线矢的代数矢算法则：

（1）各类多线矢的加减法

与通常各相应维数矢量的完全一样，都是由各同类多线矢，按各相同分量相加减的“矢量和”。

  （2）各类多线矢(矢(A))和(矢(B))间的夹角

定义任意两个多线矢(矢(A))和(矢(B))间的夹角为：(角(A)(B))。

任意两个1线矢(矢A)和(矢B)间的夹角，(角AB)，都与通常的矢量间的夹角一样定义。

在任何两个不完全相重合的多线矢(矢(A))和(矢(B))的内部，都至少各有一个与相重合的子空间彼此线性无关的1线矢。因而，可分别在(矢(A))和(矢(B))内各选一个与相重合的子空间彼此线性无关、且彼此之间夹角最小的1线矢，而由这两个1线矢间的夹角定义(角(A)(B))；

如果(矢(A))和(矢(B))完全相重合，则分别在其间各选的一个夹角最小的1线矢，必然是同一个1线矢，即：其间的夹角(角(A)(B))必=0。

这样，就定义了各种情况下，各类多线矢间的夹角。并有：

当(矢(A))和(矢(B))完全重合：(角(A)(B))=0；sin(角(A)(B))=0; cos(角(A)(B))=1,

当(矢(A))和(矢(B))彼此正交：(角(A)(B))=派/2；

sin(角(A)(B))=1; cos(角(A)(B))=0。例如：

若多线矢(矢(A))=2线矢(矢AB)、(矢(B))=1线矢(矢C)，其间的夹角为：(角(AB)C)。

当(矢AB) 和(矢C) 完全重合：(角(AB)C)=0。

当(矢AB) 和(矢C) 彼此正交：(角(AB)C)=派/2。

若多线矢(矢(A))=2线矢(矢AB)、 (矢(B))= 2线矢(矢CD)，其间的夹角为：(角(AB)(CD))。

当(矢AB) 和(矢CD) 完全重合：(角(AB)(CD))=0。

当(矢AB) 和(矢CD) 彼此正交：(角(AB)(CD))=派/2，…，等等。

若多线矢(矢(A))=22线矢(矢AB,BC)、 (矢(B))= 1线矢(矢D)，其间的夹角为：(角(AB,BC) D)。

当(矢AB,BC) 和(矢D)完全重合：(角(AB,BC) D)=0。

当(矢AB,BC) 和(矢D)彼此正交：(角(AB,BC) D)=派/2，…，等等。

类似地，还可定义任意更多个多线矢其间的夹角。

但是，4维时空中，仅有4个彼此线性无关的1线轴矢，因而，也仅有6个不同的两个1线轴矢间的夹角；仅有6个彼此线性无关的2线轴矢，因而，仅有15个不同的两个2线轴矢间的夹角；以及相应的各类多线矢间相应数目的不同夹角。

（3）各类多线矢间叉、点乘的统一定义

(1)任意两个多线矢(矢(A))和(矢(B))的叉乘积是完全含有(矢(A))和(矢(B))为其子空间的高次、线多线矢(矢(A)(B))。

其方向为：单位叉乘多线矢(单位矢(A)(B)) =(单位矢(A)) 叉乘 (单位矢(B))/sin(角(A)(B))。

其模长为：(矢(A)) 叉乘 (矢(B)))=(A)(B)乘sin(角(A)(B))，即：

(矢(A)) 叉乘 (矢(B)) =(A)(B)sin(角(A)(B)) (单位矢(A)(B))。

   当(矢(A))和(矢(B))中有1个的全部子空间与另1个的部分或全部子空间完全重合时，即：sin(角(A)(B))=0；(单位矢(A)(B))无意义；(矢(A)) 叉乘 (矢(B))=0

将此定义用于3维空间的1线矢，其结果与通常3维空间算的数值相同；但方向不同。后者的方向是定义为：与(矢A)和(矢B)正交的另1个线矢。但是，在4维和更多维时空的1线矢，就因它们根本不是这样的1线矢，而只能采用本文这样的定义。

(2)任意两个多线矢(矢(A)) 点乘 (矢(B)) 的点乘积是包含(矢(A))和(矢(B))中，消去两者中彼此完全相同的子空间后，剩余的全部其它子空间的矢量。

其方向为：相应的“单位点乘多线矢” (单位矢(A)点乘(B)) =(单位矢(A) 点乘单位矢(B)) /cos(角(A)(B))。

其“模长”为：模(矢(A)) 点乘 (矢(B))=(A)(B)cos(角(A)(B))，即：

(矢(A)) 点乘 (矢(B))=(A)(B) cos(角(A)(B)) (单位矢(A)点(B))。

当(矢(A))和(矢(B))没有彼此完全相同的子空间，cos(角(A)(B))=0；(单位矢(A)点(B))无意义；(矢(A)) 点乘 (矢(B)) =0。

当(矢(A))中全部含有(矢(B))，(矢(A)) 点乘 (矢(B))是 (矢(A))中去掉(矢(B))的全部子空间后，所剩余的部分。

当(矢(A))和(矢(B))中仅有部分彼此完全相同的子空间，(矢(A)) 点乘 (矢(B))是(矢(A))和(矢(B))中去掉那些彼此完全相同的子空间后，的剩余部分，而形成相应的“纤维丛矢”。

（4）4维时空各类多线基矢(单位矢)叉、点乘积的具体化

(1线基矢a) 点乘 (1线基矢b) = 0 (a不=b) ;

=1 (a=b),

(1线基矢a) 叉乘 (1线基矢b) =0 (a =b);

=sin(角ab) (2线基矢ab) (a不=b),

(2线基矢ab) 点乘 (1线基矢c)=0 (c不=a或b);

=-(1线基矢b) (c =a); =(1线基矢a) (c = b),

(2线基矢ab) 叉乘 (1线基矢c) =sin(角ab,c) (3线基矢abc) (c不=a或b);

=0 (c =a或b),

…   …   …  

(2线基矢ab)点乘(2线基矢cd) =0 (cd不=ab);

=1(cd=ab);

=cos(角ab, bd) (单位纤维丛矢a,d) (c=b, a不=d);

=-cos(角ab, ad) (单位纤维丛矢b,d) (c=a, b不=d);

=-cos (单位纤维丛矢a,c) (d =b,a不=c);

=cos(角ab, ac) (单位纤维丛矢b,c ) (d =a, b不=c),

(2线基矢ab) 叉乘 (2线基矢cd) =sin(角ab, cd) (22线基矢ab,cd) (cd不=ab);

=0 (cd =ab);

(2线基矢ab) 叉乘 (2线基矢ac) =sin(角ab,ac) (22线基矢ab,ac) (c不=b);

=0 (c=b);

(2线基矢ab) 叉乘 (2线基矢bc) =sin(角ab,bc) (22线基矢ab,bc) (c不=a);

=0 (c =a),

(22线基矢ab,ac)点乘(1线基矢d) =0 (d不=a,b,c);

=cos(角(ab,ac)a) (单位纤维丛矢b,c) (d =a);

                           =cos(角(ab,ac)b) (单位纤维丛矢a,ac) (d =b);

=cos(角(ab,ac)c) (单位纤维丛矢ab,a) (d =c),

(22线基矢ab,ac)叉乘(1线基矢d)=sin(角(ab,ac)d) (22,1线基矢(ab,ac)d) (d不=a,b,c);

=0 (d=a,b,c) ,

…   …   …,

还可以有更高次、线的多线轴矢和多线矢。

理论上，可至无穷，但是，由于相互作用距离增大，特别是多个粒子间相互屏蔽的效应，过高次、线的多线矢的强度，实际上已可忽略不计，而不必考虑。

对于正交系，各基矢间不完全相重合子空间的夹角都=派/2，相应的sin(角)都=1；cos(角)都=0，基矢间子空间完全相重合的夹角都=0，相应的sin(角)都=0；cos(角)都=1。有关各式，都得到相应的简化。（为简明计，本文以下均仅采用正交系）

  （5）4维时空各类多线矢由各相应多线基矢表达

(1线矢A) ={A (a) (1线基矢a) }a=0到3求和。

(2线矢AB) ={(AB)0j (2线基矢0j) +(AB) kl (2线基矢kl })jkl=123循环求和。

…   …   …

(22线矢AB,CD)

={(AB,CD)0k,0l (22线基矢0k,0l) +(AB,CD)0j,kl (22线基矢0j, k l)

+(AB,CD)0k,kl (22线基矢0k,kl) +(AB,CD)0l,kl (22线基矢0l,k l)

   +(AB,CD)jk,kl (22线基矢jk,kl)} jkl=123循环求和。

…   …   …

(22,1线矢(AB,BC)D) ={(AB,BC)D(0k,0l)j (22,1线基矢(0k,0l)j)

+(AB,BC)D(0k,kl)j (22,1线基矢(0k,kl)j)

+(AB,BC)D(0l,k l)j (22,1线基矢(0l,k l)j)

+(AB,BC)D(jk, jl)0 (22,1线基矢(jk, jl)0)

, jkl=123循环求和。

… …  …

4，创建4维时空可变系多线矢

为了具体反映非惯性(各牵引运动系之间存在相互作用力)牵引运动系的时空弯曲特性，并能表达相应的矢量和进行矢算，创建4维时空1线矢可变轴矢系，并按相应的矢算，导出各种多线矢可变轴矢系。

首先，选定参考系原点A处，不变1线基矢系，(不变1线基矢系A)。于是，在该参考(包括非惯性牵引运动)系内其它任何一点X处的可变1线基矢系，

(可变1线基矢系X) =(1线矢矩阵C(XA) (不变1线基矢系A)); 并有：

(不变1线基矢系A) =(1线矢矩阵C(AX) (可变1线基矢系X)),

即：(可变1线基矢x) ={C(XA,xa) (不变1线基矢a)} a=0到3求和, x=0,1,2,3；

(不变1线基矢a)={C(AX, ax) (可变1线基矢x)} x =0到3求和, a =0,1,2,3，

   C(XA,xa), C(AX, ax)分别是1线矢矩阵(1线矢矩阵C(XA)，(1线矢矩阵C(AX)的各相应矩阵元，它们都是两参考系间牵引位置1-线矢各方向余弦的函数。并有：

{ C(XA,xa) C(AX, a’), a=0到3求和}=1(x=x’);

=0(x不=x’)。

(1线矢矩阵C(XA)与(1线矢矩阵C(AX)互为转置逆矩阵，具体表达(可变1线基矢系X)、(不变1线基矢系A)间的偏转情况。

在(不变1线基矢系A)观测(可变1线基矢系X)、(不变1线基矢系A)间牵引位置1-线矢：

1线矢r(XA)=(1线矢r(A))=r(XA)(单位1线矢A)=r(A)(单位1线矢A)

={r(A,a)(1线矢r(A,a)), a=0到3求和},

 模长，r(XA)= r(A)=({r(A,a)^2, a=0到3求和})^(1/2),  r(A,0) =ict(a),

(1线矢r(A))的各方向余弦为：r(A,a)/ r(A), a=0, 1, 2, 3,

1线矢A(X)={A(X,x)(1线基矢(X,x)), x=0到3求和}

=1线矢A(A)={A(A, a)(1线基矢(A,a)),a=0到3求和},

A(X,x)={C(XA,xa) A(A,a), a=0到3求和}, x=0,1,2,3,

A(A,a)={C(AX, ax) A(X,x), x =0到3求和}, a =0,1,2,3,

位置1-线矢:

(1线矢r(X))={r(X,x)(1线基矢(X,x)), x=0到3求和}

=(1线矢r(A))={r(A,a(1线基矢(A,a)), a=0到3求和},

r(X,x)={C(XA,xa) r(A,a), a=0到3求和}, x=0,1,2,3,

r(A,a)={C(AX, ax) r(X,x), x =0到3求和}, a =0,1,2,3,

r(X,0) = i ct(X),  r(A,0) = i ct(A),  i=(-1)^(1/2),

以上关系，可以推广到任意n维的多线矢。即：

(可变多线基矢(x)) ={C((X)(A),(x)(a)) (不变多线基矢(a), (a)= (a)1到(a)n求和}；

(x)= (x)1到(x)n ,

(不变多线基矢系(A)) =(多线矢矩阵C((A) (X)) (可变多线基矢系(X));即：

(不变多线基矢(a))={C((A)(X), (a)(x)) (可变多线基矢(x)), (x) =(x)1到(x)n求和};

(a) =(a)1到(a)n，

C((X)(A),(x)(a)), C((A)(X), (a)(x))分别是n维多线矢矩阵(多线矢矩阵；C((X)(A)), (多线矢矩阵C((A) (X)) 互为转置逆矩阵的各相应矩阵元，具体表达(可变多线基矢(x))、(不变多线基矢(a))间的偏转情况。

(多线矢(A)((X))) ={(A)((X),(x))(多线基矢((X),(x))), (x) =(x)1到(x)n求和},

=(多线矢(A)((A))) ={(A)((A),(a))(多线基矢((A),(a))), (a) =(a)1到(a)n求和},

(A)((X),(x))={C((A)(X), (a)(x)) (A)((A),(a)), (a)= (a)1到(a)n求和},

(A)((A),(a)) ={C((X) (A), (x) (a)) (A)((X),(x)), (x)= (x)1到(x)n求和},

5．时空多线矢的解析矢算 (注意不变系与可变系的区别！)

（1）4维时空各基矢的微分、时间导数、偏微分

各不变1线基矢(不变1线基矢a)的微分、时间导数、偏微分均=0。

对于可变基矢系：

1线基矢：

d(可变1线基矢x) ={dC(XA,xa) (不变1线基矢a), a=0到3求和}

={dl(A,a’)(偏微(A,l(a’)) C(XA,xa)) (不变1线基矢a),a,a’=0到3求和}

=-{dl(A,a’)w(Ax’xa’) (可变1线基矢x’), x’,a’=0到3求和}, x=0,1,2,3,

w(Ax’xa’)={(偏微(A,l(a’)) C(XA,xa)) C(AX, ax’), a=0到3求和}，是时空联络系数(Riemann-Christoffel符号) 因而，具体表达了弯曲时空的基本特性。并有：

‘{( dC(XA,xa))C(AX, ax’)+C(XA,xa)(d C(AX, ax’)), a=0到3求和}=0。

w(Ax’,xa’)=- w(Ax,x’a’),

(偏微(A,l(a’) (可变1线基矢x)={w(Ax’,xa’)可变1线基矢x’,x’=0到3求和}, x=0,1,2,3,

偏分1线矢：(偏分1线矢(X,x) ={(可变1线基矢x) (偏微(X,r(x)), x=0到3求和},

d (可变1线矢r) =[dr(X,x) (可变1线基矢x), x=0到3求和},

dU={dr(X,x) (偏微(X,r(x))U, x=0到3求和},  

d=d (可变1线矢r)点乘(偏分1线矢(X,x),

2线基矢：

d(可变2线基矢xy)=(d(可变1线基矢x))叉乘(可变1线基矢y)

+(可变1线基矢x)叉乘(d(可变1线基矢y))

=-{dl(A,a’w(Ax’,xa’) (可变1线基矢x’), x’,a’=0到3求和}叉乘(可变1线基矢y)

‘‘-(可变1线基矢x)叉乘{dl(A,a’)w(Ay’,ya’) (可变1线基矢y’), y’,a’=0到3求和}

=-{dl(A,a’) (w(Ax’,xa’) (可变2线基矢x’y)

+w(Ay’,ya’) (可变1线基矢xy’)), x’,y’,a’=0到3求和}。

d(可变2线基矢xy)/dt(X)

=-{(dt(A)/dt(X))(d l(A,a’)/dt(A)) (w(Ax’,xa’)(可变2线基矢x’y)

+w(Ay’,ya’) (可变1线基矢xy’)), x’,y’,a’=0到3求和}。

(偏微(A,l(a’)) (可变2线基矢xy)

={w(Axy,x’y’a’)(可变2线基矢x’y’), x’y’=01,02,03,23,31,12求和}

,xy=01,02,03,23,31,12,

w(Axy,x’y’a’)=w(Ax,x’a’) +w(Ay,y’a’), a’=0,1,2,3, xy,x’y’=01,02,03,23,31,12,

（2）4维时空各类任意多线矢的微分、时间导数、偏微分

对于不变系：

d(1线矢A[A]) ={dA(A,a) (1线基矢(A,a)), a=0到3求和}。

d(1线矢A[A])/dt[A] ={dA(A,a) /dt[A] (1线基矢(A,a)) a=0到3求和}。

d(2线矢AB[A])={d(AB(A,0j)(2线基矢(A0j))

+d(AB(A,kl) (2线基矢(Akl)), jkl=123循环求和}。

…   …   …

d(22线矢AB,CD[A])={d (AB,CD(A,(0k,0l))(22线基矢(A,(0k,0l)))

+d(AB,CD(A,(0j, k l))(22线基矢(A,( 0j, k l)))

+d(AB,CD(A,(0k, k l))(22线基矢(A,( 0k, k l)))

+d(AB,CD(A,(0l, k l))(22线基矢(A,( 0l, k l)))

+d(AB,CD(A,(jk, k l))(22线基矢(A,( jk, k l)))

, jkl=123循环求和}。  

d(22,1线矢(AB,BC)D[A])={d((AB,BC)D(A,(0k,0l)j))(22,1线基矢(A,( 0 k,0 l)j))

+d((AB,BC)D(A,(0k,kl)j))(22,1线基矢(A,( 0k, k l)j))

+d((AB,BC)D(A,(0l,kl)j))(22,1线基矢(A,( 0l, k l)j))

+d((AB,BC)D(A,(jk,kl)0))(22,1线基矢(A,(jk, k l)0j))

,jkl=123循环求和}。

… …   …

对于可变系：

d(1线矢A[X]) ={dA(X,x)(1线基矢(X,x))+A(X,x) d(1线基矢(X,x)), x=0到3求和}

={dA(X,x)(1线基矢(X,x))-A(X,x){dl(A,a’)w(Ax’,xa’)(1线基矢(x,x’))

, a’ x’=0到3求和}, x=0到3求和}

={dA(X,x)(1线基矢(X,x))+A(X,x){dl(A,a’)w(Ax,x’a’)(1线基矢(X,x’))

, a’,x’=0到3求和}x=0到3求和}

={dA(X,x)W(A(X,x))(1线基矢(X,x)), x=0到3求和}。

W(A(X,x))=1+{A(X,x’) dl(A,a’)w(Ax,x’a’)/d A(x,x), a’,x’=0到3求和}。

d(2线矢AB[X]) ={d(AB(X,0j) W(AB(X,0j))(1线基矢(X,0j)

+d(AB(X,kl) W(AB(X,kl)) (1线基矢(X,kl), jkl=123循环求和}。

W(AB(X, xy))=1+{{(AB(X,x’y’)) )w(ABxy,x’y’,a’), x’y’=01,02,03,23,31,12求和}

dl(A,a’), a’=0到3求和}/dAB(X,xy),  

w(ABxy,x’y’,a’)=w(ABxy,x’y,a’)+w(ABxy,xy,a’)。

d(22线矢AB,CD[X])={d(AB,CD(X,0k,0l)W(AB,CD(X,0k,0l))(1线基矢(X,0k,0l)

+d(AB,CD(X,0j,kl)W(AB,CD(X,0j,kl))(1线基矢(X,0j,kl,)

+d(AB,CD(X,0j,kl)W(AB,CD(X,0j,kl))(1线基矢(X,0j,kl,)

+d(AB,CD(X,0k,kl)W(AB,CD(X,0k,kl))(1线基矢(X,0k,kl,)

+d(AB,CD(X,0l,kl)W(AB,CD(X,0l,kl))(1线基矢(X,0l,kl,)

+d(AB,CD(X,jk,kl)W(AB,CD(X,jk,kl))(1线基矢(X,jk,kl,)

, jkl=123循环求和}。

W(AB,CD(X,xy,us)) =1+{{(AB,CD(X,x’y’,u’s’) w(AB,CDxy,us,x’y’,u’s’,a’) dl(A,a’)

, x’y’u’s’=0102,0203,0301,0123,0131,0112,0223, 0231,

                           0212,0323,0331,0312,2331,3112,1223求和}

, a’=0到3求和}/d(AB,CD(X,xy,us)。

w(AB,CDxy,us,x’y’,u’s’,a’)=w(AB,CDxy,us,x’y,us,a’)+w(AB,CDxy,us,xy’,us,a’)

‘+w(AB,CDxy,us,xy,u’s,a’)+w(AB,CDxy,us,xy,us’,a’)。

 …   …   …

d(22线矢(AB,BC)D[X])

={d((AB,BC)D(X(0k,0l)j)) W((AB,BC)D(X(0k,0l)j))(1线基矢(X,(0k,0l)j)

+d((AB,BC)D(X(0k,kl)j)) W((AB,BC)D(X(0k,kl)j))(1线基矢(X,(0k,kl)j)

+d((AB,BC)D(X(0l,kl)j)) W((AB,BC)D(X(0l,kl)j))(1线基矢(X,(0l,kl)j)

d((AB,BC)D(X(jk,kl)0))W((AB,BC)D(X(jk,kl)0))(1线基矢(X,(jk,kl)0)

, jkl=123循环求和}。

W((AB,BC)D(X(0k,kl)j))

1+{{(AB,BC)D(X(xy,yu)s)w((AB,BC)D(xy,yu)s(x’y’,y’u’)s’,a’) dl(A,a’)

, (x’y’y’u’)s’=(0102)3(0203)1(0301)2(0112)3(0131)2(0223)1

(0212)3(0331)2(0323)1(2331)0(3112)0(1223)0求和}

, a’=0到3求和}/d((AB,BC)D(X(xyy,u)s)。

w((AB,BC)D(xy,yu)s(x’y’,y’u’)s’,a’)

=w((AB,BC)D(xy,yu)s(x’y,yu)s,a’)+w((AB,BC)D(xy,yu)s(xy’,yu)s,a’)

+w((AB,BC)D(xy,yu)s(xy,y’u)s,a’)+w((AB,BC)D(xy,yu)s(xy,yu’)s,a’)

+w((AB,BC)D(xy,yu)s(xy,yu)s’,a’)。

类似地，可导出其它的高次、线多线矢的微分、时间导数、偏微分，和相应各种积分，以及各矢量场的梯度(偏微矢r (X)) U(X)、散度(偏微矢r (X)) 点乘 (矢A(X))、旋度(偏微矢r (X)) 叉乘 (矢A(X))等等物理量。

以及黎曼时空的度规张量、曲率张量等表达式。

并可具体证明、判定：牵引运动系是惯性的(平直时空) 或非惯性的 (弯曲时空)。

6．结论

这样，就从4维时空可变系1-线矢出发，具体创新地导出了各种客观存在，必需计及的，相应4维时空可变系多线矢、纤维丛矢和相应的矢量场。它们分别都是相应的整体矢量，都有各自不同的整体运动变化规律和矢量结构特性。它们既能具体反映非惯性牵引运动系的时空弯曲特性；又能作连续演绎的矢量运算。

它们既包括，又远比通常的3维矢量和矢算复杂、丰富得多，而且都是]通常的3维矢量和矢算又无法表达和解决的！

而通常采用的张量，P-形式，Vierbein，或由“点集符号”，“纤维丛”等表达相应的流形等，对于这各种高次、线 (包括2-线) 的物理量多线矢、纤维丛矢和矢量场，也都仅能形式地表达其各相应分量“模长”的集合，或它们间变换矩阵的各“元”。狄拉克 (P.A.M.Dirac) 的基矢量 (左、右矢) 也只相当于某种多线矢和相应的倒易矢，都没能表达它们各分量与各相应1-线轴矢间的矢量结构和方向关系，都未能确切, 整体，矢量地表达它们。

而且通常的3维矢算也已不适用于4维时空各高次、线 (包括2-线) 多线矢和矢量场。

特别是，非惯性牵引运动系各类多线矢的微分、偏微分还都与时空联络系数(黎曼-克利斯托夫(Riemann-Christoffel)符号) 有关，且各有确定的不同取向的相应组分。

通常使用张量的“缩并”和“反对称化”，以及“外积”、外微分等也都不能确切地进行4维时空各类多线矢和矢量场间统一的，连续、演绎的，代数和解析矢算。

   广义相对论虽已认识到非惯性系的时空弯曲特性，但因通常不变系的矢量已不能用，又没有时空的可变系，就只能采用在3维空间已有的曲线坐标，由适当的度规张量，使用张量的“缩并”和“反对称化”，以及“外积”、外微分等唯一处理引力的某些问题。而对于电磁力和强力、弱力等等问题都不能确切解决。

因此，为了在这一层次，研讨各种客观实际问题，就必须如上以4维时空可变系位置1-线矢作为基本矢量，按通常矢量空间理论，适应4维时空多线矢的结构特性，创新建立相应的代数和解析矢算法则得到各次、线的多线矢和纤维丛矢。

它们的各轴矢是由相应各1-线轴矢，按相应的矢量结构组成，并相应地决定其维数和方向。

各种多线矢的代数 (和、差，叉、点乘，倒易矢,…,等) 和解析 (微分、偏微分、积分，梯度、散度、旋度,…,等) 矢量运算就是它们的矢算。

形成了一整套统一的，适用于可变系时空各类多线矢的，可连续演绎运算的，矢算工具。

能统一表达、研讨，具体判断、区分，惯性与非惯性牵引运动，欧几里德和黎曼时空，的各种运动特性和规律。

用以表达并研讨包括现有理论尚未能解决的，各种已知客观存在的，有关实际问题，从而发展了相应的形与数的数学。