证明不可能有“无限长度的素数等差数列”

中国科学院  力学研究所  吴中祥

                         提          要

创建了判断素数的简便方法，用以探究是否能有“任意长度的素数等差数列”？结果表明：不可能有。

关键词：素数，等差数列，任意长度

用素数构成的等差数列被称为素数等差数列。

2004年4月18日，陶哲轩和格林两人宣布：他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”。

但是，不知他们是怎么证明的，且证明太繁复，长达50页，又没能给出具体实例。

创建了判断素数的简便方法，用以探究是否能有“任意长度的素数等差数列”？  即：

所有的偶数都可被2整除，就不是素数，因此：

末位数为：2、4、6、8、0，的任何整数，就都不是素数。

末位数不是：2、4、6、8、0，的任何整数，就可能是素数。

5与任何数相乘，其末位数必为：5或0，因此：

末位数为：5和0的任何整数，就都不是素数。

末位数不是：5和0的任何整数，就可能是素数。

对于末位数为：1、3、7、9的任何整数，则：

3与任何数相乘，其各位数之和，都必可被3整除，就不是素数，因此：

各位数之和可以被3整除的整数，就都不是素数。

各位数之和不可被3整除的整数，就可能是素数。

若不能被3整除：

且其各位数都是7，可被7整除，就不是素数。

且其各位数不都是7，不可被7整除，就可能是素数。

若其各位数不都是7，而末位数为7，则，去掉其末位数后，减2，如前，判断其是否能被9或3整除；若能，该整数就能被9或3整除，若不能，其末位数，又为7，则重复如上做法；直到最后只剩下2位数，若=27，则该整数就能被3或9整除，就不是素数。

若以上各种情况，都不成立，

且其末位数为3，则，去掉其末位数后，减6，如前，判断其是否能被 7或9整除；若能，该整数就能被7或9整除，若不能，其末位数，又为3，则重复如上做法；直到最后只剩下2位数，若=63，则该整数就能被7或9整除，就不是素数。

若以上各种情况，都不成立，

且其末位数为9，则，去掉其末位数后，减4，如前，判断其是否能被 7整除；若能，该整数就能被7整除，若不能，其末位数，又为9，则重复如上做法；直到最后只剩下2位数，若=49，则该整数就能被7整除，就不是素数。

若以上各种情况，都不成立，

且其末位数为1，则：

去掉其末位数后，减2，判断其是否能被3或 7整除；若能，该整数就能被3或7整除，若不能，其末位数，又为1，则重复如上做法；直到最后只剩下2位数，若=21，则该整数就能被3或7整除，就不是素数。

若以上情况都不成立，就可能是素数。

而且，对于高位数的整数，还必须考虑到是否能被更高位数的素数整除，例如：

末位数=1的   221  可被  13，17 整除；

末位数=3的   553   可被  29，17 整除；

末位数=7的   187   可被  11，17 整除；

末位数=9的   2299  可被  11,19   整除；等等，都须具体判定。

正因以上方法尚未解决判定是否能被大于11的各素数整除，就必须限制于整数小于121，才能得出：

任何整数，只要以上各种情况，有任何一种成立，就不是素数，如果所有情况都不成立，就必是末位数=1，3，7，9的素数。

虽然，还可以给出更多的条件，增大必须限制小于的数值，但是，这个数值不可能无穷大。

   对于素数数列，就必须其各项都是素数。因而：

j(m,s,t) = j(m)+ r(m, s,t)，当r(m,s,t)=2ts，

   对于，确定的m和s，t=0,1,2,…,t为止，当下式

j(m,s,t)= j(m)+2ts，都能满足，

j(m, s,t)就是，也才是：j(m)为初项，2s为差值的共t+1项的素数等差数列。

  由于所有的素数都只是其末位数是1、3、7、9的整数，要得到t为任意值，的素数数列，其差值2s就必须保证任意t的各项的末位数都是1、3、7、9的整数，这只有使s含有5的倍数，才有可能，而且，由于t的逐个增加，每隔2次，2st的各位数之和必然能被3整除，如果初项j(m) 的末位数为3或9，隔2次就必然会被3整除而不是素数。

因而，仅当选取s=15n；n为任意正整数，j(m) 的末位数为7或1，则2st=30nt的末位数都为0，任意t项的末位数都为7或1，都可能是素数，2st=30nt的各位数之和都=3，而j(m)是素数，不可能被3整除，对于任意的t，j(m,s,t+1)也不可能被3整除。

且当j(m,s,0)=j(m)的末位数=7，则对于任意的t，j(m,s,t+1)的末位数也必然=7，就可以肯定它们都不能被2、4、6、8、0，和5，整除。

而且，只要j(m)的各位数中，不存在4，和在任意的相邻2位，不存在56，

或65，则，增加2st=30nt，t是任意大的正整数，就都不会使其各位数都=7，

而且，任何素数的乘积，除了7乘11=77而外，也都不会使其各位数都=7，

因而，以上的各种情况，必然都不能被7整除。

由此可见，当取s=15n；n为任意正整数，j(m)的末位数=7，且大于77，并且各位数中，不存在4，和在任意的相邻2位，不存在56，或65，

且其各位数都是7，可被7整除，就不是素数。

且其各位数不都是7，不可被7整除，就可能是素数。

若其各位数不都是7，而末位数为7，则，去掉其末位数后，减2，如前，判断其是否能被 9或3整除；若能，该整数就能被9或3整除，若不能，其末位数，又为7，则重复如上做法；直到最后只剩下2位数，若=27，则该整数就能被3或9整除，就不是素数。

只有以上情况都不成立，才可能是素数。

而且，即使以上情况都不成立，还需要j(m,s,t)= j(m)+2ts；t=1，2，…，到任意大的正整数，都不是末位数=9和3，或=7和1的，素数的乘积，才能得到各种可能的“无限长度的素数等差数列”。

而对于足够大的素数，末位数=9，3，7或1的很多，j(m,s,t)=j(m)+2ts；t=1，2，…，到任意大的正整数，都不是末位数=9和3或=7和1的，素数的乘积，是根本不可能的。

且当j(m,s,0)=j(m)的末位数=1，则对于任意的t，j(m,s,t+1)的末位数也必然=1，就可以肯定它们都不能被2、4、6、8、0，和5，整除。

当取s=15n；n为任意正整数，j(m)的末位数=1，则：

去掉其末位数后，减2，如前，判断其是否能被 7或3整除；若能，该整数就能被7或3整除，若不能，其末位数，又为1，则重复如上做法；直到最后只剩下2位数，若=21，则该整数就能被3或7整除，就不是素数。

或去掉其末位数后，减8，如前，判断其是否能被9整除；若能，该整数就能被9整除，若不能，其末位数，又为1，则重复如上做法；直到最后只剩下2位数，若=81，则该整数就能被9整除，就不是素数。

只有以上情况都不成立，才可能是素数。

而且，即使以上情况都不成立，还需要j(m,s,t)= j(m)+2ts；t=1，2，…，到任意大的正整数，都不是末位数=7和3，或=9和9的，素数的乘积，才能得到各种可能的“无限长度的素数等差数列”。

而对于足够大的素数，末位数=9，3，7或1的很多，j(m,s,t)=j(m)+2ts；t=1，2，…，到任意大的正整数，都不是末位数=7和3或=9和9的，素数的乘积，是根本不可能的。

而且，也没有任何其它的选取，能够得到“无限长度的素数等差数列”。

   因而，不可能有“无限长度的素数等差数列”。