简单介绍、全面证明“歌德巴赫猜想”，研究、发展数论

中国科学院力学研究所吴中祥 

                                                提                        要

    本文全面、具体地简单概括了“哥德巴赫(Goldbach)猜想”的基本内容、已有的主要证明方法，及其主要进展、和存在的困难和问题。

给出了1个表达并确定各素数的序数、数值和变化规律的简便方法，简单、确切地全面证明了“歌德巴赫猜想”，并全面研究、发展，素数、数论和解析数论。

1.      什么是哥德巴赫(Goldbach)猜想？它要求证明什么？

 哥德巴赫在1742年致信欧拉(L.Euler)，提出证明猜想(A)：“每个等于或大于7的奇数都能写成3个素数之和”欧拉回信指出，为了解决这个问题，只须证明猜想(B)：“每个等于或大于6的偶数都能写成2个素数之和”，对就是所谓“歌德巴赫猜想”(A)和(B)。也就是它要求证明的内容。

2．现有证明“歌德巴赫猜想”的主要方法

所谓“歌德巴赫猜想”(A)和(B)都只是奇数、偶数与素数关系的，看来很简单的问题，而许多数学家为证明它，却做了200多年长期的努力，虽已取得很大进展并推动了整个解析数论的发展，但是，这个猜想至今仍然未被完全证明。

它为什么如此难以证明呢？

纵观对此问题的研究现况，关键在于数学家们考虑到： 

每个自然数, n, 除1而外，都可表达为： n= p(1)^a(1) p(2)^a(2)…p(k)^a(k),  其中，p(1)<p(2)<…<p(k), 是顺序增大的素数，  a(1),a(2) ,…, a(k)等于或>0, 的指数，但各个素数却很难由自然数或整数的简单表达式表达。

1918年G. H. Hardy, 和 s. Ramanujan, 采用一个由p从2到n求和2iknp的指数函数S(k,n)， 其中k是0到1的变量，而在自然数, n, 和素数, p, 间建立起联系，因2iknm的指数由k从0到1的积分=1(m=0);  0(m不=0), 其中m为任意整数，因而， 方程n=p(1)+ p(2)中,  p(1), p(2)大于或等3的解数为： D(n)=在上述积分的核乘以S (k, n) 的平方; 方程n=p + p + p 中, p , p , p 大于或等3的解数为：T(n)= 在上述积分的核乘以S (k, n) 的立方，

这样：

证明猜想(A)，就只要证明：对于偶数的n大于或等于6；D(n)大于0。

证明猜想(B)，就是要证明：对于奇数的n大于或等于9；T(n) 大于0。

因而，证明Goldbach猜想,就只须计算积分D(n)，T(n)，

     这就是Hardy - Littlewood - Ramanujan圆法的基本思想，它确定了证明“歌德巴赫猜想”的重要研究方向。

3．迄今的主要进展，但仍未全面完成的困难和问题

   但是，计算积分D(n)，T(n)，也并不容易，一些学者创造、发展、简化、和证明了估算S(k, n)的方法和公式，它对于研究猜想(B)是很成功，而对于研究猜想(A)却收效甚微。

为了化解证明猜想(A)的困难：人们采用首先证明，

“每个充分大的偶数是不超过a个素数的乘积和不超过b个素数的乘积之和” (即所谓：命题{a, b}或“a + b” ), 其中a, b, 是正整数，

当使a, b,逐步递减为1，命题{1,1}，即所谓：“1+1”, 就是猜想(A)。

一些学者采用不断改进的”筛法”， 即：对其中的积分函数相应作某些改进，或改为某种相应合用的极限求和，例如：某种pai函数、lin函数，等等，使a, b, 逐渐减小的命题{a, b}得到了证明，

我国数学家陈景润1966年宣布证明了命题{1,2}(即所谓：“1+2” )，1973年发表了命题{1,2}的全部证明，这就距歌德巴赫猜想的最终解决，仅“1”之差，但仍未全面完成，人们甚至尚不能肯定沿用现有的方法是否确能最终解决。

其实，哥德巴赫猜想原命题(A)、(B)，都分别只是要证明：等于或大于6的任意偶数；都能表达为2个素数之和，以及，等于或大于7的任意奇数；都能表达为3个素数之和，。并没有任何更多的要求，实际上，它只是关于奇数、偶数与素数关系的初等问题。

而“圆法”，和相应的“筛法”却要由素数的指数乘积的指数函数的积分，这样复杂折腾的方法，来解决。虽然在发展数论，特别是解析数论，方面起了积极的推动作用。但是，却把这个简单的问题作了自讨麻烦地，过分复杂化的处理。

当然，这种方法，及其改进型，对于进一步证明哥德巴赫猜想、发展解析数论，仍不失为一种研究方向和数学分支。而且，由于快速计算机的迅猛发展，这类复杂函数的积分或极限求和的计算，已远比40-50年前，容易得多。甚至当年条件下，不可能完成的计算，也不必像陈景润当年那样，用大量稿纸进行推导、计算，就能实现。因而，仍不失为一种可行的方法。

但是，有些人，甚至有关的专家，却把证明哥德巴赫猜想原命题，局限于创造、发展、简化、估算，S(k, n)的方法和公式，发展圆法和相应筛法基础上的解析数论方法。乃至，背离证明哥德巴赫猜想的具体目标，片面追求用某种积分函数或极限求和，全面概括 在“圆法” 基础上的各类“筛法”， 全面掌握素数的分布，及其与其它数列的相互关系。甚至认为，这是证明哥德巴赫猜想的必经步骤，和终极结果，而毫无根据地排斥、否定其它方法。

    甚至，认为，此法不通，就无法解决。乃至多方阻止对它的研究、探讨。

4.表达并确定各素数的序数和数值的简便方法

其实，各个自然数, n, 根本无需采用顺序增大的素数来表达，更无需用复杂的所谓“圆法”和相应“筛法”来联系素数、奇数和偶数，而是：

只需由各个自然数的顺序，n，就能确定其数值，n。

“偶数”或“奇数”，是由可被或不可被“2”整除，而区分的两类整数。

因而，也可采用整数，m，为序，以，2m，顺序表达各“偶数”；以2m+1顺序表达各“奇数”，并确定其数值。

而“素数”或“合数”，是由除“1”和其自身外，可被或不可被任何整数整除的整数，所区分的两类整数，虽不能简单地顺序确定其数值，但是，按素数“除“1”和其自身外，不可被任何整数整除”的定义，就有，各素数都有不能被，小于它的所有素数，整除，的基本特性。而可采用：

整数，m，以表达各“素数”j(m)的顺序.而由j(m)/j(m-k); k=0，1,2,…,m-1,都不是整数，判定j(m)是素数。

就完全可以：对j(m)逐次+2，直到j(m)+2s时，(j(m)+2s)/j(m-k); k=0，1,2,…,m-1,都不是整数，就可以判定j(m)+2s是j(m+1)。

   就可以按序，m，列表，具体确定各个素数，j(m)，的数值，并可以确定，

r(m,1)=j(m+1)-j(m)，例如：

m     　1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15 ………

j(m)  　2  3  5  7  11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 ………

r(m,1)　1　2　2　4　2　4　2　4　6　2　6　4　2　4　………

2006年1月4日，美国密苏里州堪萨斯城官员宣布：

2005年12月中旬，史蒂文·布恩领导的的美国密苏里州立中央大学研究小组和数学教授柯蒂斯·库珀，花了多年时间给700部电脑编程，得出迄今最大素数：它有910万位，被称为梅森数M30402457，即：2^(30402457)-1。

“梅森数”即：MP=2^P-1，其中P是素数。但需注意并非所有的“梅森数”都是素数！

德国《焦点》周刊网站2008年9月16日报道：

美国洛杉矶以加州大学的埃德森。史密斯为首的研究小组，2008年8月23日，发现的梅森数M43112609，即：2^(43112609)-1。超过了1200万位。

国际素数搜索项目“互联网梅森素数大搜索（GIMPS）”经复核验算证实这两个数都是素数。

当然，也完全可以具体确定所有素数，j(m)，的数值，j(m)，和序数，m。

5.“歌德巴赫猜想”的简单、确切全面证明

   采用如上方法表达和确定素数的数值和序数，就有：

除j(1)=2，为“偶数”外，所有的j(m)； m>1，的“素数”，都是“奇数”。

而且，所有的“偶数”+“偶数”=“偶数”，所有的“偶数”+“奇数”=“奇数”，所有的“奇数”+“奇数”=“偶数”，

因而，对于正实整数(也适用于负实整数或正负虚整数)，就已能容易地，简单、直接、完全证明：

“除2以外，的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”，或=3个“奇数”相加”，还可以扩展为：“除2以外，的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”，或=奇数个“奇数”相加。

而且，

偶数6=j(2)+j(2)，而对于大于6的所有偶数，

当偶数2m=j(m-s)+j(m-s‘)；s，s’=0，1,2,…,或m-1, 则按素数的基本特性，j(m)/j(m-k)；k=0，1,2,…,m-1,都不是整数，就可以判定，至少必有如下的1种情况是素数：

2(m+1)-j(m-k)=j(m+1-k‘)；k=0，1,2,…,或m-1。

如此逐次，增大 m，就证明了，大于6的所有偶数都至少有2个素数相加，等于它们

奇数7= j(1)+j(1)+j(2)，而对于大于7的所有奇数，

当奇数2m+1=j(m-s)+j(m-s’)+j(m-s“)；s,s’，s“=0，1,2,…,或m-1, 则按素数的基本特性，j(m)/j(m-k)；k=1,2,…,m-1,都不是整数，就可以判定，至少必有如下的1种情况是素数：

2(m+1)+1-j(m-k)-j(m-k’)=j(m+1-k“) ；k,k’，k“=0，1,2,…,或m-1。

如此逐次，增大m，就证明了大于7的所有奇数都至少有3个素数相加，等于它们。

对于m>3 的任意偶数，2m，由下表具体分析，可知，例如：

m   2m   j(m)  j(m1)+j(m2)     m1    m2

2   4    3

3   6    5         3+3         2      2

4   8    7         3+5         2      3

5   10   11   3+7  5+5         2,3    4,3

6   12   13   5+7              2      4

7   14   17  3+11  7+7         2,4    5,4

8   16   19  3+13 5+11         2,3    6,5

9   18   23  5+13 7+11 、      3,4    6,5

10  20   29  7+13               4      6

11  22   31  3+19 5+17         2,3    8,7

12  24   37  5+19 7+17         3,4    8,7

13  26   41  3+23 7+19         2,4    9,8

14  28   43  5+23              3      9

15  30   47  7+23 11+19        4,5    9,8

对于m>3 的任意奇数，2m+1，由下表具体分析，可知，例如：

m  2m+1   j(m)  j(m1)+j(m2)+j(m3)         m1    m2     m3

2   5  3

3   7  5         2+2+3                     1      1     2

4   9  7         3+3+3                     2      2     2

5  11 11   2+2+7  3+3+5                    1,2    1,2   4,3

6  13 13   3+3+7  5+5+3                    2,3    2,3   4,2

7  15 17   3+5+7  5+5+5                    2,3    3,3   4,3

8  17 19   3+3+11 5+5+7 7+7+3              2,3,4  3,3,4  5,4,2

9  19 23   3+3+13 3+5+11 7+7+5             2,2,4  2,3,4  6,5,3

10 21 29   3+5+13 5+5+11 7+7+7             2,3,4  3,3,4  6,5,4

11 23 31   2+2+19 3+3+17 3+7+13            5+5+13 1,2,3 1,2,3 8,7,6

12 25 37 3+3+19 3+5+13 7+7+11 11+11+3      2,2,4,5 2,3,4,5 8,6,5,2

13 27 41 2+2+23 3+5+19 3+7+17 7+7+13 11+11+5 1,2,2,4,5 1,3.4,4,5 9,7,6,3

14 29 43 3+3+23 3+7+19 3+13+13             2,2,2, 2,4,6, 9,8,6

5+5+19 11+11+7               3,5    3,5    8,4

15 31 47 3+5+23 3+11+17 5+7+19 5+13+13     2,2,3,3 3,5,4,6 9,7,8,6

   也都给上述结论以具体验证。以此类推，m更大的任何偶数  和奇数的上述结论也都成立。

因而，对于，正实整数(也适用于负实整数或正负虚整数)，就已简单、直接地完全证明了：大于6的所有偶数都至少有2个素数相加，等于它们，或大于7的所有奇数都至少有3个素数相加，等于它们，的“歌德巴赫猜想”(A和B)。完全无需引进复杂复数积分的所谓“圆法”、和相应“筛法”而至今尚不能完全证明歌德巴赫猜想的复杂运算。

   特别是，分别给出了偶数，2m，和奇数，2m+1，随着m改变到m+1，由素数，j(m),、j(m-k)； k=0，1,2,…,k-1，表达的变化规律，对研究素数特性，乃至发展数论、解析数论，都有重要作用。

7.对素数其它有关特性的研讨

有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，就不仅能直接地完全证明歌德巴赫猜想(A和B)，而且，能全面研讨素数的各种特性，例如：

(1) 具体顺序表达各自然数、偶数和奇数

有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，就能由：

 素数j(1)^a(1) j(2)^a(2)…j(k)^a(k),  其中，k从1,2,…,s，s从2,3,…,任意大整数，指数，a(1),a(2) ,…, a(k)依次单独从1,2,…, s，=1，而其它指数均=0，直到往返重复s-1次，则，k=s从2,3,…,任意大整数，

或级数，J(s)

=j(1)^s,j(2)乘j(1)^(s-1)；j(1)^s+1,j(2)乘j(1)^(s-1)+1、

j(1)(j(1)^(s-1)+1),j(1)(j(2)乘j(1)^(s-j(1))+1)、

j(1)(j(1)^(s-1)+1)+1, j(1)(j(2)乘j(1)^(s-j(1))+1)+1、

j(1)^j(1)(j(1)^(s-j(1))+1), j(1)^j(1)(j(2)乘j(1)^(s-j(2))+1)

j(1)^j(1)(j(1)^(s-j(1))+1)+1, j(1)^j(1)j(2) (乘j(1)^(s-j(2))+1)+1、

… … …

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1), j(1)^(s-j(1))(j(2)乘j(1)+1)、

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1)+1, j(1)^(s-j(1))(j(2)乘j(1)+1)+1； s=1,2,…, (任意大的整数)。

就可依次顺序表达，除1外的全部自然数，n。

   类似地，

可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)…j(k)^a(k))或2J(s)表达，除2外的全部偶数，2n。

可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)…j(k)^a(k))+1或2J(s)+1表达，除1和3外的全部奇数，2n+1。

       (2) 任意2个素数的数值差

r(m,s)=j(m+s)-j(m)，除m=1；s=1时，r(1,1)=1，是奇数，而外，其他所有m大于1的r(m,s)，都是偶数。而有：

r(m,1)=j(m+1)-j(m)，

r(m+1,1)=j(m+2)-j(m+1)，

r(m+1,1)+ r(m,1)=j(m+2)- j(m)，

r(m,s)=j(m+s)-j(m)，

r(m+s,1)=j(m+s+1)-j(m+s)，

r(m+s,1)=j(m+s+1)- j(m) - r(m,s)，

j(m+s+1) =r(m+s,1) + r(m,s) + j(m)，

(3) 孪生素数

孪生素数是指差为2的素数对，即p和p+2同为素数。前几个孪生素数分别是：

（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。

100以内有8个孪生素数对；501到600间只有两对。随着数的变大，可以观察到的孪生素数越来越少。

2011年，人们发现目前为止最大的孪生素数共有20多万位数。但这个数后面再多找一对孪生素数都要花至少两年的时间。

几百年前就有无穷多个孪生素数的猜想，但至今人们都不知如何证明这个猜想。

2013年5月14日，《自然》在“突破性新闻”栏目里，宣布一个数学界的重大猜想被敲开了大门。

5月18日，《数学年刊》诞生了创刊130年来最快接受论文的纪录。

华人学者张益唐发表的题为《素数间的有界距离》的文章，证明了存在无数多个孪生素数对（p,q），其中每一对素数之距离，不超过七千万。

世界震动了！

5月20日，《纽约时报》大篇幅报道了这个华人学者的工作。

文中引用了刚刚卸任《数学年刊》主编职务的彼得·萨纳克的讲话：“这一工作很深邃，结论非常深刻。

”5月22日，老牌英国报纸《卫报》刊登文章，文章的标题是：鲜为人知的教授在折磨了数世纪数学精英的大问题上迈进了一大步。

印度主流报纸把作出这一非凡贡献的人，与印度历史上最伟大的天才数学家拉马努金相媲美。

存在无数多个素数对，其中每一对素数之差值，如何估算？

有了表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，这问题即：

当j(m+s)= j(m)+r(m,s)，j(m+s+1)=j(m+s)+2，r(m,s)=？

并有：j(m+s)/j(m+s-k); k=0，1,2,…,m+s-1,都不是整数，j(m+s+1)/j(m+s+1-k); k=0，1,2,…,m+s,都不是整数。

因此，即有：r(m,s) =j(m+s)-j(m)，  例如：

M=2，s=5 j(m)=3，j(m+1)=5，j(m+s)=11，j(m+s+1)=13，r(m,s)=8=j(m+s)-j(m)，

M=2，s=7 j(m)=3，j(m+1)=5，j(m+s)=17，j(m+s+1)=19，r(m,s)=15=j(m+s)-j(m)，

M=7，s=26 j(m)=17，j(m+1)=9，j(m+s)=101，j(m+s+1)=103，r(m,s)=86=j(m+s)-j(m)，

M=7，s=28 j(m)=17，j(m+1)=9，j(m+s)=107，j(m+s+1)=109，r(m,s)=92=j(m+s)-j(m)，等等。

显然，只要按表达并确定各素数的序数、数值和从m到m+1的变化规律的如上方法，确定了：j(m)，j(m+1)，j(m+s)，j(m+s+1)都是素数，而且，j(m+1)-j(m)=2，j(m+s+1)-j(m+s)=2，就可以由j(m+s)、j(m)或j(m+1+s)、j(m+1)的数值完全确定： r(m,s)=j(m+s)-j(m)，或r(m+1,s)=j(m+1+s)-j(m+1)，就不仅能估计r(m,s)或r(m+1,s)＜某数的范围，而是能完全确定r的具体数值。而j(m+s)、j(m)、j(m+1+s)、j(m+1)，都是有限的数值，当然，r(m,s)或r(m+1,s)就只是小于j(m+s) 或j(m+1+s)的有限数值。

类似地，还可研讨有关素数的更多特性。

8.对于复数的有关问题

复数A，A1+iA2，与相应的“共轭复数”A*，A1-iA2，相乘=相应的实数，A1^2+A2^2。复数A/复数B=(A1+iA2)/(B1+iB2)=(A1+iA2)(B1-iB2)/(B1^2+B2^2)

     =(A1B1-A2B2)+i(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)。

只有“复数”，F=F1+iF2，的实部与虚部，即：F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与

F2=(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)，都是整数，成为N=N1+iN2，才是整数，N。

只有“复数”，F=F1+iF2，的实部与虚部，即：F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)，除2都是整数，M=M1+iM2，才是偶数,以2M表达。

只有“复数”，F=F1+iF2，的实部与虚部，即：F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) 与F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)，除2都不是整数，M=M1+iM2，才是奇数,2M+1表达。

只有J(m)=J(m)1+iJ(m)2除以J(m-k)=J(m-k)1+iJ(m-k)2；k=1,2,…,m-1，的实部与虚部，即：

J’(m)1=(J(m)1J(m-k)1-J(m)2J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2) 与

J’(m)2=(J(m)2 J(m-k)1- J(m)1J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2)；k=1,2,…,m-1，都不是整数，才是“复数”素数，以J(m)=J(m)1+iJ(m)2，表达。

 因而，对于复数，要证明除2以外，的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”，或=3个“奇数”相加，或扩展为：“除2以外，的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”，或=奇数个“奇数”相加”，以及大于6的所有偶数都至少有2个素数相加，等于它们，的所谓：“歌德巴赫猜想”(A和B)，就都必需，也仅需，增加要求相应的各“复数”都满足以上的条件。否则，就不能证明。

   这也正是采用复数表达的“圆法”和相应的“筛法”的现有证法，不能最终证明，命题{1,1}，即所谓：“1+1”，的实质原因。

9．对解析数论的发展

   序数为从m到m+1的变量，x，的正实整数(也适用于负实整数或正负虚整数)，素数，j(x)，的微分，dj(x) ，按其基本性质，应是：

d(j(x)/j(x-k))=dj(x)/j(x-k)-j(x)dj(x-k)/j(x-k)^2，即应是：

dj(x)-j(x)dj(x-k)/j(x-k)；k=1,2,…,x-1,

序数为为从m到m+1的变量，x，的的复数素数，J(x)=J(x)1+iJ(x)2，的微分，dJ(x)=dJ(x)1+idJ(x)2，的

实部应是：

dJ(x)1=d((J(x)1J(x-k)1-J(x)2J(x-k)2)/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2))

     =(dJ(x)1J(x-k)1+J(x)1dJ(x-k)1+-dJ(x)2J(x-k)2--J(x)2dJ(x-k)2)

/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)

      -2((J(x)1J(x-k)1-J(x)2J(x-k)2)

        (J(x-k)1dJ(x-k)1+J(x-k)2dJ(x-k)2)

/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)^2；k=0，1,2,…,x-1,即应是：

(J(x-k)1^3+J(x-k)1J(x-k)2^2)dJ(x)1

-(J(x-k)1^2J(x-k)2+J(x-k)2^3)dJ(x)2

+(-(J(x)1J(x-k)1^2+(2J(x)2J(x-k)1+J(x)1J(x-k)2)J(x-k)2)dJ(x-k)1

+(-(2J(x)1J(x-k)2+J(x)2J(x-k)1)J(x-k)1+J(x)2J(x-k)2^2)dJ(x-k)2；k=0，1,2,…,x-1,

虚部应是：

dJ(x)2=d((J(x)2J(x-k)1-J(x)1J(x-k)2)/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2))

     =(dJ(x)2J(x-k)1+J(x)2dJ(x-k)1-dJ(x)1J(x-k)2-J(x)1dJ(x-k)2)

        /(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)

      -2(J(x)2J(x-k)1-J(x)1J(x-k)2)

        (J(x-k)1dJ(x-k)1+J(x-k)2dJ(x-k)2)

/(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)^2；k=0，1,2,…,x-1,即应是：

(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)J(x-k)1dJ(x)2

-(J(x-k)1^2+J(x-k)2^2)J(x-k)2dJ(x)1

+(-J(x)2J(x-k)1^2+(2J(x)1J(x-k)1+J(x)2J(x-k)2)J(x-k)2) dJ(x-k)1

+(-(2J(x)2J(x-k)2+J(x)1J(x-k)1)J(x-k)1+J(x)1J(x-k)2^2) dJ(x-k)2；k=0，1,2,…,x-1,

   这样，有了表达并确定各素数的序数、数值和变化规律的如上方法，就能，类似和利用现有的各种解析运算方法，分别由j(x)，的微分，dj(x) ，和复数素数，J(x)=J(x)1+iJ(x)2，的微分，dJ(x)=dJ(x)1+idJ(x)2，和x从m到m+1的积分，具体发展素数在的解析运算方法。

10,参考文献：

[1] 数学百科全书第二卷编委会 (顾问)苏步青等 (主任) 王元等科学出版社1994

[2] 歌德巴赫猜想潘承洞潘承彪科学出版社 1981

[3] 数论导引华罗庚科学出版社 1957

[4]“Asymptotic formula in combinatory analysis”,

     Hardy, G. H., Ramanujan, S., Proc. London Math. soc. (2) 17 (1918), 75-115.