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-1和任意正整数的任意n次根式

已有 1952 次阅读 2015-1-18 10:46 |个人分类:数理|系统分类:论文交流|关键词:-1和任意正整数的任意n次根式

-1和任意正整数的任意n次根式

 

中国科学院力学研究所吴中祥 

 

           

具体给出了仅由2次根式,表达-1和任意正整数的任意n次根式。由于-1的任意n次根式都能以-12次根式表达,才能,也即都能,以实数、虚数、复数表达,由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数表达,所有的无理数都才是,也只是,由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。

 

引言

   通常认为:任意n次代数方程,除常数项系数,a0,外,其它均为0,可得到其根式解为(-a0)^(1/n)。

但是,一般而言,任意负实数,-sn次根式,(-1)^(1/n) s^(1/n), 就产生了以(-1)^(1/n)所标志的各自与实数不同的数类。

n=2(-1)^(1/,2)就被定义为i,标志该数是所谓“虚数”。

但是,当n=2的其它数,只有分别得到含有(-1)^(1/n)(-1)^(1/2)的解后,才能得出(-1)^(1/n)(-1)^(1/,2)相应的复函数的相应组合

这就表明:如果在方程的变换中,出现n大于2的的(-1)^(1/n),就不能仅由实数、虚数,或复数而得解。实际上,含有-1的高于2次根式的解,并非确切的解

因而,只有仅引进2次的根式,解得任意n次不可约代数方程时,不致于产生-1的高于2次的根式,也才,可得到,能仅以实数、虚数或复数表达的确切的解。才能得到仅以实数、虚数或复数的相应组合表达-1的任意n次根式。

本文按“任意n次不可约代数方程仅引进2次根式的普遍公式解”具体给出仅以2次根式表达-1和任意正整数的任意n次根式。。

 

   因而,由于-1的任意n次根式都能以-12次根式表达,才能,也即都能,以实数、虚数、复数的相应组合表达,由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数的相应组合表达,所有的无理数都才是,也只是,由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。

 

1.(-1)^(1/2)

y^2=-1,  y=+,-(-1)^(1/2)=+,-i,

 

   即:(-1)^(1/2)可由+,-i,表达。

 

2. (-1)^(1/3)

y^3=-1, 它的3个根与系数间有如下关系式

y1+y2+y3=0 (1)   y1=-(y2+y3) (a’)

y1(y2+y3)+y2y3 =0,  (2)   y1y2y3+1=0  (3)

 

y1^3+1=0, 即是y1满足原方程 y1=(-1)^3 = -1(a)

   (1) (3)又有:

y2=(-y1+-(y1^2+4/y1)^(1/2))/2,y3=(-y1-+( y1^2+4/ y1)^(1/2))/2,

  (a)代入上2式,有:

(y2-1/2)^2=-1^2/4+1,即:y2^2-y2-1=0,  y2=1/2+,-i3^(1/2)/2,  (b)

(y3-1/2)^2=-1^2/4+1,即:y3^2-y3-1=0,  y3=1/2-,+i3^(1/2)/2,  (c)

 

   即:(-1)^(1/3)可由-1, 1/2+i3^(1/2)/2, 1/2-i3^(1/2)/2的复函数的相应组合表达。

 

3. (-1)^(1/4)

x^4+1=0引入函数y,并取:

(x^2+y)^2=x^4+2yx^2+y^2

将原方程改写为

(x^2+y)^2 -2yx^2 +1-y^2=0, 而有:

(x^2+y)^2=2yx^2 -1+y^2,

设当上式右边成为x函数的完全平方

2yx^2 -1+y^2=(c1x+c0)^2

(c1x+c0)^2=c1^2x^2+2c1c0x+c0^2,

c1^2= y, (1)  2c1c0=0(2)   c0^2=y^2-1, (3)

不能取y=0,由(2),有:c0=0          (a)

(3),有:            y=1,            (b)

(1),有:            c1=1            (c)

而原方程可表达为:(x^2+1)^2 = x^2,  即可分解为如下2个方程:

x^2+x+1=0,   x^2-x+1 =0,              (2.1.2)

分别求解这两个x2次方程,即得 4次方程(2.1.1)4个根

x1=-1/2+i(3/4)^(1/2), x2=-1/2- i(3/4)^(1/2),x3=1/2+ i(3/4)^(1/2),x4=1/2- i(3/4)^(1/2),

 

即:(-1)^(1/4)可由-1/2+ i(3/4)^(1/2),  -1/2- i(3/4)^(1/2),

                  1/2+ i(3/4)^(1/2),   1/2- i(3/4)^(1/2), 的复函数的相应组合表达。

 

4. (-1)^(1/6)

x^6+1=0,可表达为:(x^3+i)( x^3-i)=0, 即可分解为如下2个方程:

x^3+i=0,   x^3-i =0,  

y^3=+,-i,    (0)   3个根与系数间,分别有如下关系式

y1+y2+y3=0,   (1)  y1(y2+y3)+y2y3=0,  (2)  y1y2y3+,-i=0 (3)

y1^3+,-i=0, 即是y1满足原方程, 得到:y1=(-1)^3 = -,+i(a)

(1) (3)又有:

y1=-(y2+y3)y2y3 =-,+i /y1(y2+y3)^2=y1^2(y2-y3)^2=y1^2 +,-i4/y1

y2-y3= +,-(y1^2 +,-i4/y1)^(1/2)

y2=(-y1+-(y1^2+,-i4/y1)^(1/2))/2,  y3=(-y1-+( y1^2+,-i4/ y1)^(1/2))/2,

  (a)代入上2式,有:

y2=(+- i +-3^(1/2))/2,  (b)  y3=(+- i -+3^(1/2))/2,  (c)

 

即:(-1)^(1/6)可由+ i, - i, (+i +3^(1/2))/2, (+i -3^(1/2))/2,

                      (-i +3^(1/2))/2, (-i -3^(1/2))/2, 的复函数的相应组合表达。

 

5.(-1)^(1/5)

x^5 +1=0,  其中1个根,例如x5=-1

消去其中1个根,例如x5,即得:其它4个根,满足4次方程:x^4+1=0,  (¡)

仅需引进2次根式,即可解出4次方程,(1)的各个解,也即是此5次方程xjj=1,2,3,44个解。即有:

x1=-1/2+i(3/4)^(1/2),  x2=-1/2-i(3/4)^(1/2),  x3=1/2+ i(3/4)^(1/2),  x4=1/2- i(3/4)^(1/2),

 

即:(-1)^(1/5)可由 -1, -1/2+ i(3/4)^(1/2),  -1/2- i(3/4)^(1/2),

                     1/2+ i(3/4)^(1/2),   1/2- i(3/4)^(1/2), 的复函数的相应组合表达。

 

6.(-1)^(1/7)

x^7+ 1=0, 其中1个根,例如x7=-1

消去其中1个根,例如x7, 即得:其它6个根,满足6次方程:x^6+1=0,  (¡)

仅需引进2次根式,即可解出6次方程,(1) x的各个解,,也即是此7次方程xjj=1,2,3,4,5,66个解。

y1,y2=(-1)^3= -,+iy3,y4=(+- i +-3^(1/2))/2,  y5,y6=(+- i -+3^(1/2))/2,

 

即得:(-1)^(1/7)可由 -1, + i, - i, (+i +3^(1/2))/2, (+i -3^(1/2))/2,

                        (-i +3^(1/2))/2, (-i -3^(1/2))/2, 的复函数的相应组合表达。

 

以此类推,-1的任意n次根式都可以具体给出用相应的实数、虚数或复数的相应组合表达。

 

   对于任意正整数,a的任意n次根式也都可以仅由相应的2次根式具体表达为相应的实数、虚数或复数的相应组合,例如:

 

1.a^(1/2)

y^2=a,  有:y1=+(a)^(1/2),  y2=-(a)^(1/2),

 

即:a^(1/2)可由+a^(1/2),  -a^(1/2),的复函数的相应组合表达。

 

2. (a)^(1/3)

y^3-a=0, 3个根,y1,y2,y3,消去其中1个根,例如;y1,方程成为:y^2-a=0,

即得y2=+(a)^(1/2),  y3=-(a)^(1/2),

   y1可由方程各根与系数间的1个关系式给出例如y1=a/(y2y3)=-1                      

 

   即:(a)^(1/3)可由-1+(a)^(1/2)-(a)^(1/2) , 的复函数的相应组合表达。

 

3’. a^(1/4)

x^4=ax^4-a=0引入函数y,并取:(x^2+y)^2=x^4+2yx^2+y^2

将原方程改写为(x^2+y)^2 -2yx^2 -a-y^2=0, 而有:

(x^2+y)^2=2yx^2+a+y^2,

设当上式右边成为x函数的完全平方2yx^2+a +y^2=(c1x+c0)^2

(c1x+c0)^2=c1^2x^2+2c1c0x+c0^2,

c1^2= y,  (1)  2c1c0=0,  (2)  c0^2=y^2+a,  (3)  不能取y=0

(2), 有:c0=0(a)  (3),有:y=+,-ia^(1/2), (b)  (1),有:c1=+,-ia^(1/2)(c)

 

而原方程可表达为:(x^2+,-ia^(1/2))^2 = ax^2,  即可分解为如下2个方程:

x^2+a^(1/2)x+,-ia^(1/2)=0,  x^2-a^(1/2)x-,+ia^(1/2) =0,  

两式相减,即得:x1=+ix2=-i

消去这2个根,方程成为x^2-a=0, 即得

x3=+(a)^(1/2),  x4=-(a)^(1/2),

 

即:a^(1/4)可由+i, -i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2), 的复函数的相应组合表达。

 

4’. a^(1/6)

x^6-a=0可分解为如下2个方程x^3+(a)^(1/2)=0,  x^3-(a)^(1/2),=0,

它们的各3个根y1,y2,y3y4,y5,y6与系数间分别有如下关系式

y1+y2+y3=0y1(y2+y3)+y2y3 =0,  y1y2y3+a^(1/2)=0                

y4+y5+y6=0y4(y5+y6)+y5y6 =0,  y4y5y6-a^(1/2)=0

对于方程x^3+a^(1/2)=0,消去其中1个根例如y1方程成为

y^2+a^(1/2)=0, 即得y2=+ia^(1/4),  y3=-ia^(1/4),

   其中a^(1/4) = +i, -i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2),

   y1可由方程各根与系数间的1个关系式求得例如y1=a^(1/2)/a^(1/2)=1                      

对于方程x^3-a^(1/2)=0,消去其中1个根例如y4方程成为

y^2-a^(1/2)=0, 即得y5=+a^(1/4),  y6=-a^(1/4),

   其中a^(1/4) = +i, -i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2),

   y4可由方程各根与系数间的1个关系式求得例如y4=a^(1/2)/(-a^(1/2))=-1                      

 

即:a^(1/6)可由+ i, - i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2), +1,-1, +i(a)^(1/2), -i(a)^(1/2), 的复函数的相应组合表达。

 

5.a^(1/5)

x^5 -a=0,

消去其中1个根,例如x5即得:其它4个根满足4次方程:x^4-a=0,   (¡)

仅需引进2次根式,即可解出4次方程,(1)的各个解,也即是此5次方程xjj=1,2,3,44个解。即有:a^(1/4)= +i, -i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2),

   x5可由原方程根与系数的1个关系式求得,例如:x5=a/(x3x2x3x4)=1

 

即:a^(1/5)可由 1, +i, -i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2) , 的复函数的相应组合表达。

 

6.a^(1/7)

x^7- a=0,

消去其中1个根,例如x7即得:其它6个根的满足6次方程:x^6-a=0,  (¡)

仅需引进2次根式,即可解出6次方程,(1)的各个解,也即是此7次方程xjj=1,2,3,4,5,66个解。

+ i, - i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2), +1,-1, +i(a)^(1/2), -i(a)^(1/2),

   x7可由原方程根与系数的1个关系式求得,例如: x=a/(x3x2x3x4x5x6)=1

 

即:a^(1/7)可由 + i, - i, +(a)^(1/2), -(a)^(1/2), +1,-1, +i(a)^(1/2), -i(a)^(1/2), 的复函数的相应组合表达。

 

任意的(-1)^(1/n)任意的a^(1/n)

以此类推,只要解得-14次和6次根式的,就能简便地解得-18次和12次根式的;解得-15次和7次根式的,就能简便地解得-19次和13次根式的,直到按如下重要且有趣的级数:

2,3

4,65,7

8,129,1310,1411,15

16,2417,2518,2619,2720,2821,2922,3023,31

32,4833,4934,50;  35,5136,52;  37,5338,54,  39; 55

      40,56;  41,57 42,58;  43,5944,60; 45,6146,62; 47,63

 

即:

2,3

2^2,322^2+1,32+1

2^3,32^22^3+1,32^2+12(2^2+1), 2(32+1)2(2^2+1)+1, 2(32+1)+1

2^4,32^32^4+1,32^3+12(2^3+1), 2(32^2+1)2(2^3+1)+1, 2(32^2+1)+1

2^2(2^2+1), 2^2(32+1)2^2(2^2+1)+1, 2^2(32+1)+1

 2(2(2^2+1)+1), 2(2(32+1)+1)2(2(2^2+1)+1)+1, 2(2(32+1)+1)+1

2^s,32^(s-1)2^s+1,32^(s-1)+1

2(2^(s-1)+1), 2(32^(s-2)+1)2(2^(s-1)+1)+1, 2(32^(s-2)+1)+1

2^2(2^(s-2)+1), 2^2(32^(s-3)+1)2^2(2^(s-2)+1)+1, 2^23(2^(s-3)+1)+1

2( (s-2) (2^2+1), 2( (s-2) (32+1)

2( (s-2) (2^2+1)+1, 2( (s-2) (32+1)+1;、

 

   即可得到仅有-1和任意正整数的2次根式,表达-1任意正整数的任意n次根式复函数的相应组合。

 

   因此,由于-1的任意n次根式都能以-12次根式表达,才能,也即都能,以实数、虚数、复数的相应组合表达,由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数表达,所有的无理数都才是,也只是,由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。

 



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