任意5次不可约代数方程仅由其各系数有理运算表达的公式解

本博客2011年的博文“任意n次不可约代数方程的根式解”

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-510331.html

已给出：

“任意1次到4次代数方程的根式解，早已被逐次求得。但大于4次的，虽经历代数学家近500年的努力，却至今尚未得到。特别是，1830年，伽罗华（Galois, E.）给出代数方程能够根式求解的判据之后，学术界就似乎已公认n>4的不可约代数方程没有根式解。

但是，本文具体分析得到：

伽罗华的理论所证明的，实际上，也只是：‘在求解n次不可约代数方程的整个过程中，所添加根式的指数，n*，应是小于4’，并非所解方程的次数，n，应是小于4，并非方程的次数n大于4就不能有根式解。

并且，具体给出了任意5次、6次不可约代数方程的根式解法。还推广到任意n=2m和2m+1次,m逐次增大的，不可约代数方程的根式解的相应求解法。其中，添加的根式都小于4，因而，这些证明也与正确理解的伽罗华的理论并不矛盾。”

虽然，该文已经具体给出了6次代数方程的根式解。已经无可辩驳地具体表明：n>4的不可约代数方程没有根式解的所谓“公认结论”的错误。却因5次以及大于6次的各个不可约代数方程只是给出了相应的根式解法，并未能给出它们具体的解。

因此，该文的结论和结果尚不能被公众承认，仍未能纠正已沿袭500年的普遍错误观念。

由于该文解决5次以及大于6次的各个不可约代数方程的求解都是采用引进相应的根式求解的解法，不仅能求解，而且，还具体证明了，伽罗华的理论只是：‘在求解n次不可约代数方程的整个过程中，所添加根式的指数，n*，应是小于4’，并非所解方程的次数，n，应是小于4，并非方程的次数n大于4就不能有根式解。

但是也因求解方法还需引进相应数量的参量，计算、推导很为繁重，虽有求解方法，却很难给出具体的解。

为此，本文提出如下，根本不引进任何根式的解法。

并首先具体给出任意5次不可约代数方程的仅由其各系数有理运算表达的公式解。

其结果如下：    

任意5次不可约代数方程

x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0,

都可由变换y=x-a4/5变换为：4次项的系数=0，的如下形式:

y^5+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0

它的5个根与系数间有如下关系式：

y0+y1+y2+y3+y4=0，                     (1)

y0=-(y1+y2+y3+y4)，                     (a)

  即：y0可由y1,y2,y3,y4之和表达。

y0(y1+y2+y3+y4)

+y1(y2+y3+y4)

+y2(y3+y4)

+y3y4

-b3=0,                                   (2)

y0(y1(y2+y3+y4)+y2(y3+y4)+y3y4)

+y1(y2(y3+y4)+y3y4)          

+y2y3y4

+b2=0,                                  (3)

y0(y1y2(y3+y4)+y1y3y4+y2y3y4)

+y1y2y3y4

-b1=0,                                   (4)

y0y1y2y3y4

+b0=0,                                   (5)

(2)、(3)、(4)、(5)各式，都是仅由y1、y2、y3、y4，及方程各系数表达的互不相依的代数方程。

当取y1为变量，y2、y3、y4，及方程各系数为参量，由此4个互不相依的代数方程，逐次降幂直到：

y1=(2y2^3(y3^3y4^2b0+y3^2y4^3b0)

+2y2^2y3^3y4^3b0 )                                

/(y2^4y3^4y4^4-y1(y2^3(y3^3(y4^3b2+y4^2b1+y4b0+y3^2y4^3b1

+(3y3^2y4^2+y3y4^3)b0))-y1(y2^2(y3^3y4^2y4b1+(3y3^3y4^2+y3^2y4^3)b0)

+y2y3^3y4^3b0),                                  (b)

即得：仅由y2,y3,y4，及方程各系数表达的y1

由此得到仅有y2,y3,y4，3个变量的6个代数方程。

当取y2为变量，y3,y4，及方程各系数为参量，由此选取3个互不相依的代数方程，逐次降幂直到：

y2=(y3^4+y3^3y4+y3^2(y4^2+b3)+y3(y4^3+y4b3+b2)+y4^4+y4^2b3+y4b2 +b1)

/(y3y4^2),                                        (c)

即得：仅由y3,y4，及方程各系数表达的y2。

由此得到仅有y3,y4，2个变量的3个代数方程。

当取y3为变量，y4，及方程各系数为参量，由此选取2个互不相依的代数方程，逐次降幂直到：

y3=-(y4^8+2y4^6b3+2y4^5b2+y4^4(b3^2+b1)+y4^3(2b3b2+b0)+y4^2(b2^2+b1b3)

+y4(b1b2+b3b0)+b2 b0)

/(y4^7+2y4^5b3+y4^4b2+y4^3(b3^2+b1)+y4^2(b2b3+b0)+y4b1b3+b3b0)

并在此过程中，已得到：y4^5+y4^3b3+y4^2b2+y4b1+b0=0,           (1”)

而使上式简化为：

y3=-(y4^3+y4b3+b2)/(y4^2+b3) ,                            (d)

即得：仅由y4，及方程各系数表达的y3。

由(1”)、(d)得到仅有y4为变量的2个互不相依的代数方程。

当取y4为变量，方程各系数为参量，的2个互不相依的代数方程，逐次降幂直到：

y4B(1,1)+B(1,0)=0,                     （2”）

其中，

B(1,1) = B’(2,2) B(2,1) - B(2,2) B’(2,1)，

B(1,0) = B’(2,2) B(2,0) - B(2,2) B’(2,0)，

B’(2,2) = (B(2,2)B(3,2)-B(3,3)B(2,1)),

B’(2,1) = (B(2,2)B(3,1)-B(3,3)B(2,0)),

B’(2,0) = B(2,2)B(3,0),

B(2,2) = (B’(3,3)B(3,2)- B(3,3)B’(3,2)),

B(2,1) = (B’(3,3)B(3,1)- B(3,3)B’(3,1)),

B(2,0) = (B’(3,3)B(3,0)- B(3,3)B’(3,0)),

B’(3,3) = (27b3^11-18b3^9b1+39b3^8b2^2+b3^7(-39b2b0-15b1^2)

+18b3^6b2^2b1+b3^5(+6b1^3+10b2^4)

+b3^4 (-25b2^3b0+b2^2b1^2)

+b3^3(6b2^3b2b1+12b2^2b0^2+3b1^4+8b1b2^4)

+b3^2(2b2^2b1^3+4b2^6)

-4b3b2^5b0+2b3b2^4b1^2              

+2b2^5b2b1+4 b2^4b0^2+ b2^2b1^4)

B’(3,2) = (27b3^10b2-9b3^9b0+b3^7(30b2^3-15b1b0)

+b3^6(-24b2^2b0+9b2b1^2)+b3^5(3b1^2b0+12b1b2^3+3b2b0^2)                    

+b3^4(10b2^5-5b2^2b1b0)

-b3^3(6b2b1b0^2+24b2^3b1^2+7b2^4b0+6b1^3b0)

+b3^2(4b2^5b1+3b2^2b1^2b0+b2^3b0^2)

+b3(b2^7-2b2^4b1b0)

-2b2^6b0+5b2^5b1^2

+2b2^3b1b0^2-2b2^3b1b0^2

+2b2^2b1^3b0),

B’(3,1) = (27b3^10b1+b3^8(9b2b0-b1^2)+b3^7(30b2^2b1-9b0^2)

+b3^6(-9b1^3)+b3^5(6b1^2b2^2+3b1b0^2+6b2^3b0)

+b3^4 (10b2^4b1-6^2b0^2)

+b3^3(+12b2^2b1^3-3b1^2b0^2+6b2b0^3)

+b3^2(b2^5b0+3b2^4b1^2+b2^2b1b0^2)

+b3(b2^6b1-b2^4b0^2)

+3b2^4b1^3+2b2^3b0^3

+b2^2b1^2b0^2).

B’(3,0) = 27b3^10b0-9b3^8b1b0+30b3^7b2^2b0

+b3^6(-9b1^2b0-18b2b0^2)+6b3^5b1b2^2b0

+10b3^4b2^4b0

+b3^3(-7b2^3b0^2+6b2^2b1^2b0)

+3b3^2b2^4b1b0

+ b3b2^6b0

-2b2^5b0^2

+3b2^4b1^2b0,

B(3,3) = (9b3^7 -3b3^5b1+7b3^4b2^2-b3^3(6b2b0+3b1^2)+3b3^2b2^2b1+b3b2^4

-2b2^3b0+3b2^2b1^2),

B(3,2) = (9b3^6b2-3b3^5b0+b3^4b2b1+b3^3(3b2^3-6b1b0+3b2^3)

+b3^2(b2^2b0+3b2b1^2)+b2^5+2b2^2b1b0 +2b2b1^3),

B(3,1) = (9b3^6b1+b3^4b2b0+b3^3(6b2^2b1-3b0^2),

+4b3^2b2b1b0+b2^4b1-b2^2b0^2+4b2b1^2b0)

B(3,0) = 9b3^6b0+6b3^3b2^2b0+b3^2b2b0^2+b2^4b0+2b2b1b0^2,  

它们都只是方程各系数的有理函数。

   而有：

y4= - B(1,0)/B(1,1),                      (e)

即得：仅由方程各系数表达的y4。

将(e)逐次代入(d)、(c)、(b)、(a)，

即得：仅由方程各系数表达的y4、y3、y2、y1、y0,方程的全部5个解。

这就具体给出了任意5次不可约代数方程的公式解。而且，这些解都是根本不引进任何根式，仅由其各系数的有理运算表达的公式解，也与正确理解的伽罗华的理论并不矛盾。

   对于任意5次不可约代数方程只要将其各系数代入(e)、(d)、(c)、(b)、(a)，各式，即得其各解。

   这种求解，也可推广用于任意n次不可约代数方程的公式解，将予另文发表。