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对“任意n次不可约代数方程的根式解”的一些注解(3)

已有 5285 次阅读 2013-3-20 14:45 |个人分类:数理|系统分类:论文交流|关键词:对“任意n次不可约代数方程的根式解”的一些注解(3)

对“任意n次不可约代数方程的根式解”的一些注解(3

 

7. 关于验证5次不可约代数方程的解

 

程代展和应行仁两位博友提出:

 

以验算;

y0=1.582038;  

y1=-1.371882;  

y2=-0.402102;  

y3=0.095974-i*1.510795; 

y4=0.095974+i*1.510795,

    5个数是否方程y^5-5y-2=0,5个解?

并检验本人所给5个根的表达式是否正确、合用?:

 

不少博友将这5y直接代入方程进行了验算:

 

按照谢龙博友的结果

 

1.582038^5-5*1.582038-2 = 0.0000587251

 

(-1.371882)^5-5*(-1.371882)-2 = -0.00000275773

 

-0.402102^5-5*(-0.402102)-2 = -0.00000189867

 

((0.095974 - (i * 1.510795))^5) - (5 * (0.095974 - (i * 1.510795))) - 2 = -6.48553704 × 10^-6 + 5.97828234 × 10^-6 i

 

((0.095974 + (i * 1.510795))^5) - (5 * (0.095974 + (i * 1.510795))) - 2 = -6.48553704 × 10^-6 - 5.97828234 × 10^-6 i

 

(我用计数器10位有效数字核对过了,都是正确的,晓的第1个解错退后了一位数!)

 

从有效数字精度的要求看来!

至少,第1个解,就应算不满足!

45入的要求,后两个解也可算不满足!

 

特别应注意:

现有对5次不可约方程都只能以一定有效数字精度的数值地逼近得解!这各解都可能是在该精度的,分别以各解的模长为半径的,复面圆周上的各点表达!

 

但是,它们都分别只是,满足该方程的那1个解,而其它的各解,却可以分别不同,并不能表明:它们是同时符合该方程的5个解。这各个解与该方程各系数的各关系,就会有更大的偏差!

 

因而,严格说:即使它们分别代入该方程都符合,也不能肯定它们5个就是该方程的解!

 

这各数是否方程的解,必须用“是否满足各解与各系数的各关系式”来检验!

 

    由此,也表明:求得“任意n次不可约代数方程的根式解”的重要性!

 

8.5次不可约代数方程根与系数关系式验证它的解

 

方程5个根可分别由

w1=(-1-i3^(1/2))/2,  w2=(-1+i3^(1/2))/2, (分别为x^2+x+1=0,2个根

4个参量z1z2z3z4,表为:

 

y0=z1+z2+z3+z4                                              (0)

y1=(w1z1+w1z2+w2z3+w2z4)/2           (1)

y2=(w2z1+w2z2+w1z3+w1z4)/2,             (2)

y3=(w1z1+w2z2+w1z3+w2z4)/2            (3)

y4=(w2z1+w1z2+w2z3+w1z4)/2            (4)

 

由它消去4z即可全部导出5y是方程解的5个关系式。

只要5y确实是方程的解,这些关系式是都必须满足的。代入这5个公式,就能都应能满足!

因此,应能用它检验所有5次方程的解!

如果,代入的5y,只要这5个公式有任何1个不符合,就可以肯定它们不是这方程的解,怎么能反而否定这5个关系式的。正确性呢?!

 

9.对方程的根的已有检验

 

仅由前节已导出的2个方程的检验看来,

5y之和=0,代入那5个数=000002,还是符合的!

但是,另外一个

y1+y2-y3-y4 =0,代入那5个数=-1.9659 就差别很大!

 

已可表明:它们不是该方程的解!

 

我还用3位有效数字直接检验那5个数作为方程的根与系数的关系,如果5y是方程的解,则以上各根的关系式都应与相应的系数符合。

    验算结果如下:

y0+y1+y2+y3+y4=0.000002,  近似=0 符合 !

 

y0(y1+y2+y3+y4) =1.58(-1.37-0.40+0.10+0.10)=-1.58x1.57=-2.47

+y1(y2+y3+y4)=-1,37(-0.40+0.10+0.10)=1.37x0,20=0.27

+y2(y3+y4)=-0.40(0.10+0.10)=-0.40x0.20=-0.08

+y3y4=(0.10^2-1,51^2)=0,01-2.27=-2.26

                                       =-4.54.=0 不符合!

 

y0y1(y2+y3+y4)=1.58x0.27=0.43

+y0y2(y3+y4)=0.63x0.20=-0.13

+y0y3y4=-1.58x2.26=-3.57

+y1y2(y3+y4)=1.37x0.08=1.10

+y1y3y4=1,37x2.26=3.10

+y2y3y4=0,42x2,26=0.95

                                     =1.88,=0不符合!

 

y0y1y2(y3+y4)=1.58x1.10=1,74

+y0y1y3y4=2.18x2,26=4.93

+y0y2y3y4=1.58x0.95=1.50

+y1y2y3y4=-1,37x0.95=-1.30

                                  =6.87,=5不符合!

 

y0y1y2y3y4=-1.58x1.30=-2.05,  近似=-2 勉强符合!

 

验算具体表明:

仅有4次方项和常数项相符,其它3个系数都不相符。

也就是可以判定:5y的数值不满足方程解的要求!

它们不可能同时是该方程的5个解,它们不是该方程的解!

而且,另外3个系数都不是整数,所以他们不是任何方程的解!

 

(未完待续)

 



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