对“任意n次不可约代数方程的根式解”的一些注解（2）

4，为什么要解得不可约代数方程的根式解？

对于代数方程，特别是高次的解法，可以有多种，例如，借助某些特殊函数，或利用计算机直接数值的逼近求解，可以解出任意高次的代数方程。

但是，它们都只能对其各系数都有确定数值的方程求解。

而只有“方程的解中仅含有其各系数的有理运算与根式的根式解才能给出由仅含有其各系数的公式表达的解。

而对于许多工作，特别是研究工作，都对这种公式是非常需要、非常有用的。

因此求得方程的根式解是非常重要的工作。

历代数学家承前启后地，为求得更高次 方程的根式解，做了大量工作，逐次求得了2次、3次、4次不可约代数方程的根式解。

5，所谓“5次以上方程没有解”

其实，这是个错误的理解。

对于各系数都有确定数值的方程，借助某些特殊函数，或利用计算机，具体分析方程的解可能存在的数域，直接数值的逼近求解，就可以解出任意高次的代数方程。

而所谓“5次以上方程没有解”只是因为：

历代数学家在逐次求得了2次、3次、4次不可约代数方程的根式解，再向更高次努力时，却经过数百年，至今也仍始终未能成功。

因而，Abel, N.N. (1830) 首先提出n>4的不可约代数方程不能根式求解，但是，并未给出具体证明。进而 Galois, E. (1830) 更给出代数方程能够根式求解的判据之后，学术界就似乎已公认Galois, E. 给出的代数方程能够根式求解的判据 证明了n>4 的不可约 代数方程 没有根式解。

也就是说：所谓“5次以上方程没有解”也只是由此，而认为“方次n>4 的不可约代数方程没有根式解。”

而且，这样的理解，还应注意：那些只是根式数值解的特殊方程的解，并非根式解。

否则，就会在客观事实面前落得自相矛盾的境地。

6.究竟Galois, E. 给出的判据 证明了什么？

本文具体分析Galois理论，得出，它确可证明：方程根式解的可解性是相应于将方程各系数作有理运算与逐次添加相应根式的变换群的可解性，而这种变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数，而 阶数 >4的对称置换群，及其子群，都是非交换群的单群，是不可解的。

而这个“阶数”，却被当作该方程的方次，n，因而，从那时迄今，似已公认“n>4的不可约代数方程没有根式解”。

但是，仔细分析Galois理论，就能得出，它所能证明的，只是：“当方程的整个求解过程中添加根式的最大指数n*>4时，一般不可约代数方程没有根式解”，并非迄今似已公认的 “方次n>4的不可约代数方程没有根式解”。

只要求解方程的整个过程中添加根式的最大 指数，n* 不>4，任意n次不可约代数方程就可有根式解。

而且，本文采用的方法，求解5次、6次，乃至任意n次方程的整个过程中添加根式的

最大 指数，n*，都是不>4，因而能与Galois理论并不矛盾地，求得任意n次不可约代数方程的根式解。

因而，就既给出了求得任意n次不可约代数方程根式解的方法，又验证了本文对Galois

理论的分析结论。

（未完待续）