理论物理学要点及其发展（31）

（接（30））

30．各类多线矢间叉、点乘的统一定义

各类多线矢间叉乘的统一定义

任意两个多线矢[矢(A)] (=(A)[单位矢(A)])和[矢(B)] (=(B)[单位矢(B)])

的叉乘积是完全含有[矢(A)]和[矢(B)]为其子空间的高次、线多线矢[矢(A)(B)]。其方向为：

单位叉乘多线矢[单位矢(A)(B)] = [单位矢(A)])叉乘[单位矢(B)])/sin[角(A)(B)]。

其模长为：模([矢(A)]叉乘[矢(B)])=(A)(B) sin[角(A)(B)]，

即：[矢(A)]叉乘[矢(B)] =(A)(B)sin[角(A)(B)] [单位矢(A)(B)]。

当[矢(A)]和[矢(B)]中有1个的全部子空间与另1个的部分或全部子空间完全重合时，即：sin[角(A)(B)]=0；[单位矢(A)(B)]无意义；[矢(A)]叉乘[矢(B)]=0

将此定义用于3维空间的1线矢，其结果与通常3维空间矢算的数值相同；但方向不同。后者的方向是定义为：与[矢(A)]和[矢(B)]正交的另1个线矢。但是，在4维和更多维时空的1线矢，就因 它们的叉乘积根本不是这样的1线矢，而只能采用本文这样的定义。

各类多线矢间点乘的统一定义

任意两个多线矢[矢(A)] (=(A)[单位矢(A)])和[矢(B)] (=(B)[单位矢(B)])的点

乘积是[矢(A)]点乘[矢(B)]。它包含[矢(A)]和[矢(B)]中，消去两者中彼此完全相同的子空间后，剩余的全部其它子空间。

其方向为：相应的“单位点乘多线矢” [单位矢(A)点乘(B)]= [单位矢(A)]点乘[单位矢(B)]/cos[角(A)(B)]。

其“模长”为：模([矢(A)]点乘[矢(B)])=(A)(B)cos[角(A)(B)]，

即：[矢(A)]点乘[矢(B)]=(A)(B) cos[角(A)(B)] [单位矢(A)点乘(B)]。

当[矢(A)]和[矢(B)]没有彼此完全相同的子空间，cos[角(A)(B)]=0；[单位矢(A)点乘(B)]无意义；[矢(A)]点乘[矢(B)]=0。

当[矢(A)]中全部含有[矢(B)]，[矢(A)]点乘[矢(B)]是 [矢(A)]中去掉[矢(B)]的全部子空间后，所剩余的部分。

当[矢(A)]和[矢(B)]中仅有部分彼此完全相同的子空间，[矢(A)]点乘[矢(B)]是[矢(A)]和[矢(B)]中去掉那些彼此完全相同的子空间后，的剩余部分，而形成相应的“纤维丛矢”。

（未完待续）