分形几何的产生、应用与发展

1．测量的尺度

任何测量，都有一定的“误差”和“有效数字”。提高测量精度可适当缩小“误差”范围或增加“有效数字”个数。但也都有一定的限制。

用尺，测量万里长城，嫌太短；测量微生物，又嫌太长。从而产生了特征长度（或者叫尺度、标度）。实际上，客观事物都各有它自己的特征长度，都要用其恰当的尺度去测量。

2．分形几何的产生

在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗(B.B.Mandelbrot)在他的著作中探讨了“英国的海岸线有多长”这个问题。

如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，而且，一些厘米量级以下的，还不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度，就是没有意义的。虽然，海沙石的最小尺度是原子和分子，但是，使用更小的尺度，也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化的许多个数量级的“无标度”区，这依赖于测量时所使用的尺度。

又例如：一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。

再例如：物理学中的湍流，是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，大到木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动，经过大、中、小、微等许许多度尺度，最后转化成分子尺度上的漩涡的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，湍流中高漩涡区域，就要借助“无标度性”解决问题：

而且，自然界中还有许多客观事物，具有自相似的“层次”结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变（如图），

在理想情况下，甚至具有无穷层次成为自相似性。

必须同时考虑从小到大的许许多多尺度，没有特征尺度，这也就叫做“无标度性”的问题。

这些就都须要联系到观测条件和实际问题所可能的各个数量级“无标度”区，统计确定采用怎样恰当的尺度。

这是最近十几年来，几何学的新突破，产生了新兴的分形几何学，分形几何学的基本思想，引起了数学家和自然科学者的极大关注。

3．线的曲折的影

瑞典人科赫于1904年提出了著名的“雪花”曲线，突出夸大说明：线的曲折所产生的影响。

这种曲线的作法是，例如：从一个正三角形开始，把它的每条边分成三等份，以各边的中间长度为底边，分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉，这样就得到一个有六个突出的“角”，共有12条“边”的形状。再把每条边，三等分，以各中间部分的长度为底边，向外作正三角形后，抹掉底边线段。数次后，就得到如图的“雪花”样子的曲线：

这曲线叫做科赫曲线或雪花曲线。

如此反复进行这一作图过程，得到的曲线越来越精细。

若如此地无限进行，就不但它的周长为无限大，而且曲线上任两点之间的距离也是无限大，它所包围着的面积却是有限的。

设正三角形每边长=a，周长=3a，按此，作1次折线，周长=3a乘4/3，按此，作n次折线，周长=3a乘(4/3)^n，

当n趋于无穷大，周长=3a乘(4/3)^无穷大。但是，其在该平面所围的面积，却始终小于以其重心为中心，的外接圆的面积。

对于类似的其它平面多边形，类似的做法，也有类似的结果。

4．空间的维数

维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。

通常的空间是3维的，平面或球面是2维，直线或曲线是1维。也可推广为点是0维的。

还有更高维的空间有更高的维数，例如。4维时空，1线矢有4维，多线矢

有相应的更多维数。但通常都是整数的维数。

分形理论在需要计及数个数量级的长度时，实际上，就也需要同时计及相应的不同维度，例如：太阳系各行星都是在同一平面上绕日运行，但是，各行星的各卫星，例如：地球的月球，就是在另一平面上绕地球运行，等等。而维数就会因统计，而也可以成为分数。

这类分数维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到包括分数，从而突破了一般拓扑集，维数为整数的界限。

5．“分维”的概念

“分维”和测量有着密切的关系，例如：

对一根直线，如果用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值呢？就只有用与其维数适当的线来量才会得到有限值，而这线的维数为 1，就介于0与2之间。

数学家柯赫(Koch)从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成，其长度也不断增加，并趋向于无穷大的无限曲线。其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算“寇赫岛”曲线的维数是1.2618……。

可以看到，其海岸线的分维，介于1到2之间，即分维才是“Koch岛”海岸线的确切特征量。

因而，分形维数被定义为如下的计算公式：

d=lim(ε趋于0)[logN(ε)/log(1/ε)],

式中ε是小立方空间一边的长度， N(ε)是用此小立方空间覆盖被测空间所得的数目，分形维数公式是用边长为ε的小立方空间覆盖被测空间确定其维数。

对于通常的1维线段， N(ε)=1/ε，2维面积，N(ε)=(1/ε)^2 ，3维体积，N(ε)=(1/ε)^3。 由此可见，分形维数公式也可对应于通常维数的含义。利用分形维数公式可算得科赫曲线的相应维数 d=1.2618，谢尔宾斯基海绵的分形维数d= 2.7268。对于各类分形，可用此方法计算，也可用一定的适当方法予以测定。

因而，“分维” 是联系到空间一边的长度，反映了各复杂形体占有空间的特性，它是复杂形体不规则性的量度。

6．客观世界出现分形的原因

任何物体C如果主要仅受 唯一的另一物体A的引力作用，而其它物体对它的作用都可忽略，那么当C与A间的距离不致彼此碰撞的条件下，则C的质量中心c对A的质量中心a的运动轨迹，就依c在以a为原点的坐标系的位置矢与速度矢以及A对C的引力变化规律而确定。对于c与a的不同初始位置矢与速度矢，c对a的运动轨迹分别可以是：抛物线、椭圆、双曲线的一支，特殊条件下，还可以是直线和圆。

这就是宇宙间各星体间的运动都是这类轨迹的原因。

一切固体的晶体结构，也都因 相应各原子的核与电子间相互作用和运动状态所组成。

相互作用有4种自然力，远近程力的不同。

原子的核与电子间不同的相互作用和初始状态，决定所形成物体的特性和运动状态。

还有化学、生物的高级运动特性。

4维时空各多线矢相应的更多维数。

这些也就是客观世界出现分形的原因。