卷积在实践中产生、应用、发展，但基本特性不变

卷积是分析数学中一种重要的运算。

设: f(t),g(t)是R1上的两个可积函数，以其积为核作积分：

积分区间取决于f 与g 的定义域。

可以证明：关于几乎所有的 ，这种积分都是存在的。

这样，随着 t 的不同取值的这个积分就定义了一个新函数h(t)，称为函数f 与g 的卷积，记为h(t)＝(f*g)(t)。

容易验证，(f * g)(t) ＝ (g * f)(t)，并且(f * g)(t) 仍为可积函数。

这就是说，卷积相当于L1（R1）空间代数，甚至是巴拿赫代数，的一个乘法。

卷积的德文Faltung和英文convolution，都表明：它有卷、摺，的意思。

卷积，实际上，是在各种实际问题的实践中，例如：

统计学中加权的滑动平均； 物理学中任何一个线性系统（符合叠加原理）；

声学中回声由源声与各种反射效应表达； 电子工程与信号处理中线性系统的输出由输入信号与系统的冲激响应表达； 概率论中两个统计独立的概率密度，等等 的需要而产生，并在相应的实践中应用的。

因有，卷积定理：函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。

任何卷积都可表达为：含有傅里叶函数（函数傅里叶变换）为因子。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

这些都表明：傅里叶函数与卷积的重要关系与作用。

人们熟知：傅里叶函数是由正弦函数与余弦函数组成的级数，而正弦函数与余弦函数都是周期函数，傅里叶函数也有相应的周期性。

因而，卷积就必有周期循环或周期衰减循环的特性。

这也就更具体的从时空都表明：卷积必有卷的特性！卷积不会不卷。

特别是，当h(t)变成h(t-τ)，而τ为相应的常量时，τ就相当于它的周期！

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n-1组对位乘法，其计算复杂度为O(n^2)；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为O(nlogn)。

因而，这一结果就又使卷积应用到快速乘法的计算。

卷积中，两个函数的乘积，按乘积的一般规则，可以分别是任意相同或不同性质的量，但是，在实际的应用中，就必须由卷积及其两个函数的性质分别具体地确定，而不能随意。

在实践中，卷积中两个函数乘积的积分，

还被进而扩展为数列卷积的两个数列乘积的求和，

α={α_n},b={b_n}(n=0,±1,±2,…)为两个数列

甚至在概率论中扩展为随机变量的点集，例如，已知独立随机变量ξ和η的概率分布为P_ξ（A）和P_η(A)，随机变量ξ+η的分布 由下式给出 ：

，

式中A-y表示点集{x|x+y∈A};A为直线上任意的波莱尔集。

这就使得其中的连续函数发展为离散的数列，甚至随机变量的点集。

    但是，卷积定理仍能成立，傅里叶函数与卷积的重要关系与作用仍然存在，卷积就仍然必有周期循环或周期衰减循环的特性。

卷积，作为运算，还具有十分重要的所谓平移不变性。例如以τα表示平移算子,即(ταƒ)(x)=ƒ(x-α),那么就有

利用这性质，可以刻画出l(R)到 有界的平移不变算子的特征，即当作用在施瓦兹函数类(记为S(R))时,这种算子一定是某个缓增广义函数u与函数φ∈S的卷积u*φ

   还可以推广到矢量场函数的卷积，按照翻转、平移、积分的定义，类似地定义多元函数上的积分：

(f*g)(t1,t2,…,tn)

=(n重积分)f(τ1, τ2,…, τn)g(t1-τ1,t2-τ2,…,tn-τn)dτ1dτ2…dτn)

   而且，两个函数还可以是不同τ的多元，例如：其一为标量的1元函数；另一为3维矢量场的3元函数，的3个卷积，组成3维矢量场的卷积。其一为标量的1元函数；另一为4维矢量场的4元函数，的4个卷积，组成4维矢量场的卷积。

    还可以有，例如：两个n维矢量场点乘的卷积应是其各分量卷积的平方和。两个n维矢量场点乘的卷积应是其各分量卷积的平方和，两个n维矢量场叉乘的卷积应是其各分量两两交叉乘积卷积之差的矢量和，等等。

   但是，卷积的这些发展、变化，作为卷积如上的基本特性也不会改变。