“歌德巴赫猜想”及其简单完全证明

 

中国科学院  力学研究所  吴中祥

 

提          要

“歌德巴赫猜想”就是要严格证明：“等于和大于4的任意偶数，都至少能找到1对素数之和等于它”。

从1918年采用“圆法”作为证明歌德巴赫猜想的重要研究方向，并进而发展相应的各种“筛法”，{a,b}命题，以来，经众多专家逐步逼近的证明，直到1966年，我国数学家陈景润才宣布证明了{1,2}命题(即所谓：“1+2”)，1973年，就发表了命题{1,2}的全部证明。

但是，至今又过去了40多年，还没能全面完成“1+1”。

专家们并认为：“不仅现有的方法不适用于研究解决（1＋1），而且到目前为止还看不到可以沿着什么途径，利用什么方法来解决它。”。

本文给出给定的偶数和相应素数间的一个关系式，直接求解的简单方法，完全地证明了“歌德巴赫猜想”。

 

关键词：歌德巴赫猜想  素数  偶数  圆法及其筛法  任意偶数等于两素数和的方程及其解

 

1．什么是“歌德巴赫猜想”

Goldbach在1742年致L.Euler的信中提出证明猜想：“每个等于或大于7的奇数都能写成3个素数之和”(B) ，L.Euler在回信中指出，为了解决这个问题，只须证明猜想：“每个等于或大于6的偶数都能写成2个素数之和”(A)，对这两个((A),(B))猜想的证明就是所谓“Goldbach问题”。

现在看来，所谓“歌德巴赫猜想”，简单地说，就是要严格证明：“等于和大于4的任意偶数，都至少能找到1对素数之和等于它”。

所谓“素数”可定义为：“无‘真因数’之整数”。

整数即：1,2,…。

能够用来整除某个数的数，就是：该数的“因数”。其中，除了1和该数本身而外，就是：所谓“真因数”。

那么，按此定义，“素数” 就应是：2,3,5,7,11,13,17,19,…的数列。

每个整数,n(除1外),都可由素数, p(k); k=1,2,…, 的积表达为：

n= p(1)的a(1)次方 p(2)的a(2)次方…p(k)的a(k)次方,

其中p(1) <p(2)<…< p(k), a(1),a(2),…,a(k)等于或>0。

但是各个素数却很难由自然数或整数的简单表达式表达。

由于素数的如上特点，“歌德巴赫猜想”就很难严格证明。

 

2．“歌德巴赫猜想”的已有解法

1918年Hardy, G.H., 和 Ramanujan 采用一个由p从2到n求和2iknp的复指数函数S(k,n)，而在自然数, n, 和素数, p, 间建立起联系。

其中i是虚数符=(-1)的平方根；k是0到1的变量，m为任意整数，因：

2iknm的指数由k从0到1的积分=1(m=0); =0(m不=0)，

因而，方程n=p(1)+ p(2)+p(3)中, p(1), p(2), p(3) 大于或等3的解数为：

T(n)=在上述积分的核乘以S(k,n) 的平方。

方程n=p(1)+ p(2)中, p(1), p(2) 大于或等3的解数为：

D(n)=在上述积分的核乘以S(k,n) 的平方。

这样，证明“歌德巴赫猜想”(A)，就只须计算积分D(n)，并且证明：对于大于或等于6的偶数n；D(n)大于0，证明“歌德巴赫猜想”(B)，就只须计算积分T(n)，并且证明：对于大于或等于7的偶数n；T(n)大于0，而证明“歌德巴赫猜想”就仅须计算积分D(n) 和T(n)。

这就是Hardy-Little wood-Ramanujan所谓“圆法” 的基本思想，它确定了“歌德巴赫猜想”问题的重要研究方向。

 

但是，“计算积分D(n) 和T (n)，也并非易事，一些学者创造、发展、简化、和证明了估算S(k,n)的方法和公式。

这些方法对研究Goldbadh guess (B)很成功，但对Goldbadh guess (A)不很好，

并且为了化解证明Goldbadh guess (A)的困难，采用首先证明：“每个充分大的偶数是a个素数的乘积和b个素数的乘积之和” (即所谓：命题{a,b}或“a+b”)，其中a,b,是正整数。

当使a,b,逐步递减为1，来进行筛选，命题{1,1}，即所谓：“1+1”，就是歌德巴赫猜想(A)，“对于大于或等于6的偶数n；D(n)大于0”，的证明了，这就是所谓“筛法”。

一些学者采用不断改进的“筛法”，即：

对其中的积分函数相应作某些改进，或改为某种相应适用的极限求和，例如：某种pai函数、lin函数，等等，使a、b，逐渐减小的命题{a，b}得到了证明。

我国数学家陈景润1966年宣布证明了{1,2}命题 (即所谓：“1+2”)，1973年发表了命题{1,2}的全部证明。

这就与“歌德巴赫猜想”的最终解决，仅只有“1”之差了。

但是，至今过去了40多年，还没能全面完成“1+1”。

 

3．完成“1+1”存在困难

专家们在完成“1+3”之后就已经认为：在这种“圆法”基础上的“筛法”，已到极限。

因而，既对陈景润 能在极端困难的条件下完成了“1+2” 更加惊喜！又更加怀疑：沿用这种方法是否确能最终解决？！

例如：山东大学潘承洞教授就说过：“要从（1＋2）到完全解决哥德巴赫猜想还有十分漫长的路程。”

并且，依他看来，“不仅现有的方法不适用于研究解决（1＋1），而且到目前为止还看不到可以沿着什么途径，利用什么方法来解决它。

（参看《素数分布与哥德巴赫猜想》，潘承洞山东科学技术出版社，１９７９年）

潘承洞教授这里所说的“现有的方法”是指：哈代－立脱 伍特 圆法；相应的筛法，以及陈景润提出的方法。

实际上，这种都是由p从2到n求和2iknp的复指数函数S(k,n)，而在自然数, n, 和素数, p, 间建立起联系的所谓“圆法”和“筛法”，虽然在哥德巴赫猜想的证明中，确实已取得证明了“1+2”命题的重要成果，而且，在发展数论，特别是解析数论，方面起了积极的推动作用。

但是，实际上，却是把这个整数与素数的简单代数问题作了复杂化的处理，而使它成为复指数函数的复杂难解的问题，直至走向了死胡同。

 

4．简单的完全证明

其实，从xy坐标中,由y=0和1的X横线与(0,0)点到(n,1)点的延线形成的同

位角，相等，因而，(n,1)点, (0,0)点到(n,1)点延线上的x>n各点,和由该点垂交于y=0的X横线的交点，所形成的直角3角形的(n,1)角，与由到(n,1)点、(n,0)点和(0,0)点，所形成的直角3角形的(0,0)角的正切和余切都相等，我们发现：

对于任意的实数、虚数或复数，n，与大于n的，所有的实数、虚数或复数，N(n)，都有如下简单的，有重要意义的，代数关系式：

1/n=(N(n)/n-1)/(N(n)-n),            n=(N(n)-n)/(N(n)/n-1),          (1)

因而，找到了能与任意的实数、虚数或复数，n，都建立起简单代数关系式的参变量N(n)。

运用(1)式：

对于所有的素数，P(n1)，与大于P(n1)的，所有各实数，N(P(n1))，都有仅适用于素数的如下简单的代数关系式：

1/P(n1)=(N(P(n1))/P(n1)-1)/(N(P(n1))-P(n1)),

P(n1)=(N(P(n1))-P(n1))/(N(P(n1))/P(n1)-1),                             (2)

对于所有的偶数，2n，与大于2n的，所有各实数，N(2n)，也都有如下简单的仅适用于偶数的代数关系式：

1/(2n)=(N(2n)/(2n)-1)/(N(2n)-2n),  2n=(N(2n) -2n)/(N(2n)/(2n)-1),          (3)

当素数P(n2)大于素数P(n1)，且满足2n=P(n1)+P(n2)时，N(2n)必大于N(P(n1))和N(P(n2))，

因而，按(2)、(3)，就有如下的，满足两个素数之和等于偶数的公式：

(N(2n)-2n)/(N(2n)/(2n)-1)

=(N(2n)-P(n2))/(N(2n)/P(n2)-1)+(N(2n)-P(n1))/(N(2n)/P(n1)-1)，

而且，其中的P(n2)可用2n-P(n1)取代，而有：

(N(2n)-2n)/(N(2n)/(2n)-1)

=(N(2n)-2n+P(n1))/(N(2n)/(2n-P(n1))-1)+(N(2n)-P(n1))/(N(2n)/P(n1)-1)，

即：

N(2n)^4+a3N(2n)^3+a2N(2n)^2+a1N(2n) +a0=0,           (4)

a3=4(-4n^2-7nP(n1)+3P(n1)^2)/(9P(n1)),

a2=4(9n^3+9n^2P(n1)-3nP(n1)^2+P(n1)^3)/(9P(n1)),

a1=8 (nP(n1)^2-3n^2P(n1)-4n^3)/9,

a0=4(-3P(n1)^2+16nP(n1)-16n^2)n^2/9,

由(4)可见：只要这个满足2n=P(n1)+P(n2)的N(2n)方程能够有解，就证明了任意n等于或大于2的偶数，2n，都能由两个素数之和，P(n1)+P(n2)，表达。

如果能将4次的不可约代数方程变化为两个2次的不可约代数方程，就可分别求解了。

为此，引入一个函数y，并取：

(N(2n)^2+a3N(2n)/2+y/2)^2

= N(2n)^4+a3N(2n)^3+((a3/2)^2+y)N(2n)^2+(a3y/2)N(2n)+(y/2)^2

原方程就可改写为：

(N(2n)^2+a3N(2n)/2+y/2)^2

=((a3/2)^2-a2+y)N(2n)^2+(a3y/2-a1) N(2n)+(y^2/4-a0),

上式右边是个N(2n)的2次式。若将它也表达为N(2n)函数的完全平方，就有：

((a3/2)^2-a2+y)N(2n)^2+(a3y/2-a1)N(2n)+(y^2/4-a0)=(c1N(2n)+c0)^2,

这样，原方程就可分解为如下的两个方程,而分别求解：

N(2n)^2+(a3/2-c1)N(2n)+y/2-c0=0;

N(2n)^2+(a3/2+c1)N(2n)+y/2+c0=0;                         （5）

 

而且，由(c1N(2n)+c0)^2=c1^2N(2n)^2+2c1c0N(2n)+c0^2,就有：

c1^2=(a3/2)^2-a2+y,  2c1c0=a3y/2-a1, c0^2=y^2/4–a0,

2c1c0=2((a3/2)^2-a2+y)^(1/2)(y^2/4–a0)^(1/2)=a3y/2-a1，

c1=((a3/2)^2-a2+y)^(1/2),  c0=(y^2/4–a0)^(1/2),

2((a3/2)^2-a2+y)y^2/4-a0)=(a3y/2-a1)^2，

这就得到函数y的如下方程：

y^3-((a3/2)^2+a2)y^2+2a3a1y-2(a1^2+2a0)=0,                  (6)

这个y方程的次数也必然低于原方程，对此，可按3次方程求解，即令：

s=y-((a3/2)^2+a2)/3,  y=s+((a3/2)^2+a2)/3,                     (7)

以(7)代入方程(6)，将它简化为s^2的系数=0的形式。即：

s^3+b1s+b0=0,                                            (8)

b1=2a3a1+((a3/2)^2 +a2)^2/3,

b0=-2(a1^2+2a0)+((a3/2)^2+a2)2a3a1/3-2((a3/2)^2 +a2)^3/27,

即得s方程的解：

s0=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

s1=w1(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)

+w2(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3),

s2=w2(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)

+w1(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^3)^(1/2))^(1/3)，                       (9)

3次y方程的解为：

yj=sj+((a3/2)^2 +a2)/3; j=0,1,2,                                      (10)

以(10)代入方程(5)，只要满足2n=P(n1)+P(n2)的所有2n，P(n1)，都必然能得解。

即得到：对于大于2的，任意给定的偶数，直接求解如上简单的代数关系式，就必能求得至少一对P(n1)、P(n2)，满足2n=P(n1)+P(n2)。

因而，歌德巴赫猜想就完全得证。

 

5．对于给定的n，求满足2n=P(n1)+P(n2)。的P(n1)和P(n2)

 

当给定了n，满足2n=P(n1)+P(n2)中较小者P(n1)，必小于或等于n，较大者P(n2) 必小于或等于2n-P(n1)，而所有的素数都可由不能被比它小的全部素数整除来判定。

当n=2，就只能是P(n1)=P(n2)=2，当n=和>3，所有的素数就都是奇数，因而，对于不太大的n，就容易求得满足2n=P(n1)+P(n2)，的P(n1)和P(n2)。

由于素数不含“真因数”的特性，各素数前所缺奇数，就必然都是：小于该素数除以其中最小的“真因素”，3，的，两个或多个“真因素”的乘积。

显然，对于给定的素数，其前连续满足这种条件的奇数的几率必然很有限。

因此，大于3的全部奇数系列前，连续地不是素数的个数，虽然会随奇数的增大，而有所增加, 但是，其增加的数值，必然是：数量级地远小于素数本身数值的增长！

随着偶数的增大，两个素数之和等于该偶数的素数中的较小者，也必然是：数量级地远小于偶数本身数值的增长！

这些都已由10万，乃至100万，以内的全部素数和相应的偶数所证实。

因而，对于任何很大的，给定的n，都容易如上确定满足2n=P(n1)+P(n2)。的P(n1)和P(n2)。

对于很大的n，也容易按此规律编制程序由电脑计算求得。

例如：

n           P(n1)    P(n2)=2n-P(n1)

2           2        2

3           3        3

5           3        7

            5        5

6           5        7

7           3        11

            7        7

8           3        13

            5        11

9           5        13

            7        11

10          3        17

            7        13

11          3        19

            5        17

            11       11

13          3        23

            7        19

            13       13

 

。。。   。。。   。。。  

 

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999983       999983    999983

 

6．参考文献：

[1] 歌德巴赫猜想 潘承洞 潘承彪 科学出版社 1981

[2] 数论导引 华罗庚 科学出版社 1957

[3] “Asymptotic formula in combinatory analysis”, Hardy, G.H., Ramanujan, S., Proc. London Math. soc. (2) 17 (1918), 75-115.

[4] http://www.sciencenet.cn/u/可变系时空多线矢主人/