4维时空各维多线矢物理学（3）

5.4维时空位置(长度、距离)矢量的表达，及特性和量纲

(平直坐标)

(5,1)4维时空[1线矢]：

按我国古代哲人尸佼的精辟论点“上下四方曰宇(空间)，古往今来曰轴(时间)”，由现今狭义相对论采用的闵可夫斯基矢量表达为，

r(4)[1线矢]=ir0[0基矢]+r(3)[(3)基矢]，

时轴分量ir0[0基矢]，i是虚数符，单向，r0=vt，t是经历的时间，v是传播子速度，当传播子是光子或声子，v=(c或a*)，c或a*是所在介质中的光速或声速， (下同)、3维空间分量r(3)[(3)基矢]，+、-，双向，量纲：[L]，

其模长的平方：(几何特性)

r(4)^2=-((c或a*)t)^2+r(3)^2，有：1=-((c或a*)t/r(4))^2+(r(3)/r(4))^2，

令：(c或a*)t/r(4)=y/b，r(3)/r(4)=x/a，即有：

(x/a)^2-(y/b)^2=1，是以x、y为相互正交轴的双曲线，实轴长=2a；虚轴长=2b。

3维空间[1线矢]：+、-，双向，量纲：[L]，

r(3)[1线矢]={rj[j基矢],j=1到3求和}，其模长的平方：

r(3)^2=r1^2+r2^2+r3^2，有：1=(r1/r(3))^2+(r2/r(3))^2+(r3/r(3))^2，

令：r1/r(3)=x/a、r2/r(3)=y/b、r3/r(4)=z/c，即有：

(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1，是以x、y、z为相互正交轴的椭球，3个轴长分别为；2a、2b、2c。

3维空间[1线矢]或4维时空[1线矢]的3维空间部分，r(3)[(3)基矢]，可分别有1、2、3，维情况。

(5,2)微分：无限地分出某物理量部分至极限(我国古代哲人庄子，就举出了“一尺之棰日取其半永世不竭”)，量纲：该物理量的量纲，

da，a为任意[标量]，量纲：a的量纲

dA(n)[x线矢]，A(n)[x线矢]为任意n维x线矢，量纲：A的量纲，

(曲线坐标,曲时空，符合物体几何特性，容易选取积分条件，利于求积分！)

4维时空位置(长度、距离)[1线矢](如下图)表达为：

r(4)[1线矢]=ircosψ[0基矢]+(rsinψcosθ)[1基矢]

+(rsinψsinθcosφ)[2基矢]+(rsinψsinθsinφ)[3基矢]，

r(4)^2=-r0^2+r1^2+r2^2+r3^2=-(vt)^2+x^2+y^2+z^2

 =-(rcosψ)^2+(rsinψcosθ)^2+(rsinψsinθcosφ)^2

+(rsinψsinθsinφ)^2，

注意：图中，T是iVT，t是ivt，

dr(4)[1线矢]=(idrcosψ)[0基矢]+(rsinψdψcosθ)[1基矢]

+(rcosψsinθdθcosφ)[2基矢]+(rcosψcosθsinφdφ)[3基矢]，

dr(4)={-(drcosψ)^2+(rsinψdψcosθ)^2+(rcosψsinθdθcosφ)^2

+(rcosψcosθsinφdφ)^2}^(1/2)，

dr(3)[1线矢]=((drcosθ)[1基矢]+(rsinθdθcosφ)[2基矢]

+(rcosθsinφdφ)[3基矢]，模长，即，

3维空间微分长度：

dr(3)={(drcosθ)^2+(rsinθdθcosφ)^2+(rcosθsinφdφ)^2}^(1/2)，

当θ由0积分到π，r由a变到b；θ由π积分到2π，r由b变到a，φ由0积分到π，r由a+b变到c；φ由π积分到2π，r由c变到a+b积分为椭圆周长=2π(a+b+c)，

当r不变(r=a+b+c)，积分为相应的圆周长=2πr，(我国古代哲人祖冲之，就已用“截圆法”和普适的“勾、股、弦”，计算出圆周率π精确到7位有效数字，并与其儿子共同推导得出圆体积)

相应椭球各维的微分面积的公式，分别为：

12面：r^2sinψcosψdψcosθsinθdθcosφ

23面：r^2cosψ^2sinθcosθdθcosφsinφdφ

31面：^2sinψcosψdψcosθ^2sinφdφ

相应椭球各维的微分面积，分别为：

π(a^2+b^2)/2、π(b^2+c^2)/2、π(a^2+c^2)/2，

当r不变(r^2=a^2+b^2、b^2+c^2、a^2+c^2)，各相应的积分圆面积都=πr^2，

相应椭球表面的微分面积，为：

π(a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2)/2=π(a^2+b^2+c^2)，

当r不变(r^2=a^2+b^2+c^2)，相应的积分球表面面积=πr^2，

相应椭球的微分体积：

drr^2{ cosθsinθdθsinφdφ}

当θ由0积分到π，r由a变到b；θ由π积分到2π，r由b变到c，φ由0积分到π，r由c变到a；φ由π积分到2π，r由a变到b，积分为椭球体积=4π(a^3+b^3+c^3)/3，

当r不变r^3=(a^2+b^2+c^2)^(3/2)，积分为圆球体积=4πr^3/3，

这正是r(4)0<<r(4)(3c)的远程条件下，经典物理学3维空间，任何2个物体的封闭系统，在相应各力作用下，都是围绕其质量中心或电荷中心，作椭圆，特例为圆，的空间轨迹运动，例如：各行星与相应恒星的运动轨迹、氢原子与其电子的运动轨迹；任何3个以上物体的封闭系统，在相应力作用下，都是围绕其质量中心或电荷中心作椭球，特例为圆球，的空间轨迹运动，例如：各行星与相应的卫星、恒星的运动轨迹、各原子与其各电子的运动轨迹，的根本原因。

各高维的位置矢量，其中，奇数次时维，作为时间轴，偶数次时维，作为空间轴，处理。

位置r(4)[1线矢]=ir(4)0[0基矢]+r(4)j[j基矢],j=1到3求和[4个变量：r(4)0、r(4)j, j=1,2,3]，

=ir(4)0[0基矢]+r(4) (3)[(3)基矢]，i是虚数符，(2个变量：r(4)0、r(4)(3))，

r0=vt，v是传播子速度，t是传播子经历的时间，当传播子是光子或声子，vt=(c或a*) t， c或a*是所在介质中的光速或声速，t是光或声 经历的时间，(下同)

r(4)^2=-r0^2+r1^2+r2^2+r3^2=-(vt)^2+x^2+y^2+z^2，

r(4)={-r0^2+r(3)^2}^(1/2)，r0=vt，可简表为：

{(r(3)/a)^2-(vt/b)^2=1，a、b，分别为其2个半轴长的双曲线。

其3维空间部分，r(3)[(3)基矢]，可分别有如前的1、2、3，维椭圆(圆)周，2、3维椭圆(圆)面积，3维椭球(球)体积，情况。

当v(3)>>(c或a*),相应的时轴分量可以忽略，就只是3维空间的矢量。

在既非r(4)0<<r(4)(3)远程，又非r(4)0>>r(4)(3)近程，的一般条件下，就必须计及时、空各维。

曲线坐标表达为：曲时空

r(4)[1线矢]=ir(4)cosψ0[0基矢]+(r(4)sinψ0cosψ1)[1基矢]

+(r(4)sinψ0sinψ1cosψ2)[2基矢]+(r(4)sinψ0sinψ1sinψ2)[3基矢]，

r(4)={(ir(4)cosψ0)^2+(r(4)sinψ0cosψ1)^2+(r(4)sinψ0sinψ1cosψ2)^2

+(r(4)sinψ0sinψ1sinψ2)^2}^(1/2)，

{[(sinψ0sinψ1cosψ2/a2)^2+(sinψ0sinψ1sinψ2/a3)^2}+(sinψ0cosψ1/a1)^2]

-(cosψ0/a0)^2=1，为以ia0,a1,a2,a3，分别为相应各半轴长的双曲线，可简化表达为：

[可简化表达为：

r(4)={-(r(4)cosψ0)^2+(r(4)sinψ0cosψ1)^2}^(1/2)，其第2项代表了原式的后3项，

(sinψ0cosψ1/a1)^2-(cosψ0/a0)^2=1，为以ia0,a1，分别为相应各半轴长的双曲线，]，

相应双曲线微分长度表达为：

dr(4)[1线矢]=(idr(4)cosψ0)[0基矢]+(r(4)sinψ0dψ0cosψ1)[1基矢]

+(r(4)cosψ0sinψ1dψ1cosψ2)[2基矢]+(r(4)cosψ0cosψ1sinψ2dψ2)[3基矢]，

=(idr(4)cosψ0)[0基矢]+(r(4)cosψ0dψ0)[(3)基矢]，模长：

dr(4)={(idr(4)cosψ0)^2+(r(4)sinψ0dψ0cosψ1)^2+(r(4)cosψ0sinψ1dψ1cosψ2)^2

+(r(4)cosψ0cosψ1sinψ2dψ2)^2}^(1/2)

={(idr(4)cosψ0)^2+r(4)[(sinψ0dψ0cosψ1)^2+(cosψ0sinψ1dψ1cosψ2)^2

+(cosψ0cosψ1sinψ2dψ2)^2]}^(1/2)，

注意：在ψ0=0和π，此双曲线不连续，积分时，应扣除此2点。

ψ1由~0π积分到~π，r(4)由a1变到a2；ψ1由~π积分到~2π，r(4)由a2变到a3，ψ2由~2π积分到~3π，r(4)由a3变到ia0；ψ2由~3π积分到~4π，r(4)由ia0变到a1；

积分为双曲线周长=2π(-a0^2+a1^2+a2^2+a3^2)^(1/2)，(仅缺2点)

当r(4)不变，r(4)^2=-a0^2+a1^2+a2^2+a3^2，

积分为2直线(双折线)段长=2πr(4)，

相应ir(4)0、r(4)(3)，双曲线的微分面积：

12面：r^2sinψcosψdψcosθsinθdθcosφ

23面：r^2cosψ^2sinθcosθdθcosφsinφdφ

31面：r^2sinψcosψdψcosθ^2sinφdφ

01面：irdrsinψcosψdψcosθ

02面：irdrcosψ^2sinθdθcosφ

03面：irdrcosψ^2cosθsinφdφ

如此地积分(参看，长度和时空积的积分)，分别得到各相应的积分为双曲线间面积

=π(a0^1+a2^2、a2^2+a3^2、a3^2+a1^2、-a0^2+a1^2、-a0^2+a2^2、-a0^2+a3^2)/2，(各仅缺2点)

当r(4)不变r(4)^2=( a0^1+a2^2、a2^2+a3^2、a3^2+a1^2、-a0^2+a1^2、

-a0^2+a2^2、-a0^2+a3^2)，

积分为2直线(双折面)间面积=πr(4)^2，(仅缺2点)

整个双曲线表面的面积=π(a0^1+a2^2+a3^2-a0^2)，(仅缺各2点)

当r(4)不变(r(4)^2=a0^1+a2^2+a3^2-a0^2)，

积分为2直线(双折面)间面积=πr(4)^2，(仅缺2点)

各相应体积的体积分别是：

123体：r^3sinψcosψ^2dψsinθcosθ^2dθcosφsinφdφ

012体：ir^2dr sinψcosψ^2dψcosθsinθdθcosφ

023体：ir^2drcosψ^3sinθcosθdθcosφsinφdφ

031体：ir^2drsinψcosψ^2dψcosθ^2sinφdφ

如此积分(参看，长度和时空积的积分)，得到各自相应的体积分别为：

=4π(a1^2+a2^2+a3、-a0^2+a1^2+a2^2、-a0^2+a2^2+a3^2、-a0^2+a3^2+a1^2)^(3/2)/3，

当r(4)不变(r(4)^3=( a1^2+a2^2+a3^2、-a0^2+a1^2+a2^2、-a0^2+a2^2+a3^2、

-a0^2+a3^2+a1^2)^(3/2)，积分近似为2直线(双折体)间体积=4πr(4)^3/3，

整个双曲线整体的体积：

=4π(a1^2+a2^2+a3^2-a0^2)^(3/2)/3，

当r(4)不变(r(4)^3=(a1^2+a2^2+a3-a0^2)^(3/2)，积分近似为2直线(双折体)间体积=4πr(4)^3/3：

=r(4)^3dr(4)cosψ0^2sinψ0^2dψ0cosψ1^2sinψ1dψ1cosψ2^2dψ2，

ψ1由~0积分到~π，r(4)由a1变到a2；ψ1由~π积分到~2π，r(4)由a2变到a3，ψ1由~2π积分到~3π，r(4)由a3变到ia0,ψ1由~3π积分到~4π，r(4)由ia0变到a1；

ψ2由~4π积分到~5π，r(4)由a1变到a2；ψ2由~5π积分到~6π，r(4)由a2变到a3，ψ2由~6π积分到~7π，r(4)由a3变到ia0,ψ2由~7π积分到~8π，r(4)由ia0变到a1；

ψ0由~8π积分到~9π，r(4)由a1变到a2；ψ0由~9π积分到~10π，r(4)由a2变到a3，ψ0由~10π积分到~11π，r(4)由a3变到ia0,ψ0由~11π积分到~12π，r(4)由ia0变到a1；

积分为双曲线时空积=5π(a1^2+a2^2+a3^2-a0^2)^(4/2)/4，

当r(4)不变(r(4)^4=(a1^2+a2^2+a3^2-a0^2)^(4/2))，积分近似为(双折时空)间时空积=5πr(4)^4/4，

由此可见，在既非r(4)0<<r(4)(3)远程，又非r(4)0>>r(4)(3)近程，的一般条件下，粒子的运动轨迹是椭球型螺旋成双曲线2支组合的棒状。

而且，各粒子，实际上，都可能是，相应封闭系统包含的相应粒子团组合，这就表明：生物体“基因”DNA螺旋体结构，形成的物理机理。有重要的基础理论意义与实际应用。

(未完待续)