矢量运算，唯物辩证地，从3维空间发展为4维时空，到多维时空(10)

       (8,2) 各维时空矢量，曲线坐标，的几何特性

  平直坐标：

 4维时空矢量(1个虚[t基矢]、3个实[r(1)j基矢],j=1,2,3)：

位置r(4)[1线矢]=ir(4)0[0基矢]+r(4)j[j基矢],j=1到3求和[4个变量：r(4)0、r(4)j, j=1,2,3]，

=ir(4)0[0基矢]+r(4) (3)[(3)基矢]，i是虚数符，[2个变量：r(4)0、r(4)(3)]，

      r0=vt， v是传播子速度，t是传播子经历的时间，当传播子是光子或声子，vt=(c或a*) t， c或a*是所在介质中的光速或声速，t是光或声 经历的时间，(下同)

 r(4)^2=-r0^2+r1^2+r2^2+r3^2=-(vt)^2+x^2+y^2+z^2，

r(4)={-r0^2+r(3)^2}^(1/2)，r0=vt，可简表为：

{(r(3)/a)^2-(vt/b)^2=1，a、b，分别为其2个半轴长的双曲线。

其3维空间部分，r(3)[(3)基矢]，可分别有如前的1、2、3，维椭圆(圆)周，2、3维椭圆(圆)面积，3维椭球(球)体积，情况。

    当v(3)>> (c或a*),相应的 时 轴 分量可以忽略，就只是3维空间的矢量。

曲线坐标表达为：曲时空 

r(4)[1线矢]=ir(4)cosψ0[0基矢]+(r(4)sinψ0cosψ1)[1基矢]

+(r(4)sinψ0sinψ1cosψ2)[2基矢]+(r(4)sinψ0sinψ1sinψ2)[3基矢]，

r(4)={-(r(4)cosψ0)^2+(r(4)sinψ0cosψ1)^2+(r(4)sinψ0sinψ1cosψ2)^2

+(r(4)sinψ0sinψ1sinψ2)^2}^(1/2)，可简化表达为：

r(4)={-(r(4)cosψ0)^2+(r(4)sinψ0cosψ1)^2}^(1/2)，[其第2项代表了原式的后3项]

{[(sinψ0sinψ1cosψ2/a2)^2+(sinψ0sinψ1sinψ2/a3)^2}+(sinψ0cosψ1/a1)^2]

-(cosψ0/a0)^2=1，为以ia0,a1,a2,a3，分别为相应各半轴长的双曲线，可简化表达为：

(sinψ0cosψ1/a1)^2-(cosψ0/a0)^2=1，为以ia0,a1，分别为相应各半轴长的双曲线，

  各相应双曲线微分长度，分别表达为：

dr(4)[1线矢]=(idr(4)cosψ0)[0基矢]+(r(4)cosψ0dψ0cosψ1)[1基矢]

+(r(4)sinψ0cosψ1dψ1cosψ2)[2基矢]+(r(4)sinψ0sinψ1cosψ2dψ2)[3基矢]，

dr(4)[1线矢]=(idr(4)cosψ0)[0基矢]+(r(4)cosψ0dψ0)[(3)基矢]，

dr(4)={-(dr(4)cosψ0)^2+(r(4)cosψ0dψ0cosψ1)^2+(r(4)sinψ0cosψ1dψ1cosψ2)^2

+(r(4)sinψ0sinψ1cosψ2dψ2)^2}^(1/2)，可简化表达为：

dr(4)={-(dr(4)cosψ0)^2+(r(4)(3)cosψ0dψ0)^2}^(1/2)，[其第2项代表了原式的后3项]

{(r(4)(3)/a1)^2-(r(4)0/a0)^2=1，a1、ia0，分别为其2个半轴长的双曲线。

相应ir(4)0、r(4)(3)，双曲线的微分长度：

dr(4)={-(dr(4)cosψ0)^2+(r(4)cosψ0dψ0)^2}^(1/2)，

当ψ0由π%积分到99π%，r(4)由ia0变到a1； ψ0由99π%积分到2乘99π%，r(4)由a1变到ia0，

积分近似为双曲线周长=2π(-a0^2+a1^2) ^(1/2)，

当r(4)不变(r(4)^2=-a0^2+a1^2)，积分近似为2直线(双折线)段长=2πr(4)，

相应ir(4)0、r(4)(3)，双曲线的微分面积：

dr(4)0dr(4)(3)=r(4)dr(4)cosψ0^2dψ0，

当ψ0由π%积分到99π%，r(4) ^2由-a0^2变到a1^2； ψ0由99π%积分到2乘99π%，r(4)^2由a1^2变到-a0^2，

积分近似为双曲线面积=π(-a0^2+a1^2)，

当r(4)不变(r(4) ^2=-a0^2+a1^2)，

积分近似为2直线(双折面)间面积=πr(4) ^2，

(r(4) 1/a1)^2+(r(4) 2/a2)^2-(r(4)0/a0)^2=1，即：

(r(4) (2)/a(2))^2-(r(4)0/a0)^2=1，a1、a2、ia0，分别为其3个半轴长的双曲线。

相应ir(4)0、r(4)1、r(4)2，双曲线的微分长度：

dr(4)={-(dr(4)cosψ0)^2+(r(4)cosψ0dψ0cosψ1)^2

+(r(4)sinψ0cosψ1dψ1)^2}^(1/2)，

当ψ1由π%积分到99π%，r(4)由a1变到a2； ψ1由99π%积分到2乘99π%，r(4)由a2变到a1，当ψ0由π%积分到99π%，r(4)由ia0变到(a1^2+a2^2)^(1/2)； ψ0由99π%积分到2乘99π%，r(4)由(a1^2+a2^2)^(1/2)变到ia0，

积分近似为双曲线周长=2π(-a0^2+a1^2+a2^2) ^(1/2)，

当r(4)不变(r(4)=(-a0^2+a1^2+a2^2) ^(1/2))，

积分近似为2直线(双折线)段长=2πr(4)，

相应ir(4)0、r(4)1、r(4)2，双曲线的微分面积：

dr(4)0dr(4)1dr(4)2=r(4)^2dr(4)cosψ0^2sinψ0dψ0cosψ1^2dψ1，

当ψ1由π%积分到99π%，r(4) ^2由a1^2变到a2^2； ψ1由99π%积分到2乘99π%，r(4) ^2由a2^2变到a1^2，当ψ0由π%积分到99π%，r(4) ^2由-a0^2变到a1^2+a2^2； ψ0由99π%积分到2乘99π%，r(4) ^2由a1^2+a2^2变到=-a0^2，

积分近似为双曲线面积=π(-a0^2+a1^2+a2^2)，

当r(4)不变(r(4)^2=-a0^2+a1^2+a2^2)，积分近似为2直线(双折面)间面积=πr(4)^2，

相应ir(4)0、r(4)1、r(4)2，双曲线的微分体积：

dr(4)0dr(4)1dr(4)2=r(4)^2dr(4)cosψ0^2sinψ0dψ0cosψ1^2dψ1，

当ψ1由π%积分到99π%，r(4)^3由a1^3变到a2^3； ψ1由99π%积分到2乘99π%，r(4)^3由a2^3变到a1^3，当ψ0由π%积分到99π%，r(4)^3由-ia0^3变到(a1^2+a2^2)^(3/2)； ψ0由99π%积分到2乘99π%，r(4)^3由(a1^2+a2^2)^(3/2)变到-ia0^3，

积分近似为双曲线体积=3π(-a0^2+a1^2+a2^2)^(3/2)/4，

当r(4)不变(r(4)^3=(-a0^2+a1^2+a2^2)^(3/2))，

积分近似为2直线(双折体)间体积=3πr(4) ^3/4，

        新华网发展论坛2020年6月9日14时23分

dr(4)0dr(4)1dr(4)2dr(4)3

=r(4)^3dr(4)cosψ0^2 sinψ0^2dψ0cosψ1^2 sinψ1dψ1cosψ2^2dψ2，

当ψ2由π%积分到99π%，r(4)由a2变到a1； ψ2由99π%积分到2乘99π%，r(4)由a1变到a2，当ψ1由π%积分到99π%，r(4) ^4由a1^4变到 (a2^2+a1^2)^(4/2)；ψ1由99π%积分到2乘99π%，r(4) ^4由(a2^2+a1^2)^(4/2)变到a1^4，当ψ0由π%积分到99π%，r(4) ^4由a0^4变到(a2^2+a1^2-a0^2)^(4/2)，ψ0由99π%积分到2乘99π%，r(4) ^4由(a2^2+a1^2-a0^2)^(4/2)变到a0^3，

积分近似为双曲线体积=4π(a2^2+a1^2-a0^2)^(4/2)/5，

当r(4)不变(r(4)^4=(a2^2+a1^2-a0^2)^(4/2))，积分近似为(双折时空)间时空积=4πr(4)^4/5，

相应ir(4)0、r(4)1、r(4)2、r(4)3，双曲线的微分长度：

dr(4)={-(dr(4)cosψ0)^2+(r(4)cosψ0dψ0cosψ1)^2+(r(4)sinψ0cosψ1dψ1cosψ2)^2

+(r(4)sinψ0sinψ1cosψ2dψ2)^2}^(1/2)，

当ψ2由π%积分到99π%，r(4)由a2变到a3； ψ2由99π%积分到2乘99π%，r(4)由a3变到a2，ψ1由π%积分到99π%，r(4)由a1变到(a1^2+a2^2)^(1/2)； ψ1由99π%积分到2乘99π%，r(4)由(a1^2+a2^2)^(1/2)变到a1，当ψ0由π%积分到99π%，r(4)由ia0变到(a1^2+a2^2+a3^2)^(1/2)； ψ0由99π%积分到2乘99π%，r(4)由(a1^2+a2^2+a3^2)^(1/2)变到ia0，

积分近似为双曲线周长=2π(-a0^2+a1^2+a2^2+a3^2)^(1/2)，

当r(4)不变，a0=a1=a2=a3， (r(4)=(-a0^2+a1^2+a2^2+a3^2)^(1/2))，

积分近似为2直线(双折线)段长=2πr(4)，

相应ir(4)0、r(4)1、r(4)2、r(4)3，双曲线的微分面积：

dr(4)0dr(4)(2)=r(4)^2dr(4)cosψ0^2sinψ0dψ0cosψ1^2dψ1，

当ψ1由π%积分到99π%，r(4) ^2由a1^2变到a2^2； ψ1由99π%积分到2乘99π%，r(4) ^2由a2^2变到a1^2，当ψ0由π%积分到99π%，r(4) ^2由a0^2变到a1^2+a2^2； ψ0由99π%积分到2乘99π%，r(4) ^2由a1^2+a2^2变到a0^2，

积分近似为双曲线面积=π(a0^2+a1^2+a2^2)，

当r(4)不变(r(4)^2= a0^2+a1^2+a2^2)，积分近似为2直线(双折线)间面积=πr(4) ^2，

相应r(4)0、r(4)1、r(4)2、r(4)3，双曲线的微分体积：

dr(4)0dr(4)1dr(4)2

=r(4)^3dr(4)cosψ0^2 sinψ0^2dψ0cosψ1^2 sinψ1dψ1cosψ2^2dψ2，

当ψ2由π%积分到99π%，r(4) ^3由a2^3变到a1^3； ψ2由99π%积分到2乘99π%，r(4) ^3由a1^3变到a2^3，当ψ1由π%积分到99π%，r(4) ^3由a1^3变到 (a2^2+a1^2)^(3/2)；ψ1由99π%积分到2乘99π%，r(4) ^3由(a2^2+a1^2)^(3/2)变到a1^3，当ψ0由π%积分到99π%，r(4) ^3由a0^3变到(a2^2+a1^2+a0^2)^(3/2)，ψ0由99π%积分到2乘99π%，r(4) ^3由(a2^2+a1^2+a0^2)^(3/2)变到a0^3，

积分近似为双曲线体积=3π(a2^2+a1^2+a0^2)^(3/2)/4，

当r(4)不变(r(4^3=(a2^2+a1^2+a0^2)^(3/2))，

积分近似为(双折线)间体积=3πr(4)^3/4，

相应r(4)0、r(4)1、r(4)2、r(4)3，双曲线的微分时空积：

dr(4)0dr(4)1dr(4)2dr(4)3

=r(4)^3dr(4)cosψ0^2sinψ0^2dψ0cosψ1^2sinψ1dψ1cosψ2^2dψ2,

当ψ2由π%积分到99π%，r(4)^4由a2^4变到a1^4； ψ2由99π%积分到2乘99π%，r(4)^4由a1^4变到a2^4，当ψ1由π%积分到99π%，r(4)^4由a1^4变到 (a2^2+a1^2)^(4/2)；ψ1由99π%积分到2乘99π%，r(4)^4由(a2^2+a1^2)^(4/2)变到a1^4，当ψ0由π%积分到99π%，r(4)^4由a0^4变到(-a2^2+a1^2+a0^2)^(4/2)，ψ0由99π%积分到2乘99π%，

r(4)^4由(-a2^2+a1^2+a0^2)^(4/2)变到a0^4，

积分近似为双曲线时空积=4π(a2^2+a1^2-a0^2)^(4/2)/5，

当r(4)不变(r(4)^4(a2^2+a1^2-a0^2)^(4/2))，

积分近似为(双折时空间时空积=4πr(4)^4/5，

  (未完待续)