各维矢量的矢量运算，及各相应的各种力矢量（修改版）

    （本文暂不讨论与导出“各种力矢量”无关的问题）

       (1) 3维空间的矢量

经典物理学，按“绝对时间概念”，认为：一切物理量都只是3维“空间”的矢量，“时间”与参考系无关，只是各维空间分量的参变量，因而：

任意3维矢量：A(3)[1线矢]={Aj[j基矢],j=1到3求和}，

其模长：A(3)={A(3)j^2,j=1到3求和}^(1/2)，其量纲：[L]

 各种3维矢量都可以有1维(j=1)、2维(j=1到2求和)、3维(j=1到3求和)空间的3种矢量和模长。

3维空间[1线矢]的矢算：

A(3)[1线矢]叉乘B(3)[1线矢]=与2者正交的C(3)[1线矢]， 

  Cj=AkBl-AlBk,jkl=123循环求和，

 A(3)[1线矢]点乘B(3)[1线矢]=D[标量]，  

D=A1B1+A2B2+A3B3，

 (因而，3维空间只有1线矢和标量)

3维空间位置r(3)[1线矢]

={r(3)j[基矢j],j=1到3求和}，其模长：

r(3)={r(3)j^2,j=1到3求和}^(1/2)，其量纲：[L]

3维空间任意矢量A(3)[1线矢]的时间导数

=(d A(3)/dt)[1线矢]，其量纲：[L]/[T]，

时间导数的量纲：[T]^(-1)

     各物理量的量纲可由3个基本量纲：3维空间长度r(3)[L]、时间t[T]、质量m[M]，统一表达，相同量纲的物理量，就有相同的基本物理属性。例如：

3维空间速度v(3)[1线矢]

=3维空间位置r(3)[1线矢]的时间导数

=(d r(3)/dt)[1线矢]={v(3)j[基矢j],j=1到3求和}，

其模长：v(3)={v(3)j^2,j=1到3求和}^(1/2)，

其量纲：[L][T]^(-1)，

3维空间动量p(3)[1线矢]

=质量m乘 3维空间速度v(3) [1线矢]

=m{v(3)j[基矢j],j=1到3求和}，

其模长：p(3)={p(3)j^2,j=1到3求和}^(1/2)，

其量纲：[M][L][T]^(-1)

3维空间运动力f动(3) [1线矢]

=3维空间动量[1线矢]的时间导数

   =(dp(3)/dt)[1线矢]={f动(3)j[基矢j],j=1到3求和}，

其模长：f动(3)={f动(3)j^2,j=1到3求和}^(1/2)，

其量纲：[M][L][T]^(-2)

3维空间任意矢量A(3)[1线矢]的偏分=偏分(3)[1线矢]

={(偏A(3)l/偏r(3)k)[基矢j],jkl=123循环求和}，

其模长：偏A(3)={(偏A(3)l/偏r(3)k)^2

,jkl=123循环求和}^(1/2)

其量纲：A(3)的量纲乘[L]^(-1)

偏分(3)[1线矢]的量纲： [L]^(-1)，

3维空间自旋s(3)[1线矢]

=偏分(3)[1线矢]叉乘 3维空间动量[1线矢]

={(偏p(3)l/偏r(3)k)[j基矢],jkl=123循环求和}，

其模长：s(3)={(偏p(3)l/偏r(3)k)^2

, jkl=123循环求和}^(1/2)，

其量纲：[M][T]^(-1)，

3维空间自旋力fs(3)[1线矢]

=v(3)[1线矢]叉乘s(3)[1线矢]

  ={v(3)j(偏p(3)l/偏r(3)k)[j基矢],jkl=123循环求和}，

其模长：fs(3)={(v(3)j偏p(3)l/偏r(3)k)^2

, jkl=123循环求和}^(1/2)，

其量纲：[M][L][T]^(-2)，

3维空间带电荷q1的粒子距r(3)处的电势S(3)电[1线矢]

  = q1[1线矢]/r(3)，

q1对q2的电力f(3)电=q2电势S(3)电[1线矢]的时间导数

=q1q2v(3)[1线矢]/r(3)^2，

q1对q2的磁力f(3)磁

=q2v(3)[1线矢]叉乘

{(偏分(3)[1线矢]叉乘电势S(3)电[1线矢])}

=q1q2v(3)[1线矢]叉乘[1线矢*]/r(3)^2

=q1q2v(3)[1线矢*]/r(3)^2，

([1线矢]与[1线矢*]彼此正交)

f(3)电或f(3)磁，的量纲：[M][L][T]^(-2),

电量q的量纲：[M]^(1/2)[L]/[T]^(1/2)，

质量为m1的粒子距r(3)处的引力势s(3)引[标量]

 =k m1[标量]/r(3)

质量为m1与m2粒子的引力f(3)引

=引力势s(3)引的偏分(3)[1线矢]

=km1m2[1线矢]/r(3)^2，

（引力只是3维空间的力，也只是3维空间有引力）

由m2a(3)=m2d^2r(3)/dt^2=km1m2[1线矢]/r(3)^2，即导出：引力常量k的量纲：[L]^3/(T]^2[M])，

实际上，由量纲分析，就统一了运动力与引力，的质量m。

引力常量k[约=6.685x10^(-8) [厘米]^3/([克][秒]^2)] 很小，因而，引力与f(3)电或f(3)磁相比，都可以忽略。

迈克尔逊光学实验表明：3维空间矢量牵引运动必然的伽利略变换，不成立，引起经典物理学的危机，由相对论，打破“绝对时间”观念，采用“闽可夫斯基矢量”，表达物体的时空位置，就很好地符合实验，解决了问题。即得出:

任意的时空A(4)[1线矢]={A0[0基矢]+Aj[j基矢],j=1到3求和}，

 时空[1线矢]可以有2维(j=1)、3维(j=1到2求和)、4维(j=1到3求和)时空的3种矢量和模长。

时空位置r(4)[1线矢]={r0[0基矢]+rj[j基矢],j=1到3求和}，

其中，r0=i(c或a*)t，虚数符i=(-1)^(1/2)，标志时轴与各空间轴正交，c、a*，分别是所在介质的，光速、声速，t是经历的时间，（本文暂不讨论与(c或a*)有关的具体问题）

       时空各矢量的矢算：

A(4)[1线矢]叉乘B(4)[1线矢]=2者组合的AB(6)[2线矢]

=AB0j[0j基矢]+ABkl[kl基矢],jkl=123循环求和，

 时空[2线矢]可以有1维(j=1)、3维(j=1到2求和)、6维(j=1到3求和)时空的3种矢量和模长。

 A(4)[1线矢]点乘B(4)[1线矢]=D[标量]，  

     AB0j=A0Bj-AjB0, ABkl=AkBl-AlBk, jkl=123循环求和，

D=A0B0+A1B1+A2B2+A3B3， 

AB(6)[2线矢]叉乘C(4)[1线矢]=ABC(4)[3线矢]

=ABC00j[00j基矢]+ABC0kl[0kl基矢], jkl=123循环，

                           A0B0Cj               

 ABC00j=行列式AjB0C0， 

A0BjC0

A0BkCl

  ABC0kl=行列式AlB0Ck，  jkl=123循环求和，           

                AkBlC0

 时空[3线矢]可以有1维(j=1)、3维(j=1到2求和)、6维(j=1到3求和)时空的3种矢量和模长。

AB(6)[2线矢]点乘C(4)[1线矢]=D(4)[1线矢]，

D=AB0jCj+AB0jC0+ABklCl+ABklCk， jkl=123循环求和，

AB(6)[2线矢]叉乘CD(6)[2线矢]=AB,CD(15)[22线矢]

   =AB,CD0j,0k[0j0k基矢]+AB,CD0j,kl[0j,kl基矢]

+AB,CD0j,lj[0j,lj基矢]+AB,CDjk,kl[jk,kl基矢]

+AB,CDjk,lj[jk,kl基矢],  jkl=123循环求和，

AB,CD0j,0k=AB0j,CD0k-AB0k,CD0j，

AB,CD0j,kl=AB0j,CDkl-ABkl,CD0j，

AB,CD0j,lj=AB0j,CDlj-ABlj,CD0j，

AB,CDjk,kl=ABjk,CDkl-ABkl,CDjk，

AB,CDjk,lj=ABjk,CDlj-ABlj,CDjk， jkl=123循环求和，

 时空[22线矢]可以有5维(j=1到2求和)、15维(j=1到3求和)时空的2种矢量和模长。

AB(6)[2线矢]点乘CD(6)[2线矢]=E[标量]，E=AB0j,CD0j+ABkl,CDkl],  jkl=123循环求和，

AB,CD(15)[22线矢]叉乘E(4)[1线矢]=(AB,CD)E(12)[22,1线矢]

  =(AB,CD)E(0j,0k)l[(0j0k)l基矢]+(AB,CD)E(0j,jk)l[(0j,jk)l基矢]

+(AB,CD)E(0j,lj)k[(0j,lj)k基矢]+(AB,CD)E(kl,lj)0[(kl,lj)0基矢]

，jkl=123循环求和，              

(AB,CD)E(0j,0k)l=(AB0j,CD0k-AB0k,CD0j)El，(AB,CD)E(0j,jk)l=(AB0j,CDjk-ABjk,CD0j)El，(AB,CD)E(0j,lj)k=(AB0j,CDlj-ABlj,CD0j)Ek，

(AB,CD)E(kl,lj)0=(ABkl,CDlj-ABlj,CDkl)E0， jkl=123循环求和，

 时空[22,1线矢]只有12维(j=1到3求和)时空的1种矢量和模长。

AB,CD(15)[22线矢]点乘E(4)[1线矢]=(AB,CD).E(12)[22.1线矢] 

  =(AB,CD).E(0j,0k).0[(0j0k).0l基矢]

+(AB,CD).E(0j,jk).j[(0j,jk).j基矢]

+(AB,CD).E(0j,lj).j[(0j,lj).j基矢]

+(AB,CD).E(kl,lj).l[(kl,lj).l基矢]，              

(AB,CD).E(0j,0k),0=(AB0j,CD0k-AB0k,CD0j).E0，(AB,CD).E(0j,jk).j=(AB0j,CDjk-ABjk,CD0j).Ej，(AB,CD).E(0j,lj).j=(AB0j,CDlj-ABlj,CD0j).Ej，

(AB,CD).E(kl,lj).l=(ABkl,CDlj-ABlj,CDkl).El，jkl=123循环求和，

 时空[22.1线矢]只有12维(j=1到3求和)时空的1种矢量和模长。

AB,CD(15)[22线矢]叉乘EF(6)[2线矢]=G[标量]， 

               AB0jCDklEFlj

G=行列式ABljCD0jEFkl， jkl=123循环求和，

               ABklCDljEF0j

AB,CD(15)[22线矢]叉乘EF,GH(15)[22线矢]

=(AB,CD)(EF,GH)(90)[22,22线矢]

={(AB,CD)(EF,GH)((0j,0k)(0k,0l))[(0j,0k)(0k,0l)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,0k)(0k,lj)) [(0j,0k)(0k,lj)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,0k)(0k,jk))[(0j,0k)(0k,jk)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,0k)(0k,kl))[(0j,0k)(0k,kl)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,0l)(0k,0l))[(0j,0l)(0k,0l)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,0l)(0k, lj))[(0j,0l)(0k,lj)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,0l)(0k,jk))[(0j,0l)(0k,jk)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,0l)(0k,kl))[(0j,0l)(0k,kl)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,0k)(0k, jk))[(0j,0k)(0k,jk)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,0k)(0k,kl))[(0j,0k)(0k,kl)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,0k)(0k,lj))[(0j,0k)(0k,lj)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,0l)(0k,jk))[(0j,0l)(0k,jk)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,0l)(0k,kl))[(0j,0l)(0k,kl)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,0l)(0k,lj))[(0j,0l)(0k,lj)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,kl)(0k,lj)[(0j,kl)(0k,lj)基矢]

+(AB,CD)(EF,GH)((0j,kl)(0k,jk))[(0j,kl)(0k,jk)基矢]

+(AB,CD)(EF,GH)((0j,kl)(0k,kl))[(0j,kl)(0k,kl)基矢]

+(AB,CD)(EF,GH)((0j,lj)(0k,lj))[(0j,lj)(0k,lj)基矢]

+(AB,CD)(EF,GH)((0j,lj)(0k,jk))[(0j,lj)(0k,jk)基矢]

+(AB,CD)(EF,GH)((0j,lj)(0k,kl))[(0j,lj)(0k,kl)基矢]

+(AB,CD)(EF,GH)((0j,jk)(0k,lj))[(0j,jk)(0k,lj)基矢]

+(AB,CD)(EF,GH)((0j,jk)(0k,jk))[(0j,jk)(0k,jk)基矢]

+(AB,CD)(EF,GH)((0j,jk)(0k,kl))[(0j,jk)(0k,kl)基矢]

  +(AB,CD)(EF,GH)((0j,kl)(kl,lj)[(0j,kl)(kl,lj)基矢]

+(AB,CD)(EF,GH)((0j,kl)(kl,jk))[(0j,kl)(kl,jk)基矢]

+(AB,CD)(EF,GH)((0j,lj)(kl,lj))[(0j,lj)(kl,lj)基矢]

+(AB,CD)(EF,GH)((0j,lj)(kl,jk))[(0j,lj)(kl,jk)基矢]

+(AB,CD)(EF,GH)((0j,jk)(kl,lj))[(0j,jk)(kl,lj)基矢]

+(AB,CD)(EF,GH)((0j,jk)(kl,jk))[(0j,jk)(kl,jk)基矢]

+(AB,CD)(EF,GH)((kl,lj)(kl,jk))[(kl,lj)(kl,jk)基矢]

,jkl=123循环求和}，

 时空[22,22线矢]可以有9维(j=1到2求和)、90维(j=1到3求和)时空的2种矢量和模长。

AB,CD(15)[22线矢]点乘EF,GH(15)[22线矢]=I[标量]，

I={(AB0j,CD0k)(EF0j,GH0k)+(AB0j,CD0l)(EF0j,GH0l)

  +(AB0j,CDkl)(EF0j,GHkl)+(AB0j,CDlj)(EF0j,GHlj)

+(AB0j,CDjk)(EF0j,GHjk)+(ABkl,CDlj)(EFkl,GHlj)

+(ABkl,CDjk)(EFkl,GHjk),jkl=123循环求和}，

(AB,CD)(EF,GH)(90)[22,22线矢]叉乘I(4)[1线矢]

 =(AB,CD)(EF,GH)I(3)[(22,22)1线矢]

={(ABkl,CDjk)(EFkl,GHjk)0[(kl,lj)(kl,jk)0基矢],jkl=123循环求和}，

 时空[(22,22)1线矢]只有3维(j=1到3求和)时空的1种矢量和模长。

(AB,CD)(EF,GH)(90)[22,22线矢]点乘I(4)[1线矢]

 =(AB,CD)(EF,GH)I(3)[(22,22).1线矢]

={(ABkl,CDjk)(EFkl,GHjk)j[(kl,lj)(kl,jk)j基矢],jkl=123循环求和}，

 时空[(22,22).1线矢]只有3维(j=1到3求和)时空的1种矢量和模长。

(AB,CD)(EF,GH)(90)[22,22线矢]叉乘IJ(6)[2线矢]

  =((AB,CD)(EF,GH))IJ(270)[(22,22)2线矢]，

((AB,CD)(EF,GH))IJ(270)[(22,22)2线矢]的各分量都已包含[2线矢]的全部各分量，已不能构成任何更高次的矢量，而它本身又不可能成为具有力量纲的矢量，因此，只有此前的各个矢量，可能成为具有力量纲的矢量。

    各n维力矢量的量纲都是： [M][L]/[T]^2,

r(4)[1线矢]=r0[1基矢]+r(3)[(3)基矢]，

f(4运动) [1线矢]=dP(4)[1线矢]/dt=md^2r(4)[1线矢]/dt^2，

     （本文暂不讨论：各维矢量的，静止质量、运动质量，以及电中性、带电，粒子在不同能级间跃迁，分别辐射声子、光子，以及大量相应粒子分别形成，振动波、电磁波、声波光波，以及各种力做功、能量关系，等问题）

f(6自旋)[3线矢]

=v(4)[1线矢]叉乘(偏分[1线矢]叉乘P(4)[1线矢])，

实际上是3维空间彼此正交的的运动力与离心力，之和，表明：它们是电中性粒子时空自旋运动的，6维的，统一特性。

f(6电磁)[3线矢]

=q2v(4)[1线矢]叉乘(偏分[1线矢]叉乘(q1/r(4))[1线矢])，

实际上是3维空间彼此正交的的电力与磁力，之和，表明：它们是带电粒子时空自旋运动的，6维的，统一特性。

   f(6自旋)[3线矢]、f(6电磁)[3线矢]，都可表达为：

r(6)[2线矢]={r0rj[0j基矢]+rkrl[kl基矢],jkl=123循环求和}，

p(6)[2线矢]=mdr(6)[2线矢]/dt，

f(6运动)[2线矢]= dp(6)[2线矢]/dt，

f(12强自旋)[22,1线矢]

=v(4)[1线矢]叉乘{(偏分[1线矢]叉乘r(4)[1线矢])

叉乘(偏分[1线矢]叉乘P(4)[1线矢])}，

f(12强电磁)[22,1线矢]

=q2v(4)[1线矢]

叉乘{[(偏分[1线矢]叉乘r(4)[1线矢])

叉乘(偏分[1线矢]叉乘(q1/r(4))[1线矢])}，

f(12弱自旋)[22.1线矢]

=v(4)[1线矢]点乘{(偏分[1线矢]叉乘r(4)[1线矢])

叉乘(偏分[1线矢]叉乘P(4)[1线矢])}，

f(12弱电磁)[22.1线矢]

=q2v(4)[1线矢]点乘{(偏分[1线矢]叉乘r(4)[1线矢])

叉乘(偏分[1线矢]叉乘(q1/r(4))[1线矢])}，

其实，通常所谓强力、弱力，实际上，分别有：f(12强自旋)[22,1线矢]、f(12强电磁)[22,1线矢]、f(12弱自旋)[22.1线矢]、f(12弱电磁)[22.1线矢] ，4种，它们的位置矢、力矢，都可分别表达为：

r(12)[22,1线矢]={rkl,lj,0 [kl,lj,0基矢] +rkl,jk,0 [kl,jk,0基矢]

+rkl,kl,0 [kl,kl,0基矢]+r0k,0l,j [0k,0l,j基矢],jkl=123循环求和}，

p(12)[22,1线矢]=mdr(12)[22,1线矢]/dt，

f(12运动)[22,1线矢]=dp(12)[22,1线矢]/dt，

    由时空矢算和相应的量纲分析，可知还有如下4种力：

f(3强自旋)[(22,22)1线矢]

=r(4)[1线矢]叉乘{[(偏分[1线矢]叉乘r(4)[1线矢])

叉乘(偏分[1线矢]叉乘P(4)[1线矢])]

叉乘[(偏分[1线矢]叉乘r(4)[1线矢])

叉乘(偏分[1线矢]叉乘v(4)[1线矢])]},

f(3弱自旋)[(22,22)1线矢]

=r(4)[1线矢]点乘{[(偏分[1线矢]叉乘r(4)[1线矢])

叉乘(偏分[1线矢]叉乘P(4)[1线矢])]

叉乘[(偏分[1线矢]叉乘r(4)[1线矢])

叉乘(偏分[1线矢]叉乘v(4)[1线矢])]},

f(3强电磁)[(22,22)1线矢]

=q2r(4)[1线矢]

叉乘{[(偏分[1线矢]叉乘r(4)[1线矢])

叉乘(偏分[1线矢]叉乘(q1/r(4))[1线矢])]

叉乘[(偏分[1线矢]叉乘r(4)[1线矢])

叉乘(偏分[1线矢]叉乘(1/r(4))[1线矢])]}，

f(3弱电磁)[(22,22)1线矢]

=q2r(4)[1线矢]

点乘{[(偏分[1线矢]叉乘r(4)[1线矢])

叉乘(偏分[1线矢]叉乘(q1/r(4))[1线矢])]

叉乘[(偏分[1线矢]叉乘r(4)[1线矢])

叉乘(偏分[1线矢]叉乘(1/r(4))[1线矢])]}，

f(3强自旋)[22,1线矢]、f(3强电磁)[22,1线矢]、f(3弱自旋)[22.1线矢]、f(3弱电磁)[22.1线矢]，的位置矢、力矢，都可分别表达为：

r(3新)[(22,22)1线矢]={(rkrl,rjrk)(rkrl,rjrk)r0[(kl,lj)(kl,jk)0基矢],jkl=123循环求和}，

p(3新)[(22,22)1线矢]=md r(3新)[(22,22)1线矢]/dt，

f(3新运动)[ (22,22)1线矢]=dp(3新)[ (22,22)1线矢]/dt，

   由以上可见，只要知道，各维的时空位置矢量，导出相应的动量矢量，得出静止质量与运动质量的关系式，就能由时空矢算导出确定相应的各种物理矢量和标量，这为各维矢量由各应的位置矢量和动量矢量组成相宇，按大量粒子的几率特性进行统计，创造了条件。

    各维的位置矢和力矢，结合物质元包晶格特性，还形成相应的拉伸、切变，的弹、塑性，的力，和相应的应力、应变。

   f(3新运动)[ (22,22)1线矢]是现今通常认识的4种自然力矢量：引力、电磁力、强力弱力，之外的力，虽然，时而有实验分析，可能有第5种力，但都不能肯定。

最近(2019年11月20日)，英国《独立报》网站报道: 匈牙利科学院核研究所的科学家们相信：根据对被命名为X17粒子(它的质量经计算为17兆电子伏特)衰变过程，有关粒子表现出的受力特殊性，可能已经找到了证明此前未知的自然界第五种基本力量存在的更有力证据，并认为：它可能会改变我们对宇宙运行方式的理解，这是一种“将可见世界与暗物质联系起来”的能量。

其实，第5种力，必然是如上4种f(3新运动)[(22,22)1线矢]的一种，当然不会是根本不存在的所谓“反引力的‘暗能量’”。

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