一切物体的基本特性和运动规律 (2)

    (接(1))

二．引力，以及引力的封闭系统

1.     每个粒子3维空间速度及加速度的表达

时间导数=d/dt，

速度v(3A)[1线矢]=r(3A)[1线矢]的时间导数

  =(dr(3A)/dt)[1线矢]

={v(3A)j[基矢j],j=1到3求和}，其模长：

v(3A)={v(3A)j^2,j=1到3求和}^(1/2)，

量纲：[ L] [T]^(-1)

加速度a(3A)[1线矢]=v(3A)[1线矢]的时间导数

=(dv(3A)/dt)[1线矢]=(d^2r(3A)/dt^2)[1线矢]

={a(3A)j[基矢j],j=1到3求和}，其模长：

a(3A)={a(3A)j^2,j=1到3求和}^(1/2)，

量纲： [L] [T]^(-2)

10.  每个粒子间3维空间动量及运动力的表达

动量p(3A)[1线矢]=mv(3A)[1线矢]

={p(3A)j[基矢j],j=1到3求和}，其模长：

p(3A)={p(3A)j^2,j=1到3求和}^(1/2)，

量纲：[M][L][T]^(-1)

运动力f动(3A)[1线矢]=p(3A)[1线矢]的时间导数

=(dp(3A)/dt)[1线矢]=(md^2r(3A)/dt^2)[1线矢]

={f动(3A)j[基矢j],j=1到3求和}，其模长：

f动(3A)={ f动(3A)j^2,j=1到3求和}^(1/2)，

量纲：[M][L] [T]^(-2)

11. 引力只是3维空间的力

2个粒子，M、m，间相互作用的，

引力势(3Mm)[标量]=kMm[标量]/r(3Mm)

=kMm/(r(3Mm)j^2,j=1到3求和)^1/2，

其中，r(3Mm)[1线矢]是以M的质量中心为坐标中心，到m的

质量中心的距离。

量纲：[M][L]^(2) [T]^(-2)

k的量纲：[M]^(-1)[L]^3 [T]^(-2)

引力(3Mm)[1线矢]=引力势(3Mm)的梯度(3)(1线矢)

=偏分(3)引力势(3Mm)(1线矢)

={偏(kMm/(r(3Mm)j^2,j=1到3求和)^1/2)[基矢j]/偏r(3Mm)j

,j=1到3求和}

=kMm{r(3Mm)j[基矢j],j=1到3求和}/(r(3Mm)j^2

,j=1到3求和)^(3/2)}，

量纲：[M][L] [T]^(-2)

引力势、引力，都仅为3维空间的物理量。

k是引力常量约=6.685x10^(-8) [厘米]^3/([克][秒]^2)

=6.685x10^(-38) [千亿米]^3/([千克][秒]^2)，    

c是真空中光速，约=3x10^5[千米]/[秒]，

m粒子受M粒子引力的运动方程：

由m粒子运动力和M、m粒子的引力构成，即：

mg(3Mm)[1线矢] =kMm{{r(3Mm)j[基矢j],j=1到3求和}

/(r(3Mm)j^2,j=1到3求和)^(3/2)}

=kMm[1线矢]/r(3Mm)^2，有：

M=g(3Mm)r(3Mm)^2/k，

g是m粒子质量中心距M粒子质量中心为r(3Mm)时，m粒子受

M粒子的引力加速度。

g的量纲:  [L][T]^(-2)，

r(3AB)牵引位置变换为r(3BA)

AB牵引位置r(3AB)[1线矢]= AB距离r(3AB)[1线矢]

12.  2个粒子A与B间引力运动方程(忽略其它粒子引力的粗估)

     (1) 由2个粒子A与B的引力运动方程解得其运动轨迹是2维平面空间的椭圆

以A质量中心为坐标系中心，A与B，2粒子的2维空间距离[1线矢]的表达式：

r(2) AB[1线矢]=r1AB [1基矢]+r2 AB [2基矢]，有：

r(2) AB^2=r1AB ^2+r2 AB^2，

r(2) AB、r1AB 、r2 AB，3者中，已知任意2个，可确定另1个。

半长轴=a、半短轴=b，B坐标为x、y，绕A和B的质量中心的椭园方程：

(ax)^2+(by)^2=1,   ax=r1AB/r(2) AB, by=r2AB/r(2) AB，

实际上，就是A与B，2粒子的2维空间距离模长的表达式。

只要知道：2维矢量，及其2个分量的模长，r1AB /r(2) AB、r2 AB /r(2) AB，或半长轴a乘x、半短轴b乘y， 2者之一组，就可知道另一组。

B绕A的轨迹是：半长轴=a、半短轴=b，的椭圆，当A和B的质量中心，是位于长轴上-(a-b)处，此椭圆方程各点的坐标是，x、y，B的质量中心与A的质量中心的距离就是r(2) AB。

当取坐标为：

B近A和B的质量中心的距离是(a-b)，A和B质量中心的坐标是(-(a-b)、0)；B远A和B的质量中心的距离是a+b，B的坐标是(a，0)。

即：B绕A椭圆的轨迹：(x+(a-b))^2+(y-0)^2=r(2)AB^2，

由以上2式，分别解得：

a^2x^2=(1-(by)^2),  y^2=1/b^2-(a/b)^2x^2；

(x+(a-b))^2=r(2)AB^2-(y-0)^2,

y^2=r(2)AB^2-(x^2+2 x(a-b)+(a-b)^2)，

由2个y^2的表达式联立，得到x的如下方程：

A x^2+2Bx+C=0，

其中，A= (a/b)^2-1，B=b-a，C=r(2)AB^2-(a-b)^2-1/b^2，解得：

x=(-B+或-(B^2-AC)^(1/2))/A,

x^2=(B^2--或+2B (B^2-AC)^(1/2)+(B^2-AC))/A^2  ,

a^2x^2=1-(by)^2, 解得：

y^2=(1- a^2(B^2--或,+2B (B^2-AC)^(1/2)+(B^2-AC))/A^2)/b^2,

y=(1- a^2(B^2--或+2B (B^2-AC)^(1/2)+(B^2-AC))/A^2) ^(1/2)/b,

x、y都可由a和b的相应函数确定。而有：

ax=r1AB/r(2)

  =a(-B+或-(B^2-AC)^(1/2))/A

=a(-(b-a)+或-(( b-a)^2-((a/b)^2-1)(r(2)AB^2- (a-b)^2-1/b^2))^(1/2))

/((a/b)^2-1)，

by=r2 AB/r(2) AB

  =(1-a^2(B^2--或+2B(B^2-AC)^(1/2)+(B^2-AC))/A^2) ^(1/2)

=(1-a^2((b-a)^2

--或+2(b-a)((b-a)^2

-((a/b)^2-1)(r(2)AB^2-(a-b)^2-1/b^2))^(1/2)

+((b-a)^2-((a/b)^2-1)( r(2)AB^2-(a-b)^2-1/b^2)))

/((a/b)^2-1)^2)^(1/2)，

实际上，B是绕A的运动轨迹，它们的质量中心也相应地绕着A运动的进动的椭圆。即有：

B距AB中心(a-b)/A距AB中心(a+b)=B质量，mB/A质量，mA，

又有：

(a-b)=(mB/mA)(a+b)，

(a+b)=(mA/mB)(a-b)，

2a=(mB/mA)(a+b)+(mA/mB)(a-b)，

b/ a = (mA^2-2 mAmB+mB^2) /(mA^2-mB^2)，

可由a/b， 或mB/mA，之一 确定另一。

    由此，代入a、b、-r(2) AB的关系式，解得：

a为mB、mA、r(2)AB的函数。

由a、mB、mA、r(2)AB，之任何3个可确定另1个。

例如，已知：r(2) AB,  mA， mB，即得：B绕A椭圆的轨迹的长轴a和短轴b，及轨迹方程为：

(ax)^2+(by)^2=1, 或

(x+(a-b))^2+(y-0)^2=r(2)AB^2，

    当已知，a、b、mA，则：

mB^2x(b+a)/a-2mAmB-mA^2x( b-a)/a = 0 ，

mB=(mA+,-(mA^2-mA^2x((b-a)/a)^2)^(1/2))/((b+a)/a)

   = mA(1+,-(1-((b-a)/a)^2)^2)^(1/2))/((b+a)/a)，

同样，也可由已知上述，其它各3个量，而解得相应的另1个量。

当mB=mA，则：b=a，r2AB=r1AB，其运动轨迹是2维平面上的进动的圆。

     (2) 由2个粒子A与B的引力运动方程解得其运动轨迹是3维椭球面空间的椭圆

以A质量中心为坐标系中心，A与B，2粒子的3维空间距离[1线矢]的表达式：

r(3) AB[1线矢]=r1AB [1基矢]+r2 AB [2基矢]+r3AB [3基矢]，有：

r(3) AB^2=r1AB ^2+r2 AB^2+r3 AB^2，

r(3) AB、r1AB 、r2 AB、r3 AB，4者中，已知任意3个，可确定另1个。

半1轴=a>半2轴=b>半3轴=c，B坐标为x、y、z，绕A和B的质量中心的椭球面上的椭圆方程：

(ax)^2+(by)^2+(cz)^2=1,  

ax=r1AB/r(3) AB, by=r2AB/r(3) AB，cz=r3AB/r(3) AB，

实际上，就是A与B，2粒子的3维空间距离模长的表达式。

只要知道：3维矢量，及其3个分量的模长，r1AB /r(3) AB、r2AB /r(3) AB、r3AB /r(3) AB，或半1轴a乘x、半2轴b乘y、半3轴c乘z，3者之一组，就可知道另一组。

B绕A的轨迹是：半1轴=a、半2轴=b、半3轴=c，的椭圆，当A和B的质量中心，是位于长轴上-(a-b)处，此椭圆方程各点的坐标是，x、y，B的质量中心与A的质量中心的距离就是r(2) AB。

当取坐标为：

B近A和B的质量中心的距离是(a-(b^2+c^2)^(1/2))，A和B质量中心的坐标是(-(a-(b^2+c^2)^(1/2))、0)；B远A和B的质量中心的距离是a+(b^2+c^2)^(1/2)，B的坐标是(a，0)。

即：B绕A椭圆的轨迹：(x+(a-(b^2+c^2)^(1/2)))^2+(y-0)^2=r(3)AB^2，

由以上2式，分别解得：

a^2x^2=(1-((b^2+c^2)^(1/2)y)^2),  y^2=1/(b^2+c^2)^(1/2)^2-(a/(b^2+c^2)^(1/2))^2x^2；

(x+(a-(b^2+c^2)^(1/2)))^2=r(3)AB^2-(y-0)^2,

y^2=r(3)AB^2-(x^2+2 x(a-(b^2+c^2)^(1/2))+(a-(b^2+c^2)^(1/2))^2)，

由2个y^2的表达式联立，得到x的如下方程：

A x^2+2Bx+C=0，

其中，A= (a/(b^2+c^2)^(1/2))^2-1，B=(b^2+c^2)^(1/2)-a，C=r(3)AB^2- (a-(b^2+c^2)^(1/2))^2-1/(b^2+c^2)，解得：

x=(-B+或-(B^2-AC)^(1/2))/A,

x^2=(B^2--或+2B (B^2-AC)^(1/2)+ (B^2-AC))/A^2  ,

a^2x^2=1-( (b^2+c^2)^(1/2)y)^2, 解得：

y^2=(1- a^2(B^2--或+2B (B^2-AC)^(1/2)+ (B^2-AC))/A^2)

/ (b^2+c^2),

y=(1- a^2(B^2--或+2B (B^2-AC)^(1/2)+ (B^2-AC))/A^2) ^(1/2)

/ (b^2+c^2)^(1/2),

x、y都可由a和(b^2+c^2)^(1/2)的相应函数确定。而有：

ax=r1AB/r(3)

  =a(-B+或-(B^2-AC)^(1/2))/A，

by=r(2) AB/r(3) AB

  =(1-a^2(B^2--或+2B (B^2-AC)^(1/2)+(B^2-AC))/A^2) ^(1/2)，

实际上，B是绕A的运动轨迹，它们的质量中心也绕着A运动的进动椭圆。即有：

B距AB中心(a-(b^2+c^2)^(1/2))/A距AB中心(a+(b^2+c^2)^(1/2)) =B质量，mB/A质量，mA，

又有：

(a-(b^2+c^2)^(1/2))=(mB/mA)(a+(b^2+c^2)^(1/2))，

(a+(b^2+c^2)^(1/2))=(mA/mB)(a-(b^2+c^2)^(1/2))，

2a=(mB/mA)(a+(b^2+c^2)^(1/2))+(mA/mB)(a-(b^2+c^2)^(1/2))，

(b^2+c^2)^(1/2)/ a = (mA^2-2 mAmB+mB^2) /(mA^2-mB^2)，

可由a/(b^2+c^2)^(1/2)， 或mB/mA，之一 确定另一。

    由此，代入a、(b^2+c^2)^(1/2)、-r(3) AB的关系式，解得：

a为mB、mA、r(3)AB的函数。

由a、mB、mA、r(3)AB，之任何3个可确定另1个。

例如，已知：r(3) AB,  mA， mB，即得：B绕A椭圆的轨迹的长轴a和短轴(b^2+c^2)^(1/2)，及轨迹方程为：

(ax)^2+(by)^2+(cz)^2=1, 或

(x+(a-(b^2+c^2)^(1/2)))^2+(y-0)^2=r(3)AB^2，

    当已知，a、(b^2+c^2)^(1/2)、mA，则：

mB^2x(+((b^2+c^2)^(1/2)+a)/a

-2mAmB-mA^2x((b^2+c^2)^(1/2)-a)/a = 0 ，

mB=(mA+或-(mA^2-mA^2x(((b^2+c^2)^(1/2)-a)/a)^2)^(1/2))

/(( (b^2+c^2)^(1/2)+a)/a)

   = mA(1+或-(1-(((b^2+c^2)^(1/2)-a)/a)^2)^2)^(1/2))

/(( (b^2+c^2)^(1/2)+a)/a)，

    同样，也可由已知上述，其它各3个量，而解得相应的另1个量。

当mB=mA，则： c=b=a，r3AB=r2AB=r1AB，其运动轨迹是3维球面上的进动圆。

13. 太阳系，太阳，及其9大行星，和地、月，两两间引力的量级，粗估计算比较

K=6.685x10^(-38)

                       K乘日质量=1.33(-7)

K乘地质量=4.00(-13)

    以(n)标志：乘10^n, 两两间距离只是粗略的“平均距离”粗估计算。

行星距日 距地  质量    距日^2 距地^2   与日引力   与地引力

  千亿米千亿米 千克                      千克千亿米/秒^2

太阳     15.0  1.99(30)  

月球    3,84(-4) 7.35(22) 2.25(2)1.47(-7) 4.34(13)  2.00(14)

水 5.80  9.20  2.99(23)  3.37(1) 8.46(1)  1.18(15)    1.25(7)

金 10.8  4.20  4.90(24)  1.17(2) 1.76(1)  5.59(15)     3.45(5)

地 15.0        5.98(24)   2.25(2)         3.53(15)

火 22.8  7.80  6.58(23)  5.20(2) 6.16(1)  1.68(14)     2.95(7)

木 77.   62,8  1.90(27)  5.93(3) 3.94(3)  4.26(17)     1.94(9)

土 143  128   5.69(26)  2.04(4) 1.64(4)  3.71(15)     1.39(8)

天 287  272   8.73(24)  8.24(4) 7.40(4)  1.41(13)    4.72(6)

海450  435   1.03(25)  2.03(5) 1.89(5)  6.75(13)    2.18(5)

冥591   576   1.47(22)  3.53(5) 3.32(5)  5.54(9)     1.77(2)

（此处尚未列出其它行星的卫星的有关资料，但它们都与各自的行星距离很近，质量与行星相比可以忽略。）

14. 地与日、月，3个粒子可作为引力封闭系统，运动方程

由第8节地球与太阳、月球，及其它各行星，两两间引力的量

级，粗估计算比较可见：

        千克千亿米/秒^2

地与日   =  3.53(15)

地与月   =  2.00(14)

日与月   =  4.34(13)

日、地、月，与其它行星，都比地与月至少小5个量级。

    因此，地、日、月，可作为3个粒子引力封闭系统。

    它们的运动方程应是：

m日(d^2r(3日)/dt^2)[1线矢]

=k{m日m地[1线矢]/r(3日地)^2

+m日m月[1线矢]/r(3日月)^2}，

M地(d^2r(3地)/dt^2)[1线矢]

=k{m 地m日 [1线矢]/r(3地日)^2

+m地m月[1线矢]/r(3地月)^2}，

M月(d^2r(3月)/dt^2)[1线矢]

=k{m月m地[1线矢]/r(3月地)^2

+m月m日 [1线矢]/r(3月日)^2}，

上式中，

r(3A)是A粒子质量中心距坐标中心的距离。

r(3AB) 是B粒子质量中心距是A粒子质量中心的距离。

由以A为中心变换到以B为中心，相应的变换矩阵变换是：

r1BA=r1ABcA    - r2ABsA     0    

r2BA = r1ABsAcB +r2ABcAcB -r3ABsB

r3BA = r1ABsAsB +r2ABcAsB + r3ABcB

    其中：

cA=cosA=r1AB/r(3)AB, sA=sinA=r(2)AB /r(3)AB,

r(3)AB ={r1AB^2+ r2AB^2+r3AB^2}^(1/2),

cB=cosB=r(2)AB /r(3)AB, sB=sinB=r3AB /r(3)AB,

r(2)AB ={r2AB^2+r3AB^2}^(1/2),

    于是，相应各量均可由以上3个方程解得。

   类似地，可解得太阳系，太阳，及其8大行星，和月球的相应结果。

     (未完待续)