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科学认识、运用客观世界的基本特性(9)
(接(8))
10.3维空间各力的运动方程及其解
运动力=动量的时间导数:
f(3)[1线矢] ={fj[j基矢],j=1到3求和}
=dp(3)/dt[1线矢]={d(mvj)/dt[j基矢],j=1到3求和}
=m{dvj/dt[j基矢],j=1到3求和}
=m{d^2rj/dt^2[j基矢],j=1到3求和},
当f(3)=ma为常量,即{d^2rj/dt^2,j=1到3求和}为常量,该粒子有运动方程:量纲是:[M][L][T]^(-2)
F离心(3)[1线矢]=速度v(3)[1线矢]点乘(偏分r(3)[1线矢]叉乘动量p(3)[1线矢])
={vj(偏pk/偏rl-偏pl/偏rk)[j基矢],jkl=123循环求和}
=m{vj(偏vk/偏rl-偏vl/偏rk)[j基矢],jkl=123循环求和}
运动力
量纲是:[M][L][T]^(-2)
距q1r(3) 处,电荷q2的静电力[1线矢]
=(q1q2/r(3)^2)[1线矢]
=q1q2{rj[j基矢],j=1到3求和}/r(3)^2,量纲是:[M][L] [T]^(-2),
距q1r(3) 处,电荷q2的磁力[1线矢]
=q2 v(3)H(3)[1线矢]
=q1 q2 v(3){(偏(rk/r(3))/偏((rl)-偏(rl/r(3))/偏(rk))[j基矢]
,j=1到3求和},量纲是:[M][L] [T]^(-2),
以上各力的加速度a,分别相当于:
运动力:{d^2rj/dt^2[j基矢],j=1到3求和},
离心力:{vj(偏vk/偏rl-偏vl/偏rk)[j基矢],jkl=123循环求和},
静电力:q1q2{rj,j=1到3求和}/(m r(3)^2),
磁 力:q1q2 v(3){(偏(rk/r(3))/偏((rl)-偏(rl/r(3))/偏(rk))
,j=1到3求和}/m,
以上各力的运动方程为各相应的:
{d^2rj/dt^2,j=1到3求和}=加速度a,
当以上各力的加速度a为某确定的常量时,
由以上各力的初始条件,drj/dt,j=1到3,和边界条件, rj,j=1到3,(即:该粒子具有确定的动能和位能)确定的解(即:该粒子的运动轨迹)是由该粒子确定的能量所决定的,圆锥曲线(抛物线、椭圆、或双曲线的一支)或其特例(圆或直线)。
一般而言,各该粒子的运动方程中的加速度a都分别有不同的数值,即其在坐标系中,就都有不同初始条件和边界条件,因而,有不同能量,粒子运动方程的解就是由该粒子各相应的不同能级所决定的,圆锥曲线(抛物线、椭圆、或双曲线的一支)或其特例(圆或直线)。
弹性力md^2r(3)/dt^2=kr(3),k为弹性系数。
对于给定r(3),弹性力运动方程为:
d^2r(3)/dt^2=kr(3)/m(为:常量),其解就是相应能量的谐振子。
一般而言,对于不同的r(3),其解就是相应各不同能级的谐振子。
因而,以上各力运动方程都有各相应不同能级的解。
f引[1线矢]=((km1/r(3))梯度)m2[1线矢]
=km2{(偏(m1/r(3))/偏rj)[j基矢],j=1到3求和},
k的量纲是:[M]^(-1)[L]^3[T]^(-2),
由引力运动方程,有:
d^2rj/dt^2,j=1到3求和=g=k{(偏(m1/r(3))/偏rj)[j基矢],j=1到3求和},
g是相应条件下,的重力加速度,在确定的空间位置的粒子,就只有唯一的常量。
其由初始和边界条件确定的解,就只能是相应唯一能量(不存在不同的能级)的圆锥曲线(抛物线、椭圆、或双曲线的一支)或其特例(圆或直线)
(未完待续)
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