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任意不可约方程的根式解

已有 841 次阅读 2018-9-1 22:21 |个人分类:数理|系统分类:论文交流

 

任意不可约方程的根式解

 

中国科学院 力学研究所 吴中祥 

 

            

突破伽罗华理论 魔咒,给出历代数学家近500年的努力,未能实现的,全面、具体给出任意n次不可约方程的根式解。

指出负数的各根式产生与实数不同的各数类的重要问题

必将促进各种数学问题产生革命性的发展。

 

关键词:不可约方程,根式解,伽罗华理论,

 

1.  突破n>4 的不可约代数方程没有根式解的“伽罗华理论魔咒

各种事物特性的变化发展规律都可由相应的方程表达。

可以是1n次的不可约代数方程,或相应的n元、n次以下的,n个不

相依代数方程或微分、偏分方程。

对相应方程的建立、求解、分析,是研究各种事物特性的变化发展规律

的关键。

1n次不可约代数方程的解法,由于有其各解与各系数的n个不相依的关系式,而能用于解n元的n个不相依代数方程,和相应的微分、偏微分方程。

早在公元前3世纪,就已得出2次不可约代数方程的根式解。但是,直

到公元16世纪后,才先后得到3次和4次不可约代数方程的根式解。

而此后的近5个世纪,虽有许多人寻求n>4的不可约代数方程的根式解。却都没能成功 [1][2][3]

特别是,伽罗华[2][3]已有的解法都引进并含有方程系数函数2次、3次根式,分析各根式群的特点,而给出 “代数方程能够求得根式解的判据 ”之后,阿贝尔(Abel, N.N. 1830) 据此,首先提出n>4的不可约代数方程不能根式求解,学术界就似已公认n>4 的不可约代数方程没有根式解[1] 

因而,对于n>4 的不可约代数方程,就只能在具体分析其各 “解”所在数域的基础上,数值地逼近,或引入某些特殊函数,求解。这当然就给许多实际问题和理论工作,因没有相应方程的公式解,而造成许多限制和不便。

 

本人2011年的博文“任意n次不可约代数方程的根式解”

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-510331.html

已具体分析得到: 伽罗华 理论 [2][3],只是提出方程根式解的可解性是相应于将方程各系数作有理运算与逐次添加相应根式的变换群的可解性,而这种变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数,而当这种变换群的阶数>4时,其对称置换群,及其子群,就都是非交换群的单群,就都是不可解的。

伽罗华所证明的,实际上,只是“在求解n次不可约代数方程的整个过程中,所添加根式的指数,n*,应是小于4”,并非所解方程的次数,n,应是小于4,并非方程的次数n大于4就不能有根式解。

但是,显然,其整个求解过程中添加根式的最大指数,n*,并非所解方程的次数n,按伽罗华理论,也完全得不出其整个求解过程中添加根式的最大指数,n*等于所解方程的次数n,或两者有任何关系的根据。阿贝尔也未能给出n>4的不可约代数方程就没有根式解的任何根据。

因而,即使按伽罗华 理论,认为“n>4的不可约代数方程没有根式解”;本身就是混淆n*n,而得出的错误结论。

这就突破n>4 的不可约代数方程没有根式解的“伽罗华理论魔咒,

出了探求n>4的不可约代数方程根式解的可能性。

 

2,指出负数的各根式产生与实数不同的各数类的重要问题

进而,“任意n次不可约代数方程的根式解 及其有解判据(简)”

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-841330.html

指出:一般而言,任意负实数,-s j次根式,(-1)^(1/j) s^(1/j), 就产生了以(-1)^(1/j)所标志的各自与实数不同的数类。

j=2(-1)^(1/2)就被定义为i,标志该数是与实数不同的所谓“虚数”,并与实数组成所谓“复数”。

但是,当j>2的其它各数,则实际上都分别成为各自不同维的数类。

这就表明:如果在方程的变换、求解中,出现j大于2 (-1)^(1/j),就不能仅由现在已知的实数、虚数,或复数,而得解。

因而,通常方程的解,如果引进了负数大于2次的根式,实际上,就表明:如果在方程的解,出现j大于2 (-1)^(s(k)/k)s(k)是小于k,与k互质的各质数,就应由实数、虚数(j)、复数(j);j=2k,的各数表达。

其中,k是解方程中可能引进根式的各次数。

按伽罗华 理论,最大的k=<4

本文,全面、逐个,具体分析各次不可约代数方程的根式解, 具体表明:

最大的k=>4的伽罗华 理论,与不可约代数方程是否有解?毫无关系;而且,甚至3次、4次方程的已知各解,按多项式公式,也都有,多个大于4的根式,并不存在伽罗华 理论所给出的,最大的k=<4的限制,具体纠正了“大于4次的不可约代数方程不能有根式解”对求解方程的错误阻扰;而已解得任意n次不可约代数方程的根式解。

必将促进各种数学问题产生革命性的发展。

 

3. 任意n次不可约代数方程的普遍表达式

任意n次不可约代数方程:

{a’jx^j ; j=0n求和}=0,                                       (1.1’)

左边是x n 次多项式, n+1个系数:a’j; j=0,1,2, ,n, 都是任意常数。

总可 各项 除以a’n表达为:

x^n+{aj x^j ; j=0n-1求和}=0,                               (1.1)

左边x n 次多项式有n个系数:aj= a’j/a’n; j=0,1,2,,n-1, 都是相应的任意常数,而an=1

方程(1.1)n个根,xjj=1,2,到n,各根与各系数有如下关系式:

x1+x2+x3++xn=-a[n-1],                                        (1)

x1(x2+x3++xn)+x2 (x3+x4+...+xn)++x[n-2](x[n-1]+xn)+x[n-1] xn

=a[n-2],                                                     (2)

x1x2(x3+x4+...+xn)+x2x3(x4+x5++xn)++x[n-2]x[n-1]xn)=-a[n-3],   (3)

                                

x1x2x3x[n-2](x[n-1] +xn)+x2x3xn=(n为偶,则-)a1,              (n-1)

x 1x2x3xn= (n为奇,则-)a0,                                    (n)

分别为n个互不相依的方程。

 

(1.1)又总可x的变换,y=x-a[n-1]/n,而有:

x=y +a[n-1]/n

x^2=y^2-2y a[n-1]/n +(a[n-1]/n)^2

x^3=y^3-3y ^2(a[n-1]/n)+3y(a[n-1]/n)^2-(a[n-1]/n)^3

x^n=yn^n-ny^(n-1)(a[n-1]/n)+(n(n-1)/n)y ^(n-2)(a[n-1]/n)^2

(j为奇数-j为偶数+)(n(n-1)(n-j)/(j))y^(n-j)(a[n-1]/n)^j

(n为奇数;为-n为偶数;为+) (a[n-1]/n)^n

而使x方程表达为:

y^n+{bjy^j ; j=0n-2求和}=0,                              (1.1*)

各系数bj均可由以上各关系式,得出, x方程各系数的函数具体表达。而其中b[n-1]=0

 

方程(1.1*)n个根,yjj=1,2,到n,各根与各系数有如下关系式:

y1+y2+y3++yn=0,                                           (1)

y1(y2+y3++yn)+y2 (y3+y4+...+yn)++y[n-2](y[n-1]+yn)+y[n-1] yn

=b[n-2],                                                    (2)

y1y2(y3+y4+...+yn)+y2y3(y4+y5++yn)++ y[n-2]y[n-1]yn)=-b[n-3],       (3)

                                

y1y2y3y[n-2](y[n-1] +yn)+y2y3yn=(n为偶,则-)b1,            (n-1)

y1y2y3yn= (n为奇,则-)b0,                                   (n)

分别为n个互不相依的方程。

 

由此xynn个方程,逐个具体分析、各次方程,利用方程的根与系数的关系式,探求解得各次不可约代数方程的根式解的解法。

 

4.求解任意2次不可约代数方程

对于任意1次不可约代数方程:x+a0=0,仅有1个系数a01个根x1,方程的解,就是;x1=a0

 

2次不可约代数方程x^2+a1x+a0=0          {4.1}

2个系数:a1a02个根:x1x2,并有:

x1+x2=-a1x1x2=a0,即可利用此求得:

x1^2-2 x1x2+x2^2=a1^2-2 a0x1-x2=+,-( a1^2-2 a0)^(1/2),分别得到21次方程,而解得:

x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),  (1)

x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2) (2)

 

{4.1}都可由变换y=x-a1/2x=y+a1/2x^2=y^2+a1y+a1^2/4,而使

原方程变换为:

y^2+a1y+a1^2/4-a1(y+a1/2)+a0=01次项的系数=0,只有1个系数的如下形式:

y^2+b0=0,  b0=a0-a1^2/4,                         {4. 1’}

 

分别得到如21次方程,而解得:

y1=+i(b0)^(1/2),             (1’)

y2=-i(b0)^(1/2),             (2’)

    也得到:

x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),  (1)

x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2) (2)

 

    (a1/2)^2-a0=02解为相同的实数:

x1= x2=-a1/2,               (1*)

    (a1/2)^2-a0>02解为不同的实数:

x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),  (1*”)

x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2) (2*”)

    (a1/2)^2-a0<02解为互共轭的复数:

x1=-a1/2+i((a1/2)^2-a0)^(1/2),  (1*’)

x2=-a1/2-i((a1/2)^2-a0)^(1/2) (2*’)

    a1=0a0>02解分别为正、负虚数:

x1=+ia0^(1/2),  (1’)

x2=-ia0^(1/2),  (2’)

 

    以上2种方法、各种情况都得到了任意2次不可约代数方程,仅由实数、虚数或复数表达的公式解。

其中,无根式的实数解和虚数解的方程,实际上,并非不可约的,而无根式的实数解是重解。

 

5.求解任意3次不可约代数方程

3次不可约代数方程:x^3+a2x^2+a1x+a0=0          {5.1}

3个系数:a2a1a03个根:x1x2x3,并有:

x1+x2+x3=-a2x1(x2+x3)+ x2x3=a1x1x2x3=-a0

但简单利用此,并不能得解,例如:

x1=-(a2+x2+x3) x2^2+(a2+x3)x2+x3^2+a2x3+a1 =0 x2^2+(x3+a2)x2-a0/x3=0

x3^3+a2x3^2+a1 x3+a0=0,仍然是原有方程,而不能如此得解。

    令:

 (x^2+a1x+a0)(x-x3)= x^3+a2x^2+a1x+a0,有:

(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x^3+a2x^2+a1x+a0,有:

 (x^2+a1x+a0)(x-x3)= x^3+a2x^2+a1x+a0, 有:

a1-x3=a2, x3=a1-a2,

a0x-x3a1=a1, a0x-(a1-a2)a1=a1, a0=(a1+(a1-a2)a1)/x,

-x3a0=a0, -(a1-a2)((a1+(a1-a2)a1)/x)=a0,

消去a1a0,仍然回到原有方程,而不能如此得解。

总之,各种方法,仅利用方程根与系数的关系,都不能得解。

    3x方程有3个参变量,也都不能采用任何方法,由3个未知变量的低次x多项式乘积表达,而得解。

    y=x+a2/3,使有3个参变量(系数)的x方程:

x^3+a2x^2+a1x+a0=0,成为仅有2个参变量(系数)的一个y方程:

y^3+b1y+b0=0,

 

x=y-a2/3x^2=y^2-2a2y/3+(a2/3)^2x^3=y^3-a2y^2+(a2/3)^2y-(a2/3)^3

x^3+a2x^2+a1x+a0=y^3+(a2/3)^2 y+a1y-a1a2/3+a0+2(a2/3)^3,得到:

b1=a1+(a2/3)^2;  b0=a0-a1a2/3+2(a2/3)^3

y=x+a2/3y^2=x^2+2a2x/3+(a2/3)^2y^3=x^3+a2x^2+(a2)^2x/3+(a2/3)^3

y^3+b1y+b0=x^3+a2x^2+((a2)^2/3+b1)x+(a2/3)^3+a2b1/3+b0

  =x^3+(a2^2/3+b1)x+a2b1/3+b0,得到:

b1=a1-a2^2/3  b0=a0+a2b1/3=a0+a1a2-10(a2/3)^3

   注意:b1b0,的2a2a1a0,表达,是不同的。

 

利用此求解,必须能使方程表达为仅用2个参变量的低次多项式的乘积,且2次项为0,但是,仅满足这些条件,也并不能得解,例如:

    使方程表达为:

(y^2+b0) (y-y3) =y^3+b1y+b0, :

-y3=0, (2次项不为0,此参变量实际上不起作用)b0=b1, -y3b0=b0=0,  仅适用于b0=0,的情况。

    令:

(y^2+b0)(y^2+b0)^(1/2)=y^3+b1y+b0,

(y^2+b0)^2 (y^2+b0) =(y^3+b1y+b0)^2,

2b0+b0=2b1, 2b0=0, b0^2+2b0b0=b1^2, 2b1b2=0, b0b0^2=0, 出现多

种限制条件,仅适用于b1b0=0,的情况,而无意义,也都不能如此得解。

 

早在公元1700年就已得出现有的解法,即:

2x方程,x^2+a1x+a0=0,的2个根:w1w2分别表达3y方程的3个根; 由相应的定理得到相应的解,却至今未见完整、具体的推导、证明。

实际上,这是:设3y方程的3个根的一个根为:y1=z1+z2,则由x方程变换为y方程时,另2个根y2y3,是z1z2,分别乘以2x方程,x^2+a1x+a0=0,的2个根,w1=-a1/2+(a1^2/4-a0)^(1/2)w2=-a1/2-(a1^2/4-a0)^(1/2),之和确定; :

y1=z1+z2y2=w1z1+w2z2y3=w2z1+w1z2

3y方程的3个根也可直接表达为:

y1=z1+z2

y2=w1z1+w2z2=-a1(z1+z2)/2+(a1^2/4-a0)^(1/2)(z1-z2) 

y3=w2z1+w1z2=-a1(z1+z2)/2-(a1^2/4-a0)^(1/2)(z1-z2),再由:

(y-(z1+z2))(y-(-a1(z1+z2)/2+(a1^2/4-a0)^(1/2)(z1-z2)))

(y-(-a1(z1+z2)/2-(a1^2/4-a0)^(1/2)(z1-z2)))

=y^3+b1y+b0,确定z1z2 ,即有:

(y-(z1+z2))(y^2+a1(z1+z2)y+a1(z1+z2)^2/4-(a1^2/4-a0)(z1-z2)^2)

  =y^3+(a1-1)(z1+z2)y^2+(-3a1(z1+z2)^2/4-(a1^2/4-a0)(z1-z2)^2)y

+a1(z1+z2)^3/4+(a1^2/4-a0)(z1^3+z2^3-z2z1(z1+z2))

  = y^3+b1y+b0,而得到:

(a1-1)(z1+z2)=0  z1+z2=0                          (1)

3a1(z1+z2)^2/4+(a1^2/4-a0)(z1-z2)^2+b1=0             (2)

a1(z1+z2)^3/4+(a1^2/4-a0)(z1^3+z2^3-z2z1(z1+z2))-b0=0 (3)

    (1)代入(2)(3),有:

 (a1^2/4-a0)(2z1z2)+b1=0 2z1z2 =-b1/(a1^2/4-a0)    (2*)

    (2*)(1)联立,有:

(z1-z2)^2=b1/(a1^2/4-a0)z1-z2=(b1/(a1^2/4-a0))^(1/2)

z1=(b1/(a1^2/4-a0))^(1/2)/2z2=-(b1/(a1^2/4-a0))^(1/2)/2(4)

z1^3+z2^3-b0/(a1^2/4-a0)=0                         (3*)

    实际上,以y方程的任何一个根代入,都应满足方程,以y= y1=z1+z2,代入,有:

(z1+z2)^3+b1(z1+z2)+b0=0,即有:

z1^3+z2^3+(3z1z2+b1)(z1+z2)+b0=0

z1^3=-(z2^3+(3z1z2+b1)(z1+z2)+b0)

    利用(1)(2),以及b1b0,的a2a1a0,表达,上式成为:

z1^3=-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)

z1=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3),并有:

z2^3=-(z1^3-(3z1z2+b1)(z1+z2)+b0)

=-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)

z2=(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3),即解得现有的结果:

y1=z1+z2

  =(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)

+(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)

y2=w1z1+w2z2

  =w1(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)

+w2(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)

y3=w2z1+w1z2

  =w2(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)

+w1(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/3)

(4)代入 (3*),有:

z1^3-(b1/(a1^2/4-a0))^(3/2)/8-b0/(a1^2/4-a0)=0

z2^3+(b1/(a1^2/4-a0))^(3/2)/8-b0/(a1^2/4-a0)=0         (5)

    即得解:

z1=((b0+(b1/2)^3/(a1^2/4-a0))^(1/2))/(a1^2/4-a0))^(1/3)

z2=((b0-(b1/2)^3/(a1^2/4-a0))^(1/2))/(a1^2/4-a0))^(1/3)

y1=z1+z2y2=w1z1+w2z2y3=w2z1+w1z2           (6)

(6)是相当于:3次不可约代数方程现有解(z1-z2=0)的又一形式。

 

3y方程的3个根也可直接表达为:

 (y-(z1+z2))( y-(w1z1+w2z2))( y-(w2z1+w1z2))

=y^3+b1y+b0,确定z1z2 ,即有:

(y-(z1+z2))

(y^2-2(w1z1+w2z2)y+w1w2(z1^2+ z2^2)+(w1^2+w2 ^2)z1z2)

=y^3-((2w1+1)z1+(2w2+1)z2))y^2

+(w1w2(z1^2+z2^2)+(w1^2+w2 ^2+2(w2+w1))z1z2+2(w1z1^2+w2z2^2))y

-w1w2(z1^3+z1^2 z2+z1z2^2+z2^3)-(w1^2+w2 ^2)(z1^2z2+z1z2^2)

=y^3+b1y+b0,即有:

(2w1+1)z1+(2w2+1)z2=0                      (1)

w1w2(z1^2+z2^2)+(w1^2+w2 ^2+2(w2+w1))z1z2

+2(w1z1^2+w2z2^2)=b1                     (2)

-w1w2(z1^3+z1^2 z2+z1z2^2+z2^3)

-(w1^2+w2 ^2)(z1^2z2+z1z2^2)=b0           (3)

对于一般的2x方程,因有:

w1=-a1/2+(a1^2/4-a0)^(1/2)w2=-a1/2-(a1^2/4-a0)^(1/2)

w1+w2=-a1w1w2=a0

w1^2=a1^2/2-a0-a1(a1^2/4-a0)^(1/2)

w2^2=a1^2/2-a0+a1(a1^2/4-a0)^(1/2),即有:

(-a1+1+2(a1^2/4-a0)^(1/2))z1=(a1-1+2(a1^2/4-a0)^(1/2))z2       (1*)

(-2a1+(a1^2-4a0)^(1/2))z1^2+(-2a1-(a1^2-4a0)^(1/2))z2^2

+(a1^2-2a1-2a0)z1z2 -b1=0                                  (2*)

a0(z1^3+z2^3)+(a1^2-a0)(z1^2z2+z1z2^2)+b0=0                (3*)

    (1*)(2*)(3*),即可解得3次不可约代数方程现有解的又一形式。

   以上3种不同形式的解,都可按相应的条件彼此互换。

   各种解,按多项式公式,都不仅有2次、3次的根式,而且还有6次、56次的根式,就已具体表明:伽罗华关于根式变换群的理论,认为:解方程引进根式k=>4 ,就使方程无解,的论断是错误的,而且:

a1^2/4-a0<0w1w2,有(-1)^(1/2)的虚数项,是通常的复数;

   b1^2/4+b0^2/9<0z1z2,有3次根号内(-1)^(1/2)的虚数项的复数;

   -b1/2+(b1^2/4+b0^2/9)^(1/2)<0z1是有(-1)^(1/3)的另一类数;

-b1/2-(b1^2/4+b0^2/9)^(1/2)<0z2是有(-1)^(1/3)的另一类数;

   因而,就会出现有(-1)^(1/2)(-1)^(1/3)(-1)^(1/6)(-1)^(5/6)4维数轴的复数;并因不同的条件,简化为仅有低维的复数或虚数,或实数。

其实,3y方程的3个根与系数的关系为:

y0+y1+y2=0y0 =-(y1+y2)                   (0*)

y0(y1+y2)+y1y2=b1, -y0^2+y1y2=b1,            (1*)

y0y1y2=-b0,                                  (2*)

   (1*)/(2*),得到::

-y0+1/y0=-b1/b0y0^2-b1y0/b0+1=0

    即得y方程的3个解:

y0=b1/(2b0)+-(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)                (a)

y1+y2=-b1/(2b0)-+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)

(y1+y2)^2=(b1/b0)^2/2-1+-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)

y1y2=b1+y0^2

=b1+(b1/(2b0)+-(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2

     =b1+(b1^2/b0)^2/2-1+-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2+1)^(1/2)

(y1-y2)^2=(b1/b0)^2/2-1+-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)

-4(b1+(b1^2/b0)^2/2-1+-(b1/b0)( b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))

=(b1/b0)^2/2-4b1+3-+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)

y1-y2=((b1/b0)^2/2-4b1+3-+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2)

y1=(-b1/(2b0)-+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)

+((b1/b0)^2/2-4b1+3-+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2))/2 (b)

y2=(-b1/(2b0)-+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)

-((b1/b0)^2/2-4b1+3-+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2))/2 (c)

3x方程,的解为:

xj=yj+a2/3; j=0,1,2,                                  (1*)

各根中,按多项式公式,不仅有2次的根式,还有4次、3倍的4次,8次、3倍、5倍、7倍的8次的根式,对于负数的根式,就有(-1)^(1/2), (-1)^(1/4), (-1)^(3/4), (-1)^(1/8), (-1)^(3/8), (-1)^(5/8), (-1)^(7/8),7个数轴的数,而且,在各相应条件下,简化为各低维的复数、虚数、和实数。

    而且,由于2种解法,分别得到的各解是可以彼此互换的,可见,这2种不同的数轴系,也是可以彼此互换的。

 

6.求解任意4次不可约代数方程

4次不可约代数方程:x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0          {6.1}

4个系数:a3a2a1a04个根:x1x2x3x4,并有:

x1+x2+x3+x4=-a3x1(x2+x3+x4)+x2(x3+x4)+x3x4=a2 x1x2(x3+x4)+x2x3x4=-a1x1x2x3x4=a0

与前节类似,仅简单、直接地利用此,不能得解。

 

现有的解法也是在公元17世纪,采取将4次方程的4次多项式拼凑为22次多项式乘积,的方法而得到,也未见完整、具体的推导证明。

实际上,对于4x方程:

x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0                                 (1)

引入函数y,并取:

(x^2+a3x/2+y/2)^2=x^4+a3x^3+(a3^2/4+y)x^2+a3yx/2+y^2/4

可将原方程改写为:

(x^2+a3x/2+y/2)^2+(a2-a3^2/4-y)x^2+(a1-a3y/2)x+a0-y^2/4=0, 而有:

(x^2+a3x/2+y/2)^2=(a3^2/4-a2+y)x^2+(a3y/2-a1)x-a0+y^2/4,

设当上式右边成为x函数的完全平方:

(a3^2/4-a2+y)x^2+(a3y/2-a1)x-a0+y^2/4=(c1x+c0)^2

(c1x+c0)^2=c1^2x^2+2c1c0x+c0^2, 有:

c1^2=(a3^2/4-a2+y),  2c1c0=a3y/2-a1, c0^2=y^2/4-a0,

c1x+c0=(a3^2/4-a2+y)^(1/2)x+(y^2/4-a0)^(1/2)

(a3^2-4a2+4y)(y^2/4-a0)=(a3y/2-a1)^2,亦即得到:

y^3-a2y^2+(a1a3-4a0)y-a0a3^2+4a0a2-a1^2=0                  (2)

当令:s=y-a2/3,  y=s+a2/3,  y^2=(s+a2/3)^2=s^2+2a2s/3+a2^2/9                               y^3=(s+a2/3)^3=s^3+a2s^2+a2^2/3s+a2^3/27                    (3)

(3)代入方程(2),即将它简化为s^2的系数=0的形式,即:

s^3+(a1a3-a2^2/3-4a0)s-2a2^3/27-a3^2a0+a3a2a1/3+8a2a0/3-a1^2=0

s^3+b1s+b0=0b1=a1a3-a2^2/3-4a0b0=-2a2^3/27-a3^2a0+a3a2a1/3+8a2a0/3-a1^2                (4)

此方程的3个根与系数的关系为:

s0+s1+s2=0s0 =-(s1+s2)                   (0*)

s0(s1+s2)+s1s2=b1, -s0^2+s1s2=b1,            (1*)

s0s1s2=-b0,  s0s1s2=-b0,                     (2*)

   (1*)/(2*),得到::

-s0+1/s0=-b1/b0s0^2-b1s0/b0+1=0

    即得方程(4)3个解:

s0=b1/(2b0)+-(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)                (a)

s1+s2=-b1/(2b0)-+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)

(s1+s2)^2=(b1/b0)^2/2-1+-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)

s1s2=b1+s0^2

=b1+(b1/(2b0)+-(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2

     =b1+(b1^2/b0)^2/2-1+-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2+1)^(1/2)

(s1-s2)^2=(b1/b0)^2/2-1+-(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)

-4(b1+(b1^2/b0)^2/2-1+-(b1/b0)( b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))

=(b1/b0)^2/2-4b1+3-+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)

s1-s2=((b1/b0)^2/2-4b1+3-+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2)

s1=(-b1/(2b0)-+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)

+((b1/b0)^2/2-4b1+3-+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2))/2 (b)

s2=(-b1/(2b0)-+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)

-((b1/b0)^2/2-4b1+3-+3(b1/b0)(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2))/2 (c)

3y方程,(2),的解为:

yj=sj+a2/3; j=0,1,2,                                  (1*)

而原方程可表达为两个x2次方程:

(x^2+y/2)^2-(c1x+c0)^2=0,即:

x^2+y/2+(a3^2/4-a2+y)^(1/2)x+(y^2/4-a0)^(1/2)=0,        (2*1)

x^2+y/2-(a3^2/4-a2+y)^(1/2)x+(y^2/4-a0)^(1/2)=0,         (2*2)

(1*)解得的,y的解代入方程(2*) (由于各解代入的结果相同,仅需

y0=b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2)代入),即:

x^2+(a3^2/4-2a2/3+b1/(2b0)+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2)x

+(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2

+((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2)=0,  (2*1)

x^2-(a3^2/4-2a2/3+b1/(2b0)+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^(1/2)x

+(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2

+((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2)=0,  (2*2)

分别求解这两个x2次方程,即得 4x方程(1)4个根:

x1=-(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2))^(1/2)

    +(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2)

-(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2

-((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2))^(1/2), (3*1)

x2=-(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2))^(1/2)

    -(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2)

-(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2

-((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2))^(1/2), (3*2)

x3=+(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2))^(1/2)

    +(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2)

-(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2

-((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2))^(1/2), (3*3)

x4=+(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2))^(1/2)

    -(a3^2/16-a2/6+b1/(8b0)+(b1^2/(8b0)^2-1/16)^(1/2)

-(b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))/2

-((b1/(2b0)+a2/3+(b1^2/(2b0)^2-1)^(1/2))^2/4-a0)^(1/2))^(1/2), (3*4)

各根中,按多项式公式,不仅有2次的根式,还有4次、3倍的4次,8次、3倍、5倍、7倍的8次的根式,对于负数的根式,就有(-1)^(1/2), (-1)^(1/4), (-1)^(3/4), (-1)^(1/8), (-1)^(3/8), (-1)^(5/8), (-1)^(7/8),7个数轴的数,而且,在各相应条件下,简化为各低维的复数、虚数、和实数。

    其中3y函数方程,也可由其各根,表达为:

y1=z1+z2y2=w1z1+w2z2y3=w2z1+w1z2,的方法求解,得到:

   各解,按多项式公式,都不仅有2次、3次的根式,而且还有6次、56次的根式,对于负数的根式,就会出现有(-1)^(1/2)(-1)^(1/3)(-1)^(1/6)(-1)^(5/6)4维数轴的复数;并因不同的条件,简化为仅有低维的复数或虚数,或实数。

    而且,由于2种解法,分别得到的各解是可以彼此互换的,可见,这2种不同的数轴系,也是可以彼此互换的。

 

对于4次的y方程:可直接采用:

(y^2+a0)^2-(a1y+a0)^2=y^4+b2y^2+b1y+b0=0,即得:

y^4+(2a0-a1^2)y^2+a0^2y-2a1a0-a0^2=y^4+b2y^2+b1y+b0,有:

2a0-a1^2=b2a0^2=b1-2a1a0-a0^2=b0,即得:

a0=b1^(1/2) a1=(2b1^(1/2)-b2) ^(1/2)

a0^2+2(2b1^(1/2)-b2) ^(1/2)a0+b0=0

a0=-(2b1^(1/2)-b2) ^(1/2)+-(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)

    即得如下的22次的方程:

y^2+(2b1^(1/2)-b2) ^(1/2)y

+b1^(1/2)-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)=0

y^2-(2b1^(1/2)-b2) ^(1/2)y

+b1^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)=0

由此解得4次以下方程的4个根:

y1=-(2b1^(1/2)-b2) ^(1/2)/2

+(-b1^(1/2)/2-b2/4+(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)^(1/2)

y2=-(2b1^(1/2)-b2) ^(1/2)/2

-(-b1^(1/2)/2-b2/4+(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)^(1/2)

y3=(2b1^(1/2)-b2) ^(1/2)/2

+(-b1^(1/2)/2+b2/4-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)^(1/2)

y4=(2b1^(1/2)-b2) ^(1/2)/2

-(-b1^(1/2)/2+b2/4-(2b1^(1/2)-b2)^(1/2)+(2b1^(1/2)-b2-b0)^(1/2)^(1/2)

    y方程的解与x方程的解,可以互换,实际上,是同一的解。

各根中,按多项式公式,同样,不仅有2次的根式,还有4次、3倍的4次,8次、3倍、5倍、7倍的8次的根式,对于负数的根式,就有(-1)^(1/2), (-1)^(1/4), (-1)^(3/4), (-1)^(1/8), (-1)^(3/8), (-1)^(5/8), (-1)^(7/8),7个数轴的数,而且,在各相应条件下,简化为各低维的复数、虚数、和实数。

 

7. 求解任意5次不可约代数方程

5次不可约代数方程:x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0  {7.1}

5个系数:a4a3a2a1a05个根:x1x2x3x4x5,并有:

x1+x2+x3+x4+x5=-a4x1(x2+x3+x4+x5)+x2(x3+x4+x5)+x3(x4+x5)+x4x5=a3 x1x2(x3+x4+x5)+x2x3(x4+x5)+x3x4x5=-a2x1x2x3(x4+x5)=a1x1x2x3x4x5=-a0,与前节类似,仅简单、直接地利用此,不能得解。

 

有了4次方程的2种解,和3y方程的解法,就也可类似地,令:y=x-a4/4,使原x变量的方程,成为y^4项的系数b4=0,的如下y方程:

y^5+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0,

5y方程,仅由其5个根与系数的关系,也不能得解。

采用z1z2z3z4,共4个参量,当取y方程的一个根:

y1= z1+z2+z3+z4

则因由4x方程变换为y方程,的另4个根,由w1w2w3w4,表达为:

y2= z1w1+z2w2+ z3w3+z4w4y3= z1w2+z2w1+ z3w3+z4w4

y4= z1w1+z2w2+ z3w4+z4w3y5= z1w2+z2w1+ z3w4+z4w3

    其中,w1w2w3w4,分别是相应的22次方程的2个根。

    而由方程各根与各系数的关系式,得到z1z2z3z4与各系数相应的5个关系式,确定z1z2z3z4

实际上,以y方程的任何一个根代入,都应满足方程,以y= y1=z1+z2+ z3+z4,代入,有:

(z1+z2+z3+z4)^5+b3(z1+z2+ z3+z4)^3+b2(z1+z2+z3+z4)^2+b1(z1+z2+ z3+z4)+b0,即有:

利用z1z2z3z4与各系数相应的5个关系式,以及b3b2b1b0,的a4a3a2a1a0,表达,

w1w2,表达为,y^3+b1y+b0=0,的2个根;w3w4,表达为,y^3+b1y+b0=0,的2个根,上式成为:

z1^5=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

      (z2^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z3^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z4^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

z1=((-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)

     (z2^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z3^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z4^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)))^(1/5),并有:

z2^5=(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z1^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)

(z3^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z4^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

z2=((-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z1^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)

(z3^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z4^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)))^(1/5)

z3^5=(-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z4^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z1^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)

(z2^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)

z3=((-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z4^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z1^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)

(z2^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/5),并有:

z4^5=(-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))
(z3^4-b
0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z1^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)

(z2^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)

z4=((-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z3^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(z1^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2)

(z2^4-b0/2+((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))^(1/5),即得解:

y1=z1+z2+z3+z4

y2= z1w1+z2w2+ z3w3+z4w4y3= z1w2+z2w1+ z3w3+z4w4

y4= z1w1+z2w2+ z3w4+z4w3y5= z1w2+z2w1+ z3w4+z4w3

   也还有相应的其他几种可互换的表达形式。

   按多项式公式,5y方程的解可有:2次、4次、5次,2倍、3倍、45次,10次、3倍、7倍、910次,20次,3倍、7倍、9倍、11倍、13倍、17倍、19倍,的根式,因而,就会出现有(-1)^(1/2)(-1)^(1/4)(-1)^(1/5) (-1)^(2/5)(-1)^(3/5)(-1)^(4/5)(-1)^(1/10)(-1)^(3/10)(-1)^(7/10)(-1)^(9/10)(-1)^(1/20)(-1)^(3/20)(-1)^(7 /20)(-1)^(9/20)(-1)^(11/20)(-1)^(13/20)(-1)^(17/20)(-1)^(19/20),18维数轴的复数;并因不同的条件,简化为仅有低维的复数或虚数,或实数。

 

8. 求解任意6次不可约代数方程

6次不可约代数方程:x^6+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0 {8.1}

6个系数:a5a4a3a2a1a06个根:x1x2x3x4x5x6

x方程变换为y方程,y^6+b4y^4+b3y^3+b2y^2+b1y+b0=0

5个系数: b4b3b2b1b06个根:y1y2y3y4y5y6

6xy方程,都不能仅由根与系数的关系式得解。

但可以类似4x方程那样拼凑成为2个方程得解,即引进一个y函数,并令:

(x^3+a5 x^2/2+y)^2=x^6+a5^2x^4/4+y^2+a5x^5+2yx^3 +a5yx^2

x^6+a5x^5+a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0-(x^3+a5 x^2/2+y)^2

=(a4-a5^2/4)x^4+(a3-2y)x^3+(a2-a5y)x^2+a1x-y^2+a0

=(c1x^2+c2x+c3)^2

= c1^2x^4+2c2c1x^3+(c2^2+2c3c1)x^2+2c3c2x+c3^2

 使6x方程{8.1}成为:

(x^3+a5 x^2/2+y)^2-(c1x^2+c2x+c3)^2=0,并有:

c1^2=a4-a5^2/4c1=(a4-a5^2/4)^(1/2)                             (1)

2c2c1=a3-2y c2=(a3-2y)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2))                      (2)

c2^2+2c3c1=a2-a5y

c3=(a2-a5y-((a3-2y)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2)))^2)/(2 (a4-a5^2/4)^(1/2))

=(a2-a5y)/(2 (a4-a5^2/4)^(1/2))-(a3-2y)^2/(2(a4-a5^2/4)^(1/2)))^3)  (3)

2c3c2=a1

c3=a1/(2((a3-2y)/(2(a4-a5^2/4)^(1/2))))=a1/(4((a3-2y)(a4-a5^2/4)^(1/2))(4)

c3^2=-y^2+a0                                                   (5)

    (3)代入(5),有:

((a2-a5y)/(2 (a4-a5^2/4)^(1/2))-(a3-2y)^2/(2(a4-a5^2/4)^(1/2)))^3))^2

+y^2-a0=0  y4次方程,                                 (6)

    (4)代入(5),有:

(a1/(4((a3-2y)(a4-a5^2/4)^(1/2)))^2+y^2-a0=0,即:

a1^2+(4a4-a5^2)(a3-2y)^2(y^2-a0)=0,为另一形式y4次方程,    (7)

    分别以c1c2c3的表达式,(1)(2)(3),和 (6)(7)4次方程解得的各一个y的根值分别代入如下23次方程:

x^3+(a5 /2+c1)x^2 +c2x+y +c3=0         (8.1)

x^3+(a5 /2-c1)x^2 -c2x+y -c3=0          (8.2)      

由此,即分别解得6次方程的6个根。

其中,分别以(6)(7) y根值代入得到的解,有不同的数轴,但都是可彼此互换的同一结果。

 

9.任意的n次不可约代数方程的解

   考虑到任意的n次不可约代数方程,都可分别归属于2m次和次的两类,

 

   9.1. 对于n=2m+1的方程可采用,m=12,的类似方法,即:

采用zj1zj2;j=1,2,,m,共2m个参量,当取y方程的一个根:

y1= {zj1+zj2;j=1,2,,m},,

则因由2m+1x方程变换为y方程,的另2m个根分别成为:

yj1= zj1wj1+zj2wj2+ {zk1wk1+zk2wk2,k=j+1,j+2,,m}

yj2= zj1wj2+zj2wj1+ {zk1wk1+zk2wk2,k=j+1,j+2,,m}

   j=1,2,,mk={j+1,j+2,,mj=1m循环}

  其中wj1wj2 ,分别为相应的22次方程的2个根。

而由2m+1y方程方程各根与各系数的关系式,得到 zj1zj2;j=1,2,,m,与各系数相应的2m+1个关系式,即:

wj1wj2,表达为,y^3+bj1y+bj0=0j=1,2,,m,的2个根;wk1wk2,表达为,y^3+bk1y+bk0=0 k={j+1,j+2,,mj=1m循环},的2个根,上式成为:

zj1^(2m+1)=(-bj0/2+((bj0/2)^2+(bj1/3)^2)^(1/2))

           (zj2^(2m)-bj0/2+((bj0/2)^2+(bj1/3)^2)^(1/2))

(zk1^(2m)-bk0/2+((bk0/2)^2+(bk1/3)^2)^(1/2)

(zk2^(2m)-bk0/2+((bk0/2)^2+(bk1/3)^2)^(1/2), k=j+1,j+2,,m)

zj1=((-bj0/2+((bj0/2)^2+(bj1/3)^2)^(1/2)

     (zj2^(2m)-bj0/2+((bj0/2)^2+(bj1/3)^2)^(1/2))

(zk1^(2m)-bk0/2+((bk0/2)^2+(bk1/3)^2)^(1/2)

(zk2^(2m)-bk0/2+((bk0/2)^2+(bk1/3)^2)^(1/2)

, k=j+1,j+2,,m)^(1/(2m+1))

zj2^(2m+1)=(-b0j/2-((bj0/2)^2+(bj1/3)^2)^(1/2))

            (zj1^(2m)-b0j/2-((bj0/2)^2+(bj1/3)^2)^(1/2))

(zk1^(2m)-bk0/2+((bk0/2)^2+(bk1/3)^2)^(1/2))

(zk2^(2m)-bk0/2+((bk0/2)^2+(bk1/3)^2)^(1/2)), k=j+1,j+2,,m

zj2=((-b0/2-((b0/2)^2+(b1/3)^2)^(1/2))

(zj1^(2m)-b0j/2-((bj0/2)^2+(bj1/3)^2)^(1/2))

(zk1^(2m)-bk0/2+((bk0/2)^2+(bk1/3)^2)^(1/2))

(zk2^(2m)-bk0/2+((bk0/2)^2+(bk1/3)^2)^(1/2))

, k=j+1,j+2,,m)^(1/(2m+1))

   j=1,2,,mk={j+1,j+2,,mj=1m循环},即得:

y1= {zj1+zj2;j=1,2,,m},,

yj1= zj1wj1+zj2wj2+ {zk1wk1+zk2wk2,k=j+1,j+2,,m}

yj2= zj1wj2+zj2wj1+ {zk1wk1+zk2wk2,k=j+1,j+2,,m}

   j=1,2,,mk={j+1,j+2,,mj=1m循环},而得解。

 

注意:由于每个2m次方程都只能得到,2m次方程,实际上,上式,仅适用于n=2^m+1,的情况,否则,不能得到,相应的m2次方程及其根。

对于n=2^(2^s+1)+1的情况,其各解就还要乘以m=2^s+1的相应结果;

对于n=2^(2^(2^p+1)+1)+1的情况,其各解就还要再乘以s=2^p+1的相应结果;… …。


   9.2. 对于n=2m的方程可采用,m=23,的类似方法,即引进一个y函数,并令:

(x^m+a(2m-1)x^(m-1)/2+y)^2

=x^(m-1)/2+y)^2=x^2m+a(2m-1)^2x^(2m-2)/4+y^2+a(2m-1)x^(2m-1)

+2yx^(2m-3) +a(2m-1)yx^(2m-4)

由原2mx方程-(x^m+a(2m-1)x^(m-1)/2+y)^2=(c1x^m+c2x^(m-1)

++cm)^2,解得:c1c2、…、cm,并分别解出相应的各2(m-1)次拥有方程,由其各一个解代入如下2mx方程:

(1+c1)x^m +(a(2m-1)/2 +c2)x^(m-1)+y +c3 x^(m-2)+c4 x^(m-3)++cm=0

(1-c1)x^m +(a(2m-1)/2-c2)x^(m-1)+y-c3 x^(m-2)-c4 x^(m-3) --cm=0

解得此2方程的各 m个解,就是2m方程的2m个解。

 

10.负数根式的问题

     现有数学,只有实数和(-1)^(1/2)=i,的虚数,再采用复数和共轭复数,就可以进行各种运算。

     但是3次以上的代数方程就产生了,复杂得多的(-1)^(k(j)/j); k(j)是小于j的全部互质数。

     它们都是各自不同于实数的数类,就必须解决它们的产生、运算、演变。

     其实,只要用(-1)^(k(j)/j)标志相应各数,则其加减法,也可以很简单,其他各种运算,都将按指数和分数的运算规则,另文具体分析、讨论。


11.参考文献:

[1]数学百科全书编委(顾问)苏步青等(主任)王元等科学出版社 1994

[2]Basic algebra 1-2 Jacobson, N. Freeman 1974-1980

[3] Algebra 1-2 B.I. Van Der Waerden Springer-Verleg  1955-1959

[4]科学网时空可变系多线矢世界http://blog.sciencenet.cn/u/可变系时空多线矢主人

 

      本文已有“改写版”。




http://blog.sciencenet.cn/blog-226-1132269.html

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