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数学及其新的革命性发展(新版)

已有 1142 次阅读 2018-1-13 20:22 |个人分类:数理|系统分类:论文交流|文章来源:转载

数学及其新的革命性发展(新版)

中国科学院  力学研究所 吴中祥

                                   

人们必须通过实践,正确认识客观事物的特性和运动规律,才能利用和改造客观世界,得到生存、发展。

一切客观事物最普遍的特性和运动规律,是从其中抽象出来的“数”和“形”。

“数学”就是研讨“数”和“形”及其相互关系和变化规律,并逐个、逐次加深认识而发展的学科。

各种“数”都是从一切实际事物的数量和顺序中抽象出来的概念,并通过实践,逐个对其变化规律,逐次比较、区分、联系,加深认识,而发展的。

由于仅引进2次根式,解得任意n次不可约代数方程,就能由2次根式表达-1和任意正整数的任意n次根式,才能,也即能,以实数、虚数、复数表达所有的数,由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数表达,所有的无理数都才是,也只是,由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。

有了表达并确定各素数的序数、数值和变化规律的方法,就能,类似地利用现有的各种解析运算方法,具体发展素数和素数复数的代数和解析运算方法。

使数论和解析数论革命性地发展。

“形”,及其与“数”的相互关系和变化规律的一些认识和发展,就形成各相应的“几何学”、“解析几何学”、“微分几何学”和“拓扑学”。

特别是,3维空间发展到4维时空,3维矢算发展到弯曲时空的时空可变系多线矢,及其矢算,就能,也才能,表达并研讨客观存在的,现有理论尚未能解决的,各种已知有关实际问题,全面地解决各种实际问题的已知各种形与数的有关问题,从而发展了相应的形与数的数学。

关键词:数,形,代数,解析,数论,几何,矢算,

(一)数:

1.“数”的基本特性

“数”最基本的特性是可数性、可列性。

“数”是从一切事物中抽象出来的,它的可数性、可列性也正是联系到各种事物本身的可数性、可列性。

任何事物是否“可数”?就必须具有如下两个基本条件:

(1)它们必须是“同类”的事物。

(2)必须确定同一的“单位

当然,有时也可将某些事物,甚至是不同类的事物,组配成“套”、“团”或“堆”,作为单位,这类成“套”、“团”或“堆”的相应事物,就也按此单位可数了。

(3) 各种“数”本身却是与事物的种类、性质、单位都无关

既已抽象为“数”之后,各种“数”本身就与事物的种类、性质、单位都无关,它们所表达的事物种类、性质、单位等等都需另外注明。

任何事物怎样才是可列的?

只有该事物是可数的,而且确定了它们的“排列顺序”的基本原则,例如:数值、体积、重量、大小,先后、高低、好坏,等等之后,才是可列的。

对于“数”,一般就只是分别对同类的数,相同的单位,按数值大小的排列顺序,才是可列的。对于不同类的数,甚至某类不同单位的数,也是不可列的。

当然,如果将稍大于0;且稍小于1的,全部实数或虚数,整体作为单位,那么,整个实数轴虚数轴上的各数就也都是按此单位可列的了。

   自然数的顺序和数值是已经从客观事物中,抽象出时就确定了的。但是,由它产生的其它各数的顺序和数值就还需具体确定。

2. 各种“数”的产生和发展

只要有了“单位”,就有了“1

最基本的数,是“正整数”的“自然数”:123、…、n

各种“数”都有:加、减、乘、除的4则运算。

由它的加法,就产生不断增大的数,

逐渐增大的整数就由一定的进位制表达为相应增大位数的整数。

通常适用的进位制有:10进制、2进制(只有2种状态交替增加的整数)、8进制(为简化位数,联合32种状态交替增加的整数)

对于k进制,有n位的各整数可表达为:

an[n]+a(n-1)[n-1]+a(n-2)[n-2]+…+a2[2]+a1[1]+a0[0],

 其中,nj=j位数的数值:012,…,或(k-1)[j]= k^j

对于10进制,有n位的各整数可表达为:

an[n]+a(n-1)[n-1]+a(n-2)[n-2]+…+a2[2]+a1[1]+a0[0],

其中,nj=j位数的数值:012,…,或9[j]= 10^j。可简记为:

ana(n-1)a(n-2)…a2a1a0[0],

整数无限增加,就产生了“无穷大”。

由数的减法,同等大小的数相减,就产生了“0 ”,被减数小于减数,就产生了各个“负整数”乃至“负无穷大

由数的乘法,产生了“乘方”、“开方”,“指数”、“对数”,不能去掉根号的开方,就产生了“无理数”。

由数的除法,不能得出整数的,产生了“分数”,被除数小于或大于除数,就产生了“真分数”或“带分数”,“带分数”=“整数”+“真分数”。

1/整数=倒数。“真分数”=“整数”乘“大于它的另一整数”的倒数。

10进制,扩展到:

an[n]+a(n-1)[n-1]+a(n-2)[n-2]+…+a2[2]+a1[1]+a0[0].

+a(-1)[-1]+a(-2)[-2]+…,

就产生了“小数”,其小于1的部分形成循环的,就是“循环小数”,无限循环的,就是“无限循环小数”。

有些“分数”可以等于相应的“小数”,有些“分数”只能趋近于但并不等于相应的“小数”,应注意区分。

可被或不可被“2”整除的整数,就区分为“偶数”或“奇数”。

除“1”和其自身外,可被或不可被整除的整数,就区分为“合数”或“素数”。

还有,常数、变数、函数之分,而有“代数”,都有相应的各种运算规则。

微小的变数、函数还形成相应的“微分”,乃至相应的“无穷小”,而由事物的相应的变化规律,形成各种代数、微分和偏微分方程式。

3,实数的“偶数”、“奇数”、“合数”、“素数”的相互关系,以及正负实整数或正负虚整数“歌德巴赫猜想”的证明

可被或不可被“2 ”整除的整数,就区分为“偶数”或“奇数”,

因而,可采用整数m,以2m顺序表达各“偶数”;以2m+1顺序表达各“奇数”;

除“1 ”和其自身外,可被或不可被整除的整数,就区分为“合数”或“素数”,

因而,可采用整数m,以j(m) 顺序表达各“素数.

按素数的特性,有:j(m)/j(m-k); k=1,2,,m-1,都不是整数,这也就是判定j(m)是素数的基本条件。

就可以按序,m,列表,具体确定各个素数,j(m),的数值,并可以确定,相邻素数之差r(m,1)=j(m+1)-j(m),例如:

m     1  2 3  4  5 6  7  8 9  10 11 12 13 14 15

j(m)  2  3 5  7  11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

r(m,1)12242424626424 … … …

j(1)=2,为“偶数”外,所有的j(m) m>1的“素数”,都是“奇数”。

而且,所有的“偶数”+“偶数”=“偶数”,所有的“偶数”+“奇数”=“奇数”,所有的“奇数”+“奇数”=“偶数”,

对于整数(也适用于负实整数或正、负虚整数),就容易地,简单地直接地完全证明:

“除2以外,的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”,=3个“奇数”相加”,还可以扩展为:“除2以外,的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”,=奇数个“奇数”相加。

(1)具体判断各整数是否素数的简单方法

创建了具体判断10进制中,哪些整数是素数的简单方法。

就使得,在整数中,素数如何分布?是否存在无穷大的素数?等问题,以及各种多胞胎(多个连续的)素数的一些基本特性都可由此解决。即:

偶数都能被2整除,因而,大于2的,各个位数 =2468的,就都不是素数;

3的倍数都能被3整除,因而,大于3的,各个位数=369的也都不是素数;而且,3的所有倍数的各位数之和都能被3整除,因而,大于3,而各位数之和能被3整除的任何整数,也都不是素数;

5的倍数都能被5整除,因而,大于5的,各个位数=50的,也都不是素数;

各整数中,除25,两数而外,其个位数的10个数中,就都仅有是:1379的,才可能是素数。

各整数中个位数是:1379,若能被比它小的任何素数,整除的,也不是素数。

因而,有:

小于10的各整数中,就只有2357,才是,也必是,素数。

大于10的各整数,就仅有个位数是:1379,而且,不能被比它小的素数,整除的,(个位数是3的,还需各位数之和都不能被3整除),才是,也必是,素数。

直到,不断增大,而仍是素数的数,才是,也就是,无穷大素数。

这就是具体判断,无论多大的各整数是否素数,的简单方法。

  (2)“歌德巴赫猜想”简单、完善的证明

 采用如上方法表达和确定素数的数值和序数,就有:

偶数6=j(2)+j(2),而对于大于6的所有偶数:

当偶数2m=j(m-s)+j(m-s’)ss’=0,1,2,,m-1, 则按素数的基本特性,j(m)/j(m-k)k=1,2,,m-1,都不是整数,就可以判定,比素数,j(m+1),小的全部素数,j(m+1-k’)k’=01,2,,m-1,中至少必有1个素数,能使

2(m+1)-j(m-k)=j(m+1-k’)k,k’=01,2,,m-1,成立。

m=3,已知有j(2)+j(2)=62个素数之和是偶数,比这2个素数小的素数只各有1个。

m+1,则比这2个素数小的素数都各增加1个,而必至少能有2个素数之和是偶数。

如此逐次,增大 m,就证明了,大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们

奇数7= j(1)+j(1)+j(2),而对于大于7的所有奇数:

当奇数2m+1=j(m-s)+j(m-s’)+j(m-s”)s,s’,s”=0,1,2,,m-1, 则按素数的基本特性,j(m)/j(m-k)k=01,2,,m-1,都不是整数,就可以判定,比素数,j(m+1),小的全部素数,j(m+1-k”)k”=01,2,,m-1,中至少必有1个素数,能使2(m+1)+1-j(m-k)-j(m-k’)=j(m+1-k”)k,k’,k”=01,2,,m-1,成立。

m=3,已知有j(1)+j(1)+ j(2)=73个素数之和是奇数,比这3个素数小的素数只有0个和1个。

m+1,则比这3个素数小的素数都各增加1个,而必至少能有3个素数之和是奇数。

 如此逐次,增大m,就证明了大于7的所有奇数都至少有3个素数相加,等于它们。

对于m>3 的任意偶数,2m,奇数,2m+1,都具体验证了上述结论。

因而,对于,正整数(也适用于负实整数或正、负虚整数),就已简单、完善地证明了:大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们,或大于7的所有奇数都至少有3个素数相加,等于它们,的“歌德巴赫猜想”(AB)

    对于复数素数的“歌德巴赫猜想”证明

复数A=A1+iA2,与相应的“共轭复数”A*=A1-iA2,相乘=相应的实数,A1^2+A2^2

复数A/复数B=(A1+iA2)/(B1+iB2)=(A1+iA2)(B1-iB2)/(B1^2+B2^2)

            =((A1B1-A2B2)+i(A2B1-A1B2))/(B1^2+B2^2)

只有“复数”,F=F1+iF2,的实部与虚部,即:F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2)F2=(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2),都是整数,成为N=N1+iN2,才是整数,N

 只有“复数”,F=F1+iF2,的实部与虚部,即:F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2)F2=(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2),除2都是整数,M=M1+iM2,才是偶数,2M表达。

只有“复数”,F=F1+iF2,的实部与虚部,即:F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2)F2=(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2),除2都不是整数,M=M1+iM2,才是奇数,以2M+1表达。

只有J(m)=J(m)1+iJ(m)2除以J(m-k)=J(m-k)1+iJ(m-k)2k=1,2,,m-1,的实部与虚部,即:

J(m)1=(J(m)1J(m-k)1-J(m)2J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2)

J(m)2=(J(m)2J(m-k)1-J(m)1J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2)k=1,2,,m-1,都不是整数,才是复素数,以J(m)=J(m)1+iJ(m)2,表达。

因而,对于复数,要证明大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们,或大于7的所有奇数都至少有3个素数相加,等于它们,的所谓“歌德巴赫猜想”(AB),就都必需,也仅需,增加要求相应的各“复数”都满足以上的条件。

否则,就不能证明。

   这也正是采用复数表达的“圆法”和相应的“筛法”的现有证法,不能最终证明,命题{1,1},即所谓:“1+1”,的实质原因。

特别是,分别给出了偶数,2m,和奇数,2m+1,随着m改变到m+1,由素数,j(m),j(m-k) k=1,2,,k-1,表达的变化规律,对研究素数特性,乃至发展数论、解析数论,都有重要作用。

对素数其它有关特性的研讨

有了表达并确定各素数的序数、数值和mm+1变化规律如上方法,就不仅能直接地完全证明歌德巴赫猜想(AB),而且,能全面研讨素数的各种特性,例如:

(3) 具体顺序表达各自然数、偶数和奇数

有了表达并确定各素数的序数、数值和mm+1变化规律如上方法,就能:

素数j(1)^a(1) j(2)^a(2)j(k)^a(k),  其中,k1,2,,ss2,3,,任意大整数,指数,a(1),a(2) ,, a(k)依次单独从1,2,, s=1,而其它指数均=0,直到往返重复s-1次,则,k=s2,3,,任意大整数,就可依次顺序表达,除1外的全部自然数,n

   或级数,J(s)

= j(1)^s,j(2)j(1)^(s-1)j(1)^s+1, j(2)j(1)^(s-1)+1

j(1)(j(1)^(s-1)+1),j(1)( j(2)j(1)^(s- j(1))+1)

j(1)(j(1)^(s-1)+1)+1, j(1)( j(2)j(1)^(s- j(1))+1)+1

j(1)^ j(1)( j(1)^(s- j(1))+1), j(1)^j(1)( j(2)j(1)^(s- j(2))+1)

j(1)^ j(1)( j(1)^(s- j(1))+1)+1, j(1)^j(1) j(2) (j(1)^(s- j(2))+1)+1

… …

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1),j(1)^(s-j(1))(j(2)j(1)+1)

j(1)^(s-j(1))(j(1)^j(1)+1)+1,j(1)^(s-j(1))(j(2)j(1)+1)+1 s=1,2,, (任意大的整数)

就可依次顺序表达,除1外的全部自然数,n

   类似地,

可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)j(k)^a(k))表达,除2外的全部偶数,2n

可由2(j(1)^a(1) j(2)^a(2)j(k)^a(k))+1表达,除13外的全部奇数,2n+1

r(m,s)=j(m+s)-j(m),除m=1s=1时,r(1,1)=1,是奇数,而外,其他所有m大于1r(m,s),都是偶数。而有:

r(m,1)=j(m+1)-j(m)

r(m+1,1)=j(m+2)-j(m+1)

r(m+1,1)+ r(m,1) =j(m+2)- j(m)

r(m,s)=j(m+s)-j(m)

r(m+s,1)=j(m+s+1)-j(m+s)

r(m+s,1)=j(m+s+1)- j(m) - r(m,s)

j(m+s+1)=r(m+s,1) + r(m,s) + j(m)

   (4)素数等差数列的一些特征

u+1素数等差数列是:等差步长为s的连续u+1个素数,即pt=p0+st;t=0,1,2,,u,同为素数,的系列。

各系列:P0是首项,u+1是项数,pu=p0+su是末项。

若该素数等差数列,可相继连续出现,其相邻系列的距离,标为:r(p0(a+1)-p0a)=r(pu(a+1)-pua)

当给定:等差步长,s后,可从m1=2开始逐个增大地,按具体判断各整数是否素数的简单方法,选定适当的m1能开始使j(m1)成为素数的,作为第1个素数等差数列的首项,p01=j(m1)

再由:j(m1,t)=j(m1)+st;t=0,1,2,,u,都是素数,而j(m1,u+1)=j(m1)+s(u+1)不是素数的条件,确定为:j(m1,u)=j(m1)+su,第1个多胞胎素数素数等差数列的末项。

并从m2=m1+1开始逐个增大地,按具体判断各整数是否素数的简单方法选定适当的m2= m1+a1,能再开始使j(m2)成为素数,并且连续的upt=j(m2)+st; t=1,2,,u,都是素数的,作为下一个u+1素数等差数列的首项,p02=j(m2)= j(m1+a1)= j(m1)+sa1,和末项,pu2=j(m2+u) = j(m1+u+a1)= j(m1)+s(u+a1)

如此重复,逐次确定,各ku+1素数等差数列的首项,p0k= j(mk) = j(mk+ak)= j(mk)+sak,和末项,puk= j(mk+u) = j(mk+u+ak)=j(mk)+s(u+ak)

(5) 孪生素数

s=2u=1就是通常的的孪生素数:

20135月《自然》在“突破性新闻”栏目里,宣布,《数学年刊》接受华人学者张益唐发表的题为《素数间的有界距离》的文章,证明了存在无数多个孪生素数对(p,q),其中每一对素数之距离,不超过七千万。

后来,进一步得出,其中每一对素数之距离,不超过六万。

   按本文方法,就具体得到:

实际上,大于10的各对素数的个位数都是:1 37 99 1

可见,随着素数的加大,孪生素数可以无穷多,数值可到无穷大,r有多个峰值的波动变化。但其峰值,随着孪生素数的增大,始终是有限的数值,而且,与该处素数之比,始终是愈来愈小。

对于大于10的,s=2u=1的第b个孪生素数,其末项m[b+1]=m[b]+1素数j(m[b]+1),其末位数必为:1379,且不能被37,整除。当逐个增大至j(m[b+c])=j(m[b])+scj(m[b+c] +1)=j(m[b])+s(c+1)都是素数,则它们的末位数必都为:1379,且除1外,都不能被j(m[b])的末位数整除。也就是,cc+1,除1外,都不能被j(m[b])的末位数整除。因而,对于,任意大的b,而能产生下一组u=1的孪生素数。而且,即使趋于无穷大,c都是有限值。

 从在90-100万间,s=2u=1的孪生素数的数据,看来,在素数994249处,r=426;在素数999961处,r=348

因而,随着素数的加大,其中每一对素数之距离,有极限值。而且,这个极限值与该处素数之比愈来愈小。

200614日,美国宣布:200512月中旬,花了多年时间给700部电脑编程,得出迄今最大素数:它有910万位,被称为梅森数M30402457,即:2^(30402457)-1

2008823日,发现的梅森数M43112609,即:2^(43112609)-1。超过了1200万位。

当年,张益唐已算得此极限值,为:七千万,进而,缩减为:六万。不知是否已经用到当年最大素数数据。

也不知现在,已知最大素数又增大到了多少?此极限值又缩减到了多少?

利用本文,创建的:表达并确定各素数的序数、数值,和具体判断各整数是否素数的简单方法,就应容易得到:更大的素数,和进一步缩减每对素数距离的极限值。

s=4u=1就是s=4,的孪生素数:

实际上,大于10的,各对素数的个位数都是:7 13 79 3

3 77 1113 1719 2337 4143 4767 7171 73,…,

s=6u=1就是s=6,的孪生素数:

实际上,大于10的,各数的个位数都是:7 33 91 7

5 117 13 11 1713 1917 2323 29,…,

s=8u=1就是s=8,的孪生素数:

实际上,大于10的,各数的个位数都是:3 11 99 7

3 115 1311 1923 3129 37,…,

s=10u=1就是s=1,的孪生素数:

实际上,大于10的,各数的个位数都是:3 31 19 97 7

3 137 1713 2319 2931 41,…

    s=su 1的多个素数的素数等差数列

(6) 3个素数的素数等差数列

对于u=23个素数的素数等差数列,有:

    s=2u=23个素数的素数等差数列  3 5 7

    s=4 u=23个素数的素数等差数列3 7 17

s=8 u=23个素数的素数等差数列3 11 19

  s=10 u=23个素数的素数等差数列3 13 23

除了s=n!;n=3,4,, s=2!乘nn=1,2,…,,从m2=m1+su开始逐个增大地,按具体判断各整数是否素数的简单方法选定所有的m2即使能开始使j(m2)成为素数,而连续的2pt=j(m2)+st; t=1,2,就必然不都是素数,都不可能作为下一个胞胎素数系列的首项,p02=j(m2) 和末项,j(m2+2),就再也不会有更大数值的,s=2!乘nn=1,2,,u=23个素数的素数等差数列。

s=6 u=23个素数的素数等差数列

实际上,大于10的,各组素数的个位数都是:17 37 3 9

5 111711 17 2317 23 2931 374347 53 5961 67 7367 7379,…,

s=12 u =23个素数的素数等差数列

实际上,大于10的,各组素数的个位数都是:79 19 1 3

5 172917 29 4129 41 5359 718389 101 113127 139 151139 151 163

167179 191199 211 223227 239 251239 251 263269 281 293,…,

对于大于10的,除了s=n!;n=4,5,, s=3!乘nn=1,2,,u=2的第b3个素数的素数等差数列,其末项m[b+1]=m[b]+2素数j(m[b]+2),其末位数必为:1379,且不能被37,整除。当逐个增大至j(m[b+c])=j(m[b])+scj(m[b+c]+1)=j(m[b])+s(c+1)j(m[b+c]+2)=j(m[b])+s(c+2)都是素数,则它们的末位数必都为:1379,且除1外,都不能被j(m[b])的末位数整除。也就是,c c+1c+2,除1外,都不能被j(m[b])的末位数整除。因而,对于,任意大的b,而能产生下一组u=23个素数的素数等差数列。而且,即使趋于无穷大,c都是有限值。

(7)e+1个素数的素数等差数列

u=1,2,的如上规律,类推,对于u=e (e+1)个素数的素数等差数列,即有:

除了s=n!;n=e+1,e+2,, s=e!乘nn=1,2,,,从m2=m1+su开始逐个增大地,按具体判断各整数是否素数的简单方法选定所有的m2即使能开始使j(m2)成为素数,而连续的2pt=j(m2)+st; t=1,2,就必然不都是素数,都不可能作为下一个胞胎素数系列的首项,p02=j(m2) 和末项,j(m2+2),就再也不会有更大数值的,s=e!乘nn=1,2,,u=e+1个素数的素数等差数列。

对于大于10的,除了s=n!;n=e+2,e+3,, s=(e+1)!乘nn=1,2,, u=2的第b3个素数的素数等差数列,其末项m[b+1]=m[b]+2素数j(m[b]+2),其末位数必为:1379,且不能被37,整除。当逐个增大至j(m[b+c])=j(m[b])+scj(m[b+c]+1)=j(m[b])+s(c+1)j(m[b+c]+2)=j(m[b])+s(c+2)都是素数,则它们的末位数必都为:1379,且除1外,都不能被j(m[b])的末位数整除。也就是,c c+1c+2,且除1外,都不能被j(m[b])的末位数整除。因而,对于,任意大的b,而能产生下一组u= ee+1个素数的素数等差数列。而且,即使趋于无穷大,c都是有限值。

    (8)存在任意多的多个素数的素数等差数列

2004418日,陶哲轩和格林两人宣布:他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”,也就是:存在任意多的多个素数的素数等差数列。

但是,不知他们是怎么证明的,且证明太繁复,长达50页。

而由(7) u=e,所给出的e+1个素数的素数等差数列的规律性,就可见,确实存在任意多的多个素数的素数等差数列。并具体给出了它们的一些具体特征。

4. 任意n次不可约代数方程仅引进2次根式的公式解

    (1)任意n次不可约代数方程的基本特性

任意n次不可约代数方程:

{a*[n-j]x^j; j=0n求和}=0,                               (2.1*)

左边是x n 次多项式, 它的各系数:a*[n-j]; j=0,1,2, ,n, 都是任意常数。

还总可各项除以a*[n]表达为:

{a[n-j]x^j; j=0n求和}=0,                                (2.1)

左边x多项式的各系数: a[n]=1,a[n-j] =a*[n-j]/a*[n];j=1,2,,n,

  (2.1)方程的各根是: xj; j=1n,则其各根与其多项式各系数有如下关系式:

xj,j=1n求和=a[n0]

xj1xj2,j2=j1-1,j1=1n求和, j2=j1-1n-j1求和=a[1]

 

xj1xj2xjk = a[n-jk]n-jk为偶,a[n-jk]-n-jk为奇,a[n-jk]+

xj1xj2xjk(jk=n) = a[0]n为偶,a[0]-;为奇,a[0]+    (2.2)

又总可经x的变换,x*=x+a[n-1]/n,而使方程表达为:

x*^n +{a*[n-j]x^(n-j) ; j=2n求和}=0,                          (2.3)

其各系数{a*[n-j], j=1n,  均可由方程各系数(a[n-j]; j=1,2,,n的函数具体表达,而其中, a*[n-1] =0

(2)n=2m

方程成为:

x^(2m) +{a[2m-j]x^(2m-j) ; j=12m求和}=0,            (3,1)

可表达为:

(x^m+{a1[m-j]x^(m-j); j=1m求和})

(x^m+{a2[m-j]x^(m-j) ; j=1m求和})=0,              (3,2)

而有如下2m个公式:

a1[m-1]+a2[m-1]=a[2m-1]=0

21[m-1]a2[m-1]+a1[m-2]+a2[m-2]=a[2m-2]

a1[m-1]a2[m-2]+a1[m-2]a1[m-2]+a1[m-3]+a2[m-3]=a[2m-3]

2a1[m-2]a2[m-2]+a1[m-1]a2[m-3]+a2[m-1]a1[m-3]+a1[m-4]+a2[m-4]=a[2m-3]

+………

+a1[m-1]a2[1]+a2[m-1]a1[1]+a1[m-2]a2[2]+a2[m-2]a1[2]

+………

+a1[m-1]a2[ 1] + a2[m-1]a1[1]+2a1[0]a2[0]=a [0]       (3,3)

  (3,3),可解得:由a[2m-j]; j=22m表达的a1[m-j];j=1m

a2[m-j] ; j=1m各值。

  即可仅引进2次的根式,分别解出此2m次方程的m个解,得到原2m次方程的2m个解。

(3)n=2m+1

方程(2.1)成为:

x^(2m+1) +{a[2m+1-j]x^(2m+1-j) ;j=12m求和}=0,     (4,1)

    变换变量:x*=x- a[2m]/(2m+1),而使(4,1)成为:

x*^(2m+1) +{a*[2m+1-j]x^(2m+1-j) ;j=22m求和}=0,    (4,2)

    a*[2m]=0a*[2m+1-j]; j=22m,都由a[2m+1-j];j=12m的相应函数表达,

    于是,(4,2)都可由其各根与各系数的关系式,解得x*各根,再变换为(4,1)x各根。

   (4)n=2

     按第3节,

2次不可约代数方程:x^2+a1x+a0=0        {5.1}

由变换y=x+a1/2x=y-a1/2x^2=y^2-a1y+a1^2/4,而使

x^2+a1x+a0=y^2-a1y+a1^2/4+a1(y-a1/2)+a0

变换为1次项的系数=0,的如下形式:

y^2+b0=0,  b0=a0-a1^2/4,                    {5.1’}

y2^2=-b0,解得:

y1=+i(b0)^(1/2),            (1’)

y2=-i(b0)^(1/2),             (2’)

x1=-a1/2+((a1/2)^2-a0)^(1/2),  (1)

x2=-a1/2-((a1/2)^2-a0)^(1/2) (2)

即可仅引进2次的根式,得任意2次不可约代数方程,仅引进2次根式,的公式解

  (5)n=3

    按第4节,

3次不可约代数方程:

x^3+a2x^2+a1x+a0=0                                      (4,2)

作变换:x=y-a2/3,

x^2=y^2-2a2y/3+a2^2/9,

x^3=y^3-a2y^2+a2^2y/3-a2^3/27

 x方程变换为:

y^3+b1y+b0=0,其中, b1=a2^2/3,b0=a0-a2a1/3+2a2^3/27,          (4,3)

 y方程有3个根:y1y2y3

方程的根与系数有如下关系:

y1+y2+y3=0 y3=-(y1+y2),   (1)

(y1+y2)y3+y1y2=b1,         (2)

y1y2y3=-b0,                (3)

  (1)代入(2)(3),消去y3:

(y1+y2)^2=y1y2-b1,即:

y1^2+y1y2+y2^2+b1=0,                 (2’)

y1y2(y1+y2)=-b0,即:

y1^2y2+y1y2^2+b0=0,                   (3’)

  由(2’)解得:

y1=-y2/2+,-(y2^2/4-(y2^2+b1))^(1/2),       (2”)

  (3)解得:

y1=-y2^2/2+,-(y2^4/4-b0)^(1/2),        (3”)

(2”)-(3”), 消去y1:

y2^2/2-y2/2=+,-((y2^4/4-b0)^(1/2)-(y2^2/4-(y2^2+b1))^(1/2)),即:

((y2^2/2-y2/2)-,+(y2^4/4-b0)^(1/2))^2=y2^2/4-(y2^2+b1),即:

(y2^2/2-y2/2)-,+(y2^4/4-b0)^(1/2)=(3y2^2/4+b1)^2,即:

(y2^2/2-y2/2)-,+(y2^4/4-b0)^(1/2)=(9y2^4/16+3b1y2^2/2+b1^2),即:

(y2^4/4-b0=(9y2^4/16+(3b1-1)y2^2/2+y2/2+b1^2)^2,即:

(9/16)^2y2^8+(9/16)(3b1-1)y2^6+(9/32)y2^5+(27b1^2/2+6b1-2)y2^4/4

       +(3b1-1)b1^2y2^2+b1^4+b0=0,      (4)

  y2是方程的根,(由(2’)-(3’)也得到)有:

y2^3+b1y2+b0=0,                                       (5)

 (4)-(9/16)^2y2^5(5):

(9/16)((45/16)b1-1)y2^6-((9/16)^2b0-9/32)y2^5+(27b1^2/2+6b1-2)y2^4/4

      +(3b1-1)b1^2y2^2+b1^4+b0=0,                    (6)

 (6)-(9/16)((45/16)b1-1)y2^3(5):

-((9/16)((45/16)b1-1)b1+(9/16)^2b0-9/32))y2^5

+((27b1^2/2+6b1-2)-(9/4)((45/16)b1-1)b0)y2^4/4

      +(3b1-1)b1^2y2^2+b1^4+b0=0,                    (7)

(7)+((9/16)((45/16)b1-1)b1+(9/16)^2b0-9/32))y2^2(5):

((9/4)((45/16)b1-1)b1+(9/8)^2b0-9/8)b1

+(27b1^2/2+6b1-2)-(9/4)((45/16)b1-1)b0)y2^4/4

+((3b1-1)b1^2+(9/16)((45/16)b1-1)b1+(9/16)^2b0-9/32)b0)y2^2+b1^4+b0=0,

((9/4)((45/16)b1^2-b1)+(9/8)^2b1b0-9b1/8)

+(27b1^2/2+6b1-2)-(9/4)((45/16)b1b0-b0))y2^4/4

+((3b1^3-b1^2)+(9/16)((45/16)b1^2-b1)+(9/16)^2b0^2-9b0/32))y2^2

+b1^4+b0=0,    即:

((9/16)((6+45/16)b1^2-(9/4)^2b1b0+2/3b1+(9/4)b0-9/2))y2^4

+(3b1^3 +(9/16)((39/16)b1^2-b1)+(9/16)^2b0^2-9b0/32))y2^2

+b1^4+b0=0,                                        (8)

(8)-((9/16)((6+45/16)b1^2-(9/4)^2b1b0+2/3b1+(9/4)b0-9/2))y2(5):

c2y2^2-c0=0,                                        (9)

c2=((9/16)((34/3+45/16)b1^3-(9/4)^2b1^2b0+(2/3+39/16)b1^2+(9/4)b1b0

  -9b1/2-b1+(9/16)^2b0^2-9b0/32)

c0=(b1^4+(9/16)((6+45/16)b1^2b0-(9/4)^2b1b0^2+2/3b0b1+(9/4)b0^2-49b0/18)

即得仅引进2次根式,3次不可约代数方程的3个根式解:

y2=(c0/c2)^(1/2), x2=-c2/3+(c0/c2)^(1/2),

y2代入(3”)

y1=-c0/(2c2)+,-((c0/c2)^2/4-b0)^(1/2),x1=-c2/3-c0/(2c2)+,-((c0/c2)^2/4-b0)^(1/2),        

  y2y2代入(1)

y3=-(-c0/(2c2)+,-((c0/c2)^2/4-b0)^(1/2)+(c0/c2)^(1/2)),

 x3=-c2/3-(-c0/(2c2)+,-((c0/c2)^2/4-b0)^(1/2)+(c0/c2)^(1/2)),

  (6)n=4

    按第3节,

任意4次不可约代数方程总可表达为:

x’^4+a’3x’^3+a’2x’^2+a’1x’+a’0=0                        (7.1’)

取:x=x’+a’3/4,

方程(7.1’)成为:

x^4+a2x^2+a1x+a0=0                                   (7.1)

a2=6 (a’3/4)^2-3a’3^2/4+a’2

=-(3/8) a’3^2/4+a’2

a1=-4(a’3/4)^3+3a’3(a’3/4)^2-a’2a’3/2+a’1

=(1/8) a’3^3-a’2a’3/2+a’1

a0=(a’3/4)^4-a’3(a’3/4)^3+a’2(a’3/4)^2-a’1a’3/4+a0

=-(3/4^3) a’3^4+a’2(a’3/4)^2-a’1a’3/4+a0,令:

x^4+a2x^2+a1x+a0=(x^2+a*1x+a*0)(x^2+a1x+a0),而有:

a*1+ a”1=0,    a*1=-a”1,        (1)

a*0+a”0=a2,    a*0 =a2-a”0,      (2)

a”0a*1+a”1a*0=a1,                (3)

a”0a*0=a0,                         (4)

(1)  (2) 代入(3)

a”1=a1/a2,                                  (a)

(a)代入(1)

a *1=-a1/a2,                                 (b)

(1)  代入(4)

a”0^2-a2a”0+a0=0,  a”0=a2/2+,-(a2^2/4-a0)^(1/2),  (c)

(c)代入(2)

a*0 =a2 /2-,+(a2^2/4-a0)^(1/2),                   (d)

于是,可分别解得22次方程:x^2+a*1x+a*0=0x^2+a”1+a”0=0,的各2个解,而得到,仅引进2次根式,4次不可约代数方程的4个根式解。

  (7)n=5

   按第4节,任意5次方程,都可变换为:

x^5+a3x^3+a2x^2+a1x+a0=0,                             (8.1)

  其各根与各系数的关系式为:

x1+x2+x3+x4+x5=0,   x1=-(x2+x3+x4+x5),                 (1)

x1(x2+x3+x4+x5)+x2(x3+x4+x5)+x3(x4+x5)+x4x5=a3,

x1=(a3-x2(x3+x4+x5)-x3(x4+x5)-x4x5)/(x2+x3+x4+x5),   (2)

x1x2 (x3+x4+x5)+x2x3(x4+x5)+x3x4x5=-a2,

x1=-(a2+x2x3(x4+x5)+x3x4x5)/(x2(x3+x4+x5)),          (3)

x1x2 x3(x4+x5)+x2x3x4x5=a1,

 x1 =(a1-x2x3x4x5)/(x2x3(x4+x5)),                     (4)

x1x2 x3x4x5=-a0,

x1=-a0/(x2x3x4x5),                                 (5)

各根均满足原方程,有:

xj^5+a3xj^3+a2xj^2+a1xj+a0=0, j=15                    (6)

(8.1)可表达为:

(x-x1)(x^4+a*3x^3+a*2x^2+a*1x+a*0) =0,                   (8.1*)

  有:

x1+a*3=0    a*3=-x1                       (1*)

x1a*3+a*2=a3a*3^5+a3a*3^3+a2a*3^2+a1a*3+a0=0 (2*)

x1a*2+a*1=a2a*2=(a0-a1x1+a2x1^2)/x1^3         (3*)

x1a*1+a*0=a1a*1=-(a0-a1x1)/x1^2               (4*)

x1a*0=a0   a*0=a0/x1                       (5*)

  由如上系数的4次方程:

x^4+a*3x^3+a*2x^2+a*1x+a*0=0                  (8.2)

  解得它的4个解,就是以原5次方程的一个解,x1,表达的另外4个解。

  由原5次方程5个根的关系式: x1+x2+x3+x4+x5=0,得到x1的一个方程,

再与x1满足原5次方程的方程式逐次联立降幂,求得x1的解,再代入得到其它各解。

因而,得到,仅引进2次根式,5次不可约代数方程的5个根式解。

 (8)n=6

  按第3节,任意6次方程,都可变换为:

x^6+a4x^4+a3x^3+a42x2+a1x+a0=0,               (9.1)

又总可表达为:

(x^3 +a’1x+a’0)(x^3 +a”1x+a”0)=0,                 (9.2)

  有:

a4=a’1+a”1,           (1)

a3=a’0+a”0,          (2)

a2=a”1a’1,           (3)

a1=a”1a’0+a”0a’1,     (4)

a0=a”0a’0,           (5)

  由此解得:

a’0= a3/2+,-(a3^2/4 -a0)^(1/2),                                    (a)

a’1=a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,-a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0,       (b)

a”0=a0/(a3/2+,-(a3^2/4 -a0)^(1/2)),                                (c)

a”1=a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,-a3(a3^2/16-a0/4)^(1/2))/a0),   (d)

分别将(a)(b)(c)(d)代入23次方程,并解出它们,

x^3 +(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,-a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)x

+ a3/2+,-(a3^2/4-a0)^(1/2)=0

x^3+(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,-a3(a3^2/16-a0/4)^(1/2))/a0))x

+a0/(a3/2+,-(a3^2/4-a0)^(1/2))=0,

于是得到:

x1=a2a1(a3/2+(a3^2/4-a0)+,- a3(a3^2/16-a0/4)^(1/2))/a0,

x2=-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,-a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)/2

+((a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,-a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)^2/4

  -(a3/2+,-(a3^2/4-a0)))^(1/2),

x3=-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,-a3(a3^2/16-a0/4)^(1/2))/a0)/2

-((a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,-a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0)^2/4

  -(a3/2+,-(a3^2/4-a0)))^(1/2),

x4= a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,-a3(a3^2/16-a0/4)^(1/2))/a0),

x5=-(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,-a3(a3^2/16-a0/4)^(1/2))/a0))/2

+((a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,-a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))^2/4

 (a0/(a3/2+,-(a3^2/4-a0)))^(1/2),

x6=-(a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,-a3(a3^2/16-a0/4)^(1/2))/a0))/2

-((a4-(a2a1(a3/2+(a3^2/4 -a0)+,-a3(a3^2/16 -a0/4)^(1/2))/a0))^2/4

 (a0/(a3/2+,-(a3^2/4-a0)))^(1/2),

即得,仅引进2次根式,任意6次不可约代数方程的根式解。

   (9)任意n次不可约代数方程均可普遍如此,引进2次根式,解得其公式解

各次方程都可变换变量使第2=0,并利用各根均满足方程,及其与系数的关系,逐次求解。

对于n=2m次方程,还可采用第3节的方法,而只需解相应的2m次方程,简化得解。

对于m=2p次方程,也可采用第3节的方法,而只需解相应的2p次方程,简化得解。

因此,n=任意2m方次的方程都可如此简化得解。

  对于n=2m+1次方程又都可类似5次方程的方法求得以其一个解,x1,表达的其它2m个解,再由原2m+1次方程2m+1个根的关系式: xjj=12m+1求和=0, 得到x1的一个方程,

再与x1满足原2m+1次方程的方程式逐次联立降幂,求得x1的解,再代入得到其它各解。

因而,得到,仅引进2次根式,2m+1次不可约代数方程的2m+1个根式解。

因而,引进2次根式,即可解得任意n次不可约代数方程的公式解。

伽罗华虽然推断得出:方程根式解的变换群的阶数等于其整个求解过程中添加根式的最大指数,不能大于4,而实际上,任意n次不可约方程,都可不引进大于2次的根式,而解得根式解,虽都确能满足不大于伽罗华得出的最大指数,却并不能以其,作为任意n次不可约方程是否有解的“判据”。

任意n次不可约代数方程的可解性既不受方程的次数的限制,而且,实际上,也可以,仅引进2次根式,就得到任意n次不可约代数方程到公式解。

这不仅具体解决了许多实际问题和理论工作,因没有相应方程的公式解,而造成许多限制和不便,而且,会对代数方程,乃至各种数学方程及其解,和各种数学问题产生革命性的发展(都将分别另文具体讨论)。

    特别是,高次的偶数次,和奇数次方程均可交替地简化为较低次方程而得解,的方法和规律,已显示出,区分偶数和奇数在求解方程方面的的重要作用,以后,在研讨、发展数论和解析数论等问题中,还会进一步看到它的重要作用。

由于,也只有,解决了任意n次方程,都能仅引进2次根式,而得解,任意n次方程,就都能,也才能,由相应的实数、虚数或复数的相应组合表达。

由于任意正整数的任意n次根式都能以该任意正整数的2次根式的复函数的相应组合表达,所有的无理数,就都才是,也只是,由相应素数的2次根式的复函数的相应组合表达。

经适当变换,此法还可用于解多元代数方程,加上相应的初始和边界条件,还可用于解微分方程和偏微分方程。

5.负数的开方,“虚数”与“实数”的区分,“复数”和“共轭复数”

任何负数,-A=-1A,负数,-An次方(-A)^(1/n)=(-1)^(1/n) A^(1/n),

    (-1)2次方, (-1)^(1/2) 就是“虚数符”,i,负数,-A2次方(-A)^(1/2)=iA^(1/2),

任何的数,有或没有虚数符,i,就区分为:“虚数”或“实数”。

“复数”,A,就是实数A1加虚数iA2,复数A=A1+iA2

相应的“共轭复数”A*=A1-iA2

由于,也只有,解决了n次方程,x^n+1=0,仅引进2次根式的解,(-1)^(1/n),就都能,也才能,由相应的实数、虚数或复数的相应组合表达,例如:

(-1)^(1/n)x^n+1=0的根式解;

   它有n为个值,n为大于2的奇数时, -1只是它的1个值;n为大于4的偶数时,1 -1只是它的2个值。

x=(-a)^(1/n)x^n+a=0的根式解;

它也有n个值;

x=(a)^(1/n)x^n-a=0的根式解;

它也有n个值;

n为大于2的奇数时, -(a)^(1/n)只能是(-a)^(1/n) n个解中,

对应于(-1)^(1/n)n个解中=-1,乘(a)^(1/n) n个解中相应的那个解;

n为大于4的偶数时,(a)^(1/n) -(a)^(1/n)只能是(-a)^(1/n) n个解中,

对应于(-1)^(1/n)n个解中=1-1,乘(a)^(1/n) n个解中相应的那2个解。

而决不能误认为:

(-a)^(1/n)=-(a)^(1/n)

n=2

(-1)^(1/2)x^2+1=0的根式解,它有2个值,

通常把它们表达为:

+i-i。但要注意:不能误认为它只是i-i1个值。

n=3

(-1)^(1/3)x^3+1=0的根式解,

它有3个值,除-1而外,还有2个互为共轭的复数值。

以及n=更大的情况,方程x^n+a=0,它们全部的值,都只有逐次仅引进2次根式解出它们全部各根,才能确定。

按以上方法,这些实际上,是相应简化了的方程,就都能解决,例如;

x^2 +a0=0(x +(-a0)^(1/2))(x -(-a0)^(1/2))=0

x1=(-a0)^(1/2)=i(a0)^(1/2), x2=-(-a0)^(1/2)=-i(a0)^(1/2),

x^3 +a0=0,消去其1个根,x3,有x^2 +a0=0

x1=i(a0)^(1/2),  x2=-i(a0)^(1/2),  

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x3=-a0/(x1x2)=-1

x^4+a0=0

(x^2+(-a0)^(1/2))(x^2-(-a0)^(1/2))=0,

(x^2+i(a0)^(1/2))(x^2-i(a0)^(1/2))=0,

(x+(i)^(3/2)(a0)^(1/4))(x-(i)^(3/2)(a0)^(1/4))

(x+i^(1/2)(a0)^(1/4))(x-i^(1/2)(a0)^(1/4))=0,

x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x3=-i^(1/2)(a0)^(1/4),

x4=i^(1/2)(a0)^(1/4),

x^5 +a0=0,消去其1个根,x5,有x^4 +a0=0, 即得:

x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x3=-i^(1/2)(a0)^(1/4),

x4=i^(1/2)(a0)^(1/4),

将它们代入5次方程根与系数的1个关系式即得:x5=-a0/(x1x2x3x4)=-1

x^6 +a0=0,

(x^3+i(a0)^(1/2))(x^3-i(a0)^(1/2))=0,

  消去x3x6,有:

(x^2+i(a0)^(1/2))(x^2-i(a0)^(1/2))=0,

x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x3=- i(a0)^(1/2)/(x1x2)=1

x4=-i^(1/2)(a0)^(1/4),

x5=i^(1/2)(a0)^(1/4),

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x6= i(a0)^(1/2)/(x1x2)=-1

x^7+a0=0, 消去其1个根,x7,有:x^6+a0=0,

x1=-(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x2=(i)^(3/2)(a0)^(1/4),

x3=- i(a0)^(1/2)/(x1x2)=1

x4=-i^(1/2)(a0)^(1/4),

x5=i^(1/2)(a0)^(1/4),

x6= i(a0)^(1/2)/(x1x2)=-1

将它们代入7次方程根与系数的1个关系式,即得:x7=-a0/(x1x2x6)=-1

由此类推,就仅需引进2次根式,即可解得任意n次的x^n+a0=0,方程的公式解。

  对于a0=1的简化情况,即得:

x^2 +1 =0(x +(-1)^(1/2)) (x -(-1)^(1/2))=0

x1=(-1)^(1/2)=i,  x2=-(-1)^(1/2)=-i,

x^3 +1=0,消去x3,有x^2 +1=0

x1=i,  x2= -i,  

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x3=-1/(x1x2)=-1

x^4+1=0

(x^2+(-1)^(1/2))(x^2-(-1)^(1/2))=0,

(x^2+i)(x^2-i)=0,

(x+(i)^(3/2))(x-(i)^(3/2))

(x+i^(1/2))(x-i^(1/2))=0,

x1=-(i)^(3/2),

x2=(i)^(3/2),

x3=-i^(1/2),

x4=i^(1/2),

x^5 +1=0,消去x5,有x^4 +1=0, 即得:

x1=-(i)^(3/2),

x2=(i)^(3/2),

x3=-i^(1/2),

x4=i^(1/2),

将它们代入5次方程根与系数的1个关系式即得:x5=-1/(x1x2x3x4)=-1

x^6 +1=0,

(x^3+i)(x^3-i)=0,

  消去x3x6,有:

(x^2+i)(x^2-i)=0,

x1=-(i)^(3/2),

x2=(i)^(3/2),

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x3=- i/(x1x2)=1

x4=-i^(1/2),

x5=i^(1/2),

将它们代入3次方程根与系数的1个关系式即得:x6= i/(x1x2)=-1

x^7+1=0, 消去x7,有:x^6+1=0,

x1=-(i)^(3/2),

x2=(i)^(3/2),

x3=- i/(x1x2)=1

x4=-i^(1/2),

x5=i^(1/2),

x6= i/(x1x2)=-1

将它们代入7次方程根与系数的1个关系式,即得:x7=-1/(x1x2x6)=-1

由此类推,就仅需引进2次根式,即可解得任意n次的x^n+1=0,方程的公式解。

6.复数与相应的共轭复数相乘、复数除以复数

复数AA1+iA2与相应的共轭复数A*A1-iA2相乘=相应的实数A1^2+A2^2

复数A/复数B=(A1+iA2)/(B1+iB2)=(A1+iA2)(B1-iB2)/(B1^2+B2^2)=(A1B1-A2B2)+i(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)

只有复数”,F=F1+iF2的实部与虚部F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) F2=(A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)都是整数成为N=N1+iN2才是整数N

只有复数”,F=F1+iF2的实部与虚部F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)2都是整数M=M1+iM2才是偶数,2M表达。

只有复数”,F=F1+iF2的实部与虚部F1=(A1B1-A2B2)/(B1^2+B2^2) F2= (A2B1-A1B2)/(B1^2+B2^2)2都不是整数M=M1+iM2才是奇数,2M+1表达。

只有J(m)=J(m)1+iJ(m)2除以J(m-k)=J(m-k)1+iJ(m-k)2k=1,2,,m-1的实部与虚部

J(m)1=(J(m)1J(m-k)1-J(m)2J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2)J(m)2=(J(m)2 J(m-k)1- J(m)1J(m-k)2)/(J(m-k)1^2+J(m-k)2^2)都不是整

数,才是“复数”素数,以J(m)=J(m)1+iJ(m)2,表达。

因而,对于复数,要证明除2以外,的所有“素数”都可=1个“偶数”+1个“奇数”,=3个“奇数”相加,或扩展为:“除2以外,的所有“素数”都可=偶数个“偶数”+奇数个“奇数”,=奇数个“奇数”相加”,以及大于6的所有偶数都至少有2个素数相加,等于它们,大于7的所有偶奇数都至少有3个素数相加,等于它们,的“歌德巴赫猜想”,就必需,也仅需,要求相应的各“复数”都满足以上的条件。否则,就不能证明。

类似地,对于“复数”孪生素数有关特性的证明,也必需,且仅需,要求相应的各“复数”都满足以上的条件。否则,就不能证明。

7.0和无穷大是特殊的数

0是特殊的整数它和无穷大,与其它数的4则运算都不相同。

任何其它A+0=A A-0=A Ax0=0 A/0=无穷大,

0无正、负之分别,其与其它任何数4则运算结果的正负都有其它数的正负决定。

任何其它正、负数A+正无穷大都=正无穷大、

任何其它正、负数A+负无穷大都=负无穷大、

任何其它正、负数A-正无穷大都=负无穷大、

任何其它正、负数A-负无穷大都=负无穷大、

任何其它有限数A /无穷大,都=0

任何有限数/0=无穷大、任何有限数/无穷大=0、使得无穷大和0产生不同的级别,

任何有限数/(n0)=n级无穷大、任何有限数/(n级无穷大)=n0

n级无穷大/(n’0)=(n+n’)级无穷大、n0/(n’级无穷大)= (n+n’)0

以此类推,产生各高级的无穷大和0,并有:

任何有限数 =(n0) (n级无穷大)=(n级无穷大) (n0)

n级无穷大 (n  0)=(n - n’)级无穷大、

n0 (n’级无穷大)=(n - n’)0

0无正、负之分别,其与其它任何数4则运算结果的正负都由其它数的正负决定。

无穷大与其它非0的数乘、除结果的正负,仍按正正为正,负负为正,正负为负,负正为负。

8.关于连续性

首先,任何随某个参量, x, 变化的事物某种特性, f(x), 应是一一对应的。x是变量,f(x)是函数。只能讨论存在一一对应的变量的函数是否连续?

其次,严格地说,应该有两个一一对应的无限小,a b。所谓无限小就是小于任意小,可以小到趋近于0,但又不=0,的正数。

x 改变a;则f(x)改变b,当x趋近于 c时,存在对应的f(x) 并且= f(c),就称:x = c 时,f(x) 连续。

但是,对于某些实际情况,例如:化合物、合金、溶液等整体的连续性,所取的任意小就可以不必真正趋近于0,而实际上只需趋近于稍大于其中各原子的尺度,或视觉上近于0,即可。

对于各种事物的各种特性,对应的x 可以是时间、长度、体积,甚至速度、温度等等不同的量。就都类似地相应反映各该事物该特性对于这些量相应的连续性。

对于“数”,就要考虑到各类不同的“数”,例如:有理数(整数、分数(小数、循环小数))、无理数、实数、虚数、复数等等。而且所有的正、负实数,都包括,全部有理数和无理数相互穿插,按数值大小顺序排列地表达在一个实数轴上;所有的正、负虚数,包括顺序排列的全部虚有理数和虚无理数,也都可包括,全部有理数和无理数相互穿插,按数值大小顺序排列地表达在一个与实数轴正交的虚数轴上;而全部相应的复数,就是此实数轴虚数轴所组成的平面上相应的各点。

考虑“数”的连续性,对实数轴虚数轴所采用的任意小就必须是真正趋近于0才行,因此,只能对全部实数、虚数、复数进行,而不可能分别对有理数(或整数、分数(或小数)或无理数进行。

9.素数和复数素数的微分和积分,解析数论的发展

序数为从mm+1的变量,x,的整数(适用于实整数或正负虚整数)素数,j(x),的微分,dj(x) ,按其基本性质,应是:

d(j(x)/j(x-k))=dj(x)/j(x-k)-j(x)dj(x-k)/j(x-k)^2,即应是

dj(x)-j(x)dj(x-k)/j(x-k) k=1,2,,x-1,

序数为从mm+1的变量,x,的复数素数,J(x)=[J(x)1]+i[J(x)2]的微分,dJ(x)=d[J(x)1]+id[J(x)2]

实部应是:

d[J(x)1]=d(([J(x)1][J(x-k)1]-[J(x)2][J(x-k)2)]

/([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2))

     =(d[J(x)1][J(x-k)1]+[J(x)1]d[J(x-k)1]-d[J(x)2][J(x-k)2]+[J(x)2]d[J(x-k)2])

/([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2)

      -2(([J(x)1][J(x-k)1]-[J(x)2][J(x-k)2])

        ([J(x-k)1]d[J(x-k)1]+[J(x-k)2]d[J(x-k)2])

/([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2)^2k=1,2,,x-1,即应是:

([J(x-k)1]^3+[J(x-k)1][J(x-k)2]^2)d[J(x)1]

-([J(x-k)1]^2[J(x-k)2]+[J(x-k)2]^3)d[J(x)2]

+(-([J(x)1[J(x-k)1]^2+(2[J(x)2][J(x-k)1]

+[J(x)1][J(x-k)2])[J(x-k)2])d[J(x-k)1]

+(-(2[J(x)1][J(x-k)2]+[J(x)2][J(x-k)1])[J(x-k)1]

+[J(x)2][J(x-k)2]^2)d[J(x-k)2]k=1,2,,x-1,

虚部应是:

dJ(x)2=d(([J(x)2][J(x-k)1]-[J(x)1][J(x-k)2])

/([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2))

     =(d[J(x)2][J(x-k)1]+[J(x)2]d[J(x-k)1]

-d[J(x)1][J(x-k)2]-[J(x)1]d[J(x-k)2])

        /([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2)

      -2([J(x)2][J(x-k)1]-[J(x)1][J(x-k)2])

        ([J(x-k)1]d[J(x-k)1]+[J(x-k)2]d[J(x-k)2])

/([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2)^2k=1,2,,x-1,即应是:

([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2)[J(x-k)1]d[J(x)2]

-([J(x-k)1]^2+[J(x-k)2]^2)[J(x-k)2]d[J(x)1]

+(-[J(x)2][J(x-k)1]^2+(2[J(x)1][J(x-k)1]

+[J(x)2][J(x-k)2])[J(x-k)2])d[J(x-k)1]

+(-(2[J(x)2][J(x-k)2]+[J(x)1][J(x-k)1])[J(x-k)1]

+[J(x)1][J(x-k)2]^2)d[J(x-k)2]k=1,2,,x-1,

   这样,有了表达并确定各素数的序数、数值和变化规律如上方法,就能,类似和利用现有的各种解析运算方法,分别由j(x),的微分,dj(x) ,和复数素数,J(x)=J(x)1+iJ(x)2的微分,dJ(x)=dJ(x)1+idJ(x)2,和xmm+1的积分,具体发展素数在的解析运算方法。

10. “数”本身的特性和规律对客观事物的有关特性和规律的认识和利用

“数”是从客观事物中抽象出来的,它本身的特性和规律,也必然符合客观事物的有关特性和规律,并促进对客观事物的有关特性和规律的认识和利用。例如:

各种“数”,正负数,整数、分数、小数,偶数、奇数,合数、素数,实数、虚数、复数,的产生与区分。

分数与无循环小数相等;而只是趋近于循环小数。

0和无穷大的特殊运算规律。

微分、无穷小,和相应的积分。

对素数的排序、数值的确定及其与其它数类,特别是,偶数、奇数,的相互关系。

各种方程的解,任何n次方程都可仅引进2次根式而得解。

即使方程的系数是复数,也可分解为实、虚2个方程分别求解。

任何高次的根式都能由2次根式的组合,即实数、虚数和复数表达。

一切无理数都可由素数的2次根式表达。

以及进而,与各种事物中抽象出的各种维数的“形”而产生的几何、3角、解析几何、微分几何,等特性和规律的研究、发展。

特别是,其中有关的关键性的科学认识和发展,必将促进对一切事物的特性和运动规律的科学认识的革命性发展。

(二)形

1.点、线、面和体的各种“形”与“数”结合而发展出各种“几何学”

“形”的基本元素是“点”,它标志任何维空间的1个确定的位置。

空间的“维”是由彼此线性无关的各分量分别组成。

“点”在任何维空间按一定规律的聚集,或运动的轨迹,就形成“线”,有一定的起点和终点的,就是“线段”。

各种“线段”就有了长度。

仅在不变的1维空间,聚集,或运动的“线”或“线段”,就是“直线”或“直线段”。

1维或多维空间,不限于在某不变的1维空间,聚集,或运动的“线”或“线段”就形成相应的各种2维或多维的“曲线”或“曲线段”。

“直线”或“直线段”仅在另1不变的1维空间,聚集,或运动,就形成“平面”或“平面形”。

2维或多维空间,不限于在某不变的2维空间,聚集,或运动的“面”或“面形”就形成相应的各种2维或多维的“曲面”或“曲面形”。

各种“面形”就有了宽度和面积。

“面”或“面形”在另一1维空间,聚集,或运动,就形成各种“体”或“3维体形”

各种“3维体形”就有了高度和体积。

各种“面形”中最基本的是3角形。

可以认为,各种“面形”都是由相应的多个3角形拼凑形成的。例如:

4边形可以由2343角形拼成。

5边形可以由3453角形拼成。

………

n边形可以由n-2n-1n3角形拼成。

3角形本身还可以由多个乃至无穷多个相应的小3角形拼成,因而,各种“面形”也都可以由多个乃至无穷多个相应的小3角形拼成。

各种“3维体形”中最基本的是4面体。

可以认为,各种“3维体形”都是由相应的多个4面体拼凑形成的。

4面体本身还可以由多个乃至无穷多个相应的小4面体拼成,因而,各种“3维体形”也都可以由多个乃至无穷多个相应的小4面体拼成。

类似地,还可以有更高维的,“平”和“曲”的,“面形”和“体形”。

“点”、“线”、“面”和“体”有了“位置”、“长度”、“面积”和“体积”等,就把形和数结合起来了。

各种平直的“点”、“线”、“面”和“体”,可由平直的,仿射或正交的,坐标系,表达各种“形”和相应的“数”的结合及其运动的规律;

各种弯曲的“线”、“面”和“体”,相应的各“点”、就只能由曲线坐标系,表达各种“形”和相应的“数”的结合及其运动的规律。

研究客观事物的各种“形”和相应的“数”结合运动的规律,就形成各相应的“几何学”、“解析几何学”、“微分几何学”和“拓扑学”。

平直的,各种维的,线、面、体,可由各相应的有确定方向的“矢量”表达,并形成代数和解析的矢算法则。

3维空间的代数和解析的矢算,是经典物理学的重要、有力工具。

现有数学尚未解决各种弯曲空间的矢量表达和矢算法则,而只能由曲线坐标,按张量运算法则,形成黎曼几何,解决某些有关问题。

2. 对客观世界的认识从3维空间发展为4维时空

3维空间的“矢量”和“矢算”,是建立在“绝对时间”观念之上的,即:认为,参考系与时间无关,惯性参考系间的变换,就是“伽利略变换”。

但是,“迈克尔逊光学实验”表明:对于光子,“伽利略变换”不成立,只有狭义相对论,打破“绝对时间”的观念,采用4维时空的“闵科夫斯基矢量”表达时空位置,而参考系与是与时间有关的,惯性参考系间的变换,应是“洛伦兹变换”,才与客观实际相符。

3维空间矢量及其“伽利略变换”的,经典物理学,只是当3维空间的速度与相应的光速相比可以忽略的“低速近似”;而3维空间的速度与相应的光速相比不可忽略的光子和高速粒子就必须采用4维时空矢量及其“洛伦兹变换”。

   但是,4维时空不同参考系间的变换应由相应的4维时空牵引位置矢的方向余弦表达,而通常由相应的4维时空牵引速度矢的方向余弦表达的“洛伦兹变换”,其实,只适用于惯性的牵引运动,而且,这就表明了非惯性的牵引运动必将产生广义相对论所反映的,时空的弯曲。

   由于包括3维空间的速度与相应的光速相比不可忽略的光子和高速粒子的时空位置,必须采用4维时空的“闵科夫斯基矢量”表达,就使对各种形和数,及其运动规律的研究必须采用4维时空的矢量。而对于非惯性的牵引运动就还必须反映时空的弯曲特性。

所有的仿射系都可由正交系具体表达。

正交系3维空间的21线矢的叉乘形成的2线矢,仍为组合数=3维,可用与其正交的1线矢,即相应的1线倒易矢,表达,21线矢的点乘成为标量,因而,可以只有1线矢和标量。

但是,4维时空的矢量的各种运算规则却与3维空间的矢量有着原则的不同,21线矢的叉乘形成的2线矢,却是组合数=6维,22线矢的叉乘形成的22线矢,却是组合数=15维,22线矢叉乘 1线矢却是组合数=12维,等等,都只能分别以它们各自的不同维数的相应多线矢表达。

现有数学尚未解决4维时空以及更高维的各类多线矢量的表达,及其矢算,甚至尚未能确定4维时空更高维矢量的客观存在,更没有反映时空弯曲特性的各类多线矢量的表达,及其矢算。因而,必须创建统一适用于包括非惯性的牵引运动弯曲特性的各维多线矢量的表达与矢算。

   有关时空、矢量,详见:“时空观念发展简史及其必然且必需的新发展

http://blog.sciencenet.cn/blog-226-1094203.html




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