统一场论（10）4维时空运动力经牵引运动变换后的做功

一．经惯性牵引运动v(4)，变换后：

1．经惯性牵引运动v(4)，变换后的动量

对于各种m0不=0的粒子，4维时空动量为：

P(4)[1线矢]=mv(4)[1线矢]=mdr(4)/dt[1线矢]

=m{vj[基矢j],j=0到3求和}，

经惯性牵引运动v(4)，变换为[B坐标系]：

动量pB(4)=mvB(4)=icm(1-3v(3)^2/c^2)/(1+v(3)^2/c^2)，是pB4)[1线矢]的表达式。

   2，经惯性牵引运动v(4)，变换后，4维时空运动力的3维空间分量应是：

FB(3)[1线矢]=dpB(3)[1线矢]/dtB

=m0d{(v(3)[(3)基矢]/dt)/(1-v(3)^2/c^2)^(1/2)},

3，仅计及FB(3)[1线矢(3)]沿3维空间距离从r(3)1到r(3)2所做的功是：

W(3)=dr(3)[(3)基矢](点乘){FB(3)[(3)基矢],r(3)=r(3)1到r(3)2积分

      =r(3)1到r(3)2位能的减少。

=m0(dv(3)(v(3)/(1-(v(3)/c)^2)^(1/2)),v(3)=v(3)1到v(3)2积分)

=m0(v(3)2^2/(1-(v(3)2/c)^2)^(1/2)

-v(3)1^2/(1-(v(3)1/c)^2)^(1/2))/2=(m2-m1)c^2/2=mc^2

=v(3)1到v(3)2动能的增加。

(因对于4维时空或3维空间的距离矢，都有：

dr(矢)/dt=v(矢),

dv(矢)/dt(点乘)dr(矢)=dv(矢)(点乘)dr(矢)/dt=vdv, )

注意：此处的r(3), v(3)=dr(3)/dt，分别只是3维空间的距离、速度。

即W(3)是从v(3)1到v(3)2增加的动能E。

E=(mc^2)，v(3)=v(3)1到v(3)2的增量，                         (4)

这就是爱因斯坦的E=mc^2公式。

可见它只是表明：由运动力的3维空间分量做功W(3)计算得到的动能的增加=运动质量乘c^2的增加，并非通常错误理解的：能量与质量互相转换。

4．运动力做功的时轴部分就相当于该物体静止质量表达的结合能的减少

动量的时轴分量：

p0[基矢0]=mv0[基矢0]=mdict[基矢0]/dt=mic[基矢0]

=m0{ic)/(1-v(3)^2/c^2)^(1/2)[基矢0]

时轴的运动力应是：

F0[基矢0]=dp0[基矢0]/dt=F0[基矢0]

=m0d{ic/(1-v(3)^2/c^2)^(1/2)}/dt[基矢0]

运动力做功的时轴部分

W0={[矢F0]点乘icdt,t=t1到t2积分}

=-{dm ,m=m1到m2积分}c^2=-{m1-m2}c^2,

联系到运动力的3维空间分量做功W(3)计算得到的动能的增加=运动质量乘c^2的增加，和惯性力做功的时轴部分=-{m1-m2}c^2=运动质量乘c^2的减少，

对于静止质量就相当于该物体结合能的减少。

   5，光子和声子的相应各量

对于各种基本粒子：结合能=-mc^2、动能=mc^2、动量=mc、运动质量=m。

对于各种光子：动能=h光频率、动量=h光频率/c、运动质量= h光频率/c^2,

v(3)=c、r(3)=ct；v0=ic、r0=ict,c=c0乘n光，

对于各种声子：动能=h声频率、动量=h声频率/a、运动质量= h声频率/a^2,

v(3)=a、r(3)=at；v0=ia、r0=iat,a=a0乘n声，

   因而，光子和声子的相应各量均可由相应的取代得到。

二．经非惯性牵引运动r(4)，变换后：

1．经非惯性牵引运动r(4)，变换后的动量

   由第7节已知：

ict/r(4)  -r(3)/r(4)

r(3)/r(4)ict/r(4)

   r(4)={(ict)^2+r(3)^2}^(1/2)=ic{t^2-(r(3)/c)^2}^(1/2)，

   r(4)[1线矢]变换为：

rB0=ictB=ic(t^2+(r(3)/c)^2)/{t^2-(r(3)/c)^2}^(1/2)

=ict(1+(r(3)/ct)^2)/{1-(r(3)/ct)^2}^(1/2)，

dtB/dt=d[t(1+(r(3)/ct)^2)/{1-(r(3)/ct)^2}^(1/2)]/dt

    =(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)

        /{1-(r(3)/ct)^2}^(3/2)

vB0=drB0/dtB=ic，

rB(3)=2tr(3)/{t^2-(r(3)/c)^2}^(1/2)

    =2r(3)/{1-(r(3)/tc)^2}^(1/2)

vB(3)=drB(3)/dtB

=(dt/dtB)(drB(3)/dt)

 =dt/dtB

  (2v(3)/{1-(r(3)/ct)^2}^(1/2)

  -4r(3)(-r(3)v(3)/(ct)^2+r(3)^2/(c^2t^3))/{1-(r(3)/ct)^2}^(3/2)

 =2(v(3)+r(3)^2v(3)/(ct)^2-2r(3)^3/(c^2t^3))

 /(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)，

vB(4)=[(ic)^2+vB(3)^2]^(1/2)

  =[(ic)^2

+(2(v(3)+r(3)^2v(3)/(ct)^2-2r(3)^3/(c^2t^3))^2

            /(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)]^(1/2)

=ic

[1-8(r(3)/ct)^2+14(r(3)/ct)^4-8(r(3)/ct)^6+(r(3)/ct)^8

+8r(3)v(3)/(c^2t)-16r(3)^3v(3)/(c^4t^3)+8r(3)^5v(3)/(c^6t^5)

-4(v(3)/c)^2+8r(3)^2v(3)^2/(c^2t)^2-4r(3)^4v(3)^2/(c^6t^4)]^(1/2)

 /(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)

pB0=mvB0=mdrB0/dtB=mic，

pB(3)=mvB(3)=mdrB(3)/dtB

 =2m(v(3)+r(3)^2v(3)/(ct)^2-2r(3)^3/(c^2t^3))

 /(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)，

pB(4)=mvB(4)

=mic

[1-8(r(3)/ct)^2+14(r(3)/ct)^4-8(r(3)/ct)^6+(r(3)/ct)^8

+8r(3)v(3)/(c^2t)-16r(3)^3v(3)/(c^4t^3)+8r(3)^5v(3)/(c^6t^5)

-4(v(3)/c)^2+8r(3)^2v(3)^2/(c^2t)^2-4r(3)^4v(3)^2/(c^6t^4)]^(1/2)

/(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)

pB(3)、pB(4)均为v(3)、r(3)、t，的复杂函数。

vB(4)[1线矢]=(ic)[0基矢]+vB(3)[(3)基矢]

  =(ic(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4))[0基矢]

+2(v(3)+r(3)^2v(3)/(ct)^2-2r(3)^3/(c^2t^3))[(3)基矢])

    /(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)

2，经非惯性牵引运动v(4)，变换后，4维时空运动力的3维空间分量应是：

FB(3)[1线矢]=dpB(3)[1线矢]/dtB={FBj[j基矢],j=1到3求和}

 =md[(2(v(3)+r(3)^2v(3)/(ct)^2-2r(3)^3/(c^2t^3)))[(3)基矢]

     /(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)]/dt

=m[(2(a(3)+2r(3)v(3)^2/(ct)^2+a(3)r(3)^2/(ct)^2-2v(3)r(3)^2/(c^2t^3)

-6v(3)r(3)^2/(c^2t^3)+6r(3)^3/(c^2t^4)))

 (1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)

-4(v(3)+r(3)^2v(3)/(ct)^2-2r(3)^3/(c^2t^3))

(-4r(3)v(3)/(ct)^2-4r(3)^2/(c^2t^3)

+4v(3)^2/(c^2t)+4r(3)a(3)/(c^2t)-4r(3)v(3)/(ct)^2

-2r(3)^3v(3)/(ct)^4+2r(3)^4/(c^4t^5)))

/(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)^2][(3)基矢]

=m[12r(3)^3/(c^2t^4)-80r(3)^5/(c^4t^6)-28r(3)^7/(c^6t^8)

+56v(3)r(3)^4/(c^4t^5)-8v(3)r(3)^6/(c^6t^7)

+20v(3)^2r(3)/(ct)^2-8v(3)^2r(3)^3/(ct)^4+4v(3)^2r(3)^5/(ct)^6

-16v(3)^3/(c^2t)

+2a(3)-6a(3)(r(3)/ct)^2+38a(3)(r(3)/ct)^4+2a(3)(r(3)/ct)^6

-8a(3)v(3)r(3)/(c^2t)-8a(3)v(3)r(3)^3/(c^4t^3)]

/(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)^2][(3)基矢]，

3，仅计及FB(3)[1线矢(3)]沿3维空间距离从r(3)1到r(3)2所做的功是：

W(3)={dr(3)[1线矢(3)](点乘)FB(3)[1线矢(3)],r(3)=r(3)1到r(3)2积分}

=mdr(3)

[12r(3)^3/(c^2t^4)-80r(3)^5/(c^4t^6)-28r(3)^7/(c^6t^8)

+56v(3)r(3)^4/(c^4t^5)-8v(3)r(3)^6/(c^6t^7)

+20v(3)^2r(3)/(ct)^2-8v(3)^2r(3)^3/(ct)^4+4v(3)^2r(3)^5/(ct)^6

-16v(3)^3/(c^2t)

+2a(3)-6a(3)(r(3)/ct)^2+38a(3)(r(3)/ct)^4+2a(3)(r(3)/ct)^6

-8a(3)v(3)r(3)/(c^2t)-8a(3)v(3)r(3)^3/(c^4t^3)]

,r(3)=r(3)1到r(3)2积分

/(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)^2]

经非惯性牵引运动v(4)，变换后，4维时空运动力的时轴分量应是：

FB0[1线矢]=dpB0[1线矢]/dtB

 =md[(ic(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4))

   /(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)]/dt [0基矢]

=md[(i4c(-4r(3)v(3)/(ct)^2-4r(3)^2/(c^2t^3)

+4v(3)^2/(c^2t)+4r(3)a(3)/(c^2t)-4r(3)v(3)/(ct)^2

-2r(3)^3v(3)/(ct)^4+2r(3)^4/(c^4t^5))

/(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)][0基矢]

4，运动力做功的时轴部分

W0={[矢F0]点乘icdt,t=t1到t2积分}

=-mtd{4(-4r(3)v(3)/(ct)^2-4r(3)^2/(c^2t^3)

+4v(3)^2/(c^2t)+4r(3)a(3)/(c^2t)-4r(3)v(3)/(ct)^2

-2r(3)^3v(3)/(ct)^4+2r(3)^4/(c^4t^5))

/(1-4(r(3)/ct)^2+4r(3)v(3)/(c^2t)-(r(3)/ct)^4)

,t=t1到t2积分}c^2,

由此看到：经惯性和非惯性，牵引运动v(4)变换后，的运动力及其相应的做功都显著地不同。但是，联系到惯性力的3维空间分量做功W(3)计算得到的动能的增加，仍应=惯性力做功的时轴部分的减少。

对于静止质量（v(3)=0时）就也仍相当于该物体结合能的相应减少,-{m1-m2}c^2。

5，光子和声子的相应各量

仍然有：

对于各种基本粒子：结合能=-mc^2、动能=mc^2、动量=mc、运动质量=m。

对于各种光子：动能=h光频率、动量=h光频率/c、运动质量= h光频率/c^2,

v(3)=c、r(3)=ct；v0=ic、r0=ict,c=c0乘n光，

对于各种声子：动能=h声频率、动量=h声频率/a、运动质量= h声频率/a^2,

v(3)=a、r(3)=at；v0=ia、r0=iat,a=a0乘n声，

因而，光子和声子的相应各量也均可由相应的取代得到。