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为道日损,为学日增(二)

已有 1750 次阅读 2016-7-30 15:02 |系统分类:科普集锦

让我们简单归纳一下,到目前为止,我们剩下的已经非常的朴素,大致就是量子力学的基本数学原理:任何两个态之间有个演化振幅,演化振幅可以通过演化路径间取和(或者叫做路径积分)求出,或者等价地由无穷小演化振幅积分出来,演化几率是演化振幅的模方。至于无穷小演化到底是什么规律,基本上这是需要随便去猜的问题。

所以你看现在实际上有两件形而下(形而下者谓之器)的事情要去做,第一件事是说无穷小演化到底是个什么规律,第二是如果已知这个规律的话,怎么算出实际上的演化是什么结果。这事有点类似传说中的南辕北辙,第一件事是我要知道马车在路上怎么走,第二件事是我要知道这么个马车走一年的话到底会走到南方还是北方。这两者,差不多就是我们在理论上的

困难主要在于这两者在近四百年来是纠缠到一起的,当然纠缠的方式略有不同。本来纠缠也不是啥大事,问题是由于某些历史(以及政治)原因,很多人总觉得不分开这两条就不舒服,然后出现各种心理扭曲行为。这事最早的体现是伊萨克爵士,他自己对外宣传自己做了类似于第一件事的行为:一个平方反比定律;但是就像每个人都知道的那样,平方反比定律的深度不超过初中一年级,所以就有一票人都说自己先发明了这个定律而伊萨克童鞋只是写进了书里。问题是平方反比律本身是无用(无法使用)的,除非你会做两件事:会算一个任意形状的东西的平方比率积分;会求出一个物体在平方反比定律下的运动轨迹。这俩事情都涉及到一点点数学和一点点信仰,所以最后我们觉得做成这事的还是伊萨克爵士。但当时的各种优先权拼命者并不这么想,于是发生了各种心理变态行为。在今天其实也有类似的情况,总有人在那里叫嚣着原创idea多么重要,其实要说原创idea,平方反比律可能都要找到古希腊时期了,然而原创idea并没有什么卵用。当然,为了糊弄住他的读者,伊萨克爵士用了大量的类似《几何原本》和《神经》(见注1)的语言来书写这个发现:我解出了几个运动问题的习题……”

现在我们回到“学”的问题上来。给你一张有限大小(注2)的纸,量子力学和狭义相对论,让你来描述物理,大概是这样:

曰:给定一个x,y,z,t的函数,称为场量”

这个就不那么简单了,因为在一张纸上写下的东西可以有分量,有超过一个分量的量就不是简单的数,而是某种数,好吧,这是什么玩意?

曰:给一个Lorentz群表示。。。。

好吧,你得到了标量,旋量,矢量,等等奇奇怪怪的东西,它们都可以通过旋量组装起来。

曰:第一个叫Higgs,第二个叫电子。。。。blahblah“

现在你有了一张写了各种符号的纸,每个符号代表场的一个平面波展开,然后你管他叫“粒子“(注3),但是,这没有物理,因为它们互相没有关系,不能互相影响就没有物理。所以你随便地给电子和光子写了一组无穷小演化,并且称他们为电磁学。

那么现在问题来了,给你一个初态和这个无穷小演化,能算出一段时间后是什么样子吗?80年前是一看就不行的,因为要算积分,而几乎所有(注3)东西的积分都算不出来。所以他们找了一组近似展开法,大致就是类似(1+x)平方近似等于1+2x的方法,诸如此类吧,然后能算出一些看上去有道理的结果。不过这玩意实在太麻烦,即使这么算也一样有很多东西算不过来,所以有人说,我们干脆忽略一些东西吧,比如说本来电子有4个场量,我们现在只考虑其中最大那个;电磁场有四个场量,干脆忽略它的变化,那么整个问题就变成一个简化的波动方程了,称为薛定谔方程,这方程比较好解了。比较好解的意思是,能解出的习题多了很多,于是人们把这方程的习题收集起来剪吧剪吧堆在一起,给大二学生开门课叫量子力学,大致就成了“学”。

然而这个东西能解的情况还是太少太少,所以又有人说,要不咱们把方程的空间行为也拿掉吧,找个点函数近似一下,然后发现这东西就回到了伊萨克爵士的习题路子上,当然,这样是把一个大尺寸几乎等于平面波的玩意硬给近似成小小的一个球,这叫做“微观到宏观”,出来的东西叫“点粒子的动力学”。因为这个求解方程简单了太多,所以实际的习题就多了不少,于是又发展了一门“学科”。

所以你看,我们的会越来越多,而且奇妙的是它是减出来的而不是加出来的。越高级的学科,越专门,对应着离越远也越不具备本质性(所以,想着拿公理化力学的东西去推广到物理学如何如何的,歇歇吧,南辕北辙没啥前途)。

本质性这事说起来好像只有bige的意义,不过意义总是意义。比如说我们考虑点粒子动力学,假设粒子之间只有碰到的时候才有作用力,然后你拿一团这种粒子在空间乱飞,其中某个区域粒子飞行的能量平均来说比较高,那么过一段之后,能量会因为碰撞慢慢分布到各个区域,直到各个地方能量差不多,这叫趋向平衡,有些人喜欢给它安个神秘的名字,于是称为“热力学第二定律”,并且引入了一堆“熵”和“温度”之类的神秘名词来描述它。当然,你也能看出来,这东西其实是非本质的,是个特殊条件(粒子之间没有远程作用力)的结果。

为了解释这事,你可以试着给粒子之间加上作用力,比如伊萨克童靴的平方反比吸引。一开始好像没什么,等到粒子团越来越大,Oops…..那个粒子团会破裂成好几个,然后每个都变得很,破裂后的剩余区域则变得很。好吧,传热公理完蛋了!

当然,信奉各种条件下死板公理化的人会回去想一想然后说我明白了,不是温度变得相同,而是系统变得越来越混乱越来越没有秩序。好吧,伊萨克引力继续教你一些东西,拿一千亿的粒子放在那里,为了避免Oops,让他们旋转起来(注4),然后你发现了什么?他们确实在互相不关联地乱转,并且因为离心力变成了一个盘子型,但是,奇怪的是盘子里面会出现一系列涡旋状的密集区,最后形成很漂亮的多重螺旋线,这个秩序是哪来的?

然后,在这一切事情的终点,伊萨克引力还是太难操作了(造一千亿个旋转粒子互相吸引还不Oops需要至少是圣人级别的能力)。那么我们拿一堆库仑同学山寨的粒子,它们和伊萨克粒子的区别只是有两种作用,吸引和排斥。拿无数个电子和无数个离子混合在一起,然后你说:“看,它们多么擅长混乱!”好吧,你拿个金属块放进去看看?然后你发现电子就会努力爬到金属块上,最后金属块和气体之间形成了一个清楚的秩序面,这个面有效地弹开电子,离子在这个面内迅速达到很高的能量。这又是一个简单的反例。

总之,我们可以看到,世界的本质规律很难被用于实际问题分析;实际问题分析几乎总是用到规律的异化或者特化,每当我们能异化一次规律,就产生一个“学科”,这些学科往往看上去很漂亮和精妙,但只在特定的情境下才有意义;case无穷,学科也无穷,为学之道,在于无限地专门化,学科目标越专门,出来的“应用”就越多。

专门化产生了各种各样的专门学科,每种学科的一个具体问题框架,称为一个“理论”。本质上理论只是一些特定框架的计算手册而已。然而,即使仅仅是习题计算手册意义上的理论,其计算也会产生一系列问题,其中最重要的一点是计算往往让人联想到数学。Anyway,大部分计算离数学还有几十亿光年,所以经常出现一些奇谈怪论,比如认为研究物理需要了解数学,或者写几个方程式鼓捣几下有限元软件就叫用数学方法研究等等。下一节让我们真正看看常见的计算是什么,并且我们会看到,计算也是“学”的一部分,还是虽然不值钱但位置相当关键的一部分。

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注:

  1. 神之经文,谓之神经也,据说耶和华是神不是人间圣贤,故称为《神经》较为合适。

  2. 纸上能写的东西有限,所以只能使用Lorentz群的有限维表示,不过也可以试着搞下无穷维表示看看,或者搞个pi维的东西研究一下?

  3. 数学是一种非常坑的东西,譬如说,随便从01之间选一个数,选到有理数的几率在数学上认为是0,然而数学家又说零概率事件常常出现,总之信不信由你。

  4. 你不一定要伊萨克爵士的第一推动来获取旋转动力,反正角动量守恒。





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2 姬扬 刘全慧

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