混沌是现代非线性动力学的核心概念，用于描述敏感依赖于初始状态的往复性非周期运动(时间变化过程)，类似于随机运动而不可长期预测. 混沌(中文亦作浑沌；英、法、德文都是chaos，俄文是xaoc，均源于希腊文   ，在中西文化中都是有悠久历史和丰富内涵的词汇. 尽管非线性动力学中的混沌概念的形成和演化主要在20 世纪，但与混沌科学概念相关的含义主要是初态敏感性，也在我国经典文献中出现过. 本文收集中国古籍中的一些与初态敏感性相关的说法，以及“混沌” 一词的用法，以供非线性动力学科普和教学时参考.

1 初态敏感性

所谓初态敏感性，是指开始时候存在的微小原因，导致后来形成巨大的结果. 初态敏感性是混沌概念的最重要内涵. 尽管古人并不知道初态敏感性的科学概念，但类似的现象在中国古籍中有多处描述.

“四书五经" 是中国传统文化中最具有权威性的典籍. ”五经" 之一的《尚书》的“盘庚中" 篇用火焰燎原比喻谣言传播，”汝曷弗告朕，而胥动以浮语，恐沈于众？若火之燎原，不可向迩，其犹可扑灭？(参考文献[1]，黑体为笔者所加，后同)"“星星之火可以燎原"，因此火的扩散过程被认为具有初态敏感性.

“五经" 中的另一部《礼记》的“经解" 篇，用这种初态敏感性提醒为人修身细节的重要性. “故礼之教化也微，其止邪也于未形，使人日徙善远罪而不自知也，是以先王隆之也. 易曰：`君子慎始. 差若豪厘，缪以千里' 此之谓也."^[2]. 注释中称引文来自《周易·系辞》.《汉书·司马迁传》中也引用《易》的“差以豪氂，谬以千里"^[3]. 但该引语未见于现存的12 章《周易·系辞》. 现在常用“失之毫厘，差以千里"这种初态敏感性现象形象地说明混沌.

禅学语录中也有初值敏感性的描述.《指月录》的“金陵清凉院文益禅师" 条目下，有这样一个故事，“师问修山主：`毫厘有差，天地悬隔. 兄作么生会？' 修曰，`毫厘有差，天地悬隔.' 师曰：`恁么会又争得？' 修曰：`和尚如何？' 师曰：`毫厘有差. 天地悬隔. ' 修便礼拜."<sup>[4]</sup> 同样的说法，不同时说出来，就由可以质疑到加以膜拜. 然后又有个更具体的例子. “师以手指帘，寻有二僧齐去卷帘. 师云：`一得一失.' "^[4] 几乎相同的动作，却有得有失. 尽管禅法玄妙，非寻常逻辑可以理解，但“毫厘有差. 天地悬隔" 不失为初值敏感性的一种生动描述.

与初态敏感性有关的表述也见于古典文学. 苏轼有首标题很长的七绝诗，通常被简称为“赠龙光长老"，“斫得龙光竹两竿，持归岭北万人看. 竹中一滴曹溪水，涨起西江十八滩."[5] 最后两句，不仅是描述小河有水大河涨的自然现象，也暗喻着慧能在曹溪之畔的南华禅寺所倡导的“顿悟" 南宗最终风靡全国，成为禅宗正统. 与火的扩散类似，水的流动也有初始敏感性. 纪晓岚曾以此为喻，说明小节小事的重要性. 他在《阅微草堂笔记· 姑妄听之一》写道，“苟无其隙，虽小人不能伺；苟无所好，虽小人不能投. 千金之堤，溃于蚁漏，有罅故也."^[6]

2 混沌

多种文明中都把开天辟地之前的原始状态称为混沌，中华文明也是如此. 只是中国相关记载的文献出现较晚，最早用到混沌一词的描述是东汉时班固编撰的官方法典性文献《白虎通· 天地》，“始起之天，始起先有太初，后有太始，形兆既成，名曰太素. 混沌相连，视之不见，听之不闻，然后剖判清浊. 既分，精出曜布，度物施生. "^[7] 更早的汉代纬书《周易乾凿度》用的是同义词“浑沦". “有太易，有太初，有太始，有太素也. 太易者，未见气也；太初者，气之始也；太始者，形之始也；太素者，质之始也；气形质具而未离，故曰浑沦. 浑沦者，言万物相浑成而未相离. 视之不见，听之不闻，循之不得，故曰易也. "^[8]《辞源》引用该文作为“混沌" 条目例证时将上述引文中“浑沦" 改为“混沌"^[9]，所依据底本笔者未见.

后来三国时曹植的《七启》也写道，“夫太极之初，混沌未开. 万物纯纯，与道俱运. " 原文已经佚失，引文见于宋代的类书《太平御览》卷一天部一“太极" 条目^[10]. 三国时徐整的《三五历记》更形象地引入开天辟地者盘古. “天地混沌如鸡子，盘古生其中，万八千岁，天地开辟，阳清为天，阴浊为地.盘古在其中，一日九变，神于天，圣于地. 天日高一丈，地日厚一丈，盘古日长一丈，如此万八千岁. 天数极高，地数极深，盘古极长. 后乃有三皇. " 原文已经佚失，引文见于唐代类书《艺文类聚》卷一^[11].

禅学语录《五灯会元》多处利用天地开辟之前的未知混沌状态来破除人们的成见. 例如卷四灵云志勤禅师篇，“长生问：`混沌未分时含生何来？' 师曰：`如露柱怀胎.' 曰：`分后如何？' 师曰：`如片云点太清.' "^[12] 卷六大光居诲禅师篇，“问：`混沌未分时如何？' 师曰：`时教阿谁叙？' "^[12] 卷十三育王弘通禅师篇，“僧问：`混沌未分时如何？' 师曰：`混沌.'曰：`分后如何？' 师曰：`混沌.' "^[12] 卷十六夹山灵泉自龄禅师篇，“问：`混沌未分时如何？' 师曰：`春风.'曰：`分后如何？' 师曰：`春日迟迟.' "^[12]

在国际上最知名的中国经典中有关混沌的词语当推《庄子· 应帝王》中的“中央之帝为浑沌"，因为郝柏林曾将其作为他加导言并汇编的混沌研究经典论文集的开卷题记^[13]. 这其实是个控制混沌失败的悲剧性故事. “南海之帝为倏，北海之帝为忽，中央之帝为浑沌. 倏与忽时相与遇于浑沌之地，浑沌待之甚善. 倏与忽谋报浑沌之德，曰：人皆有七窍，以视听食息，此独无有，尝试凿之. 日凿一窍，七日而浑沌死."^[14] 有趣的是，最早的控制混沌文献^[15]报道了用确定性输入控制确定性保守系统中的混沌失效而导致系统发散的例子，改用随机性控制输入才取得成功. 这个故事古人多有引用. 例如，李商隐的五律诗《寄罗劭兴》，“棠棣黄花发，忘忧碧叶齐.人闲微病酒，燕重远兼泥. 混沌何由凿，青冥未有梯.高阳旧徒侣，时复一相携." ^[16] 国外现代混沌动力学的通俗读物也曾在前言的开篇就引用了上述故事的英译文^[17].

除初态敏感性外，混沌的另一个含义是非周期性，表现出极度的混乱. 混沌所表示混乱的特性出现在古诗中. 孟郊《泛黄河》，“谁开昆仑源，流出混沌河. 积雨飞作风，惊龙喷为波. 湘瑟飕飗弦，越宾呜咽歌. 有恨不可洗，虚此来经过."[18] 诗人用混沌描述黄河浑浊河水的喧腾咆哮.

3 结束语

本文收集《尚书》、《礼记》、《汉书》、《指月录》、苏试诗等古籍中关于初态敏感性的形象描述，说明对这类现象的认识在科学概念形成之前已经有漫长的历史. 本文还列举了《庄子》、《白虎通》、《五灯会元》、孟郊诗等古籍中出现的混沌一词，其语义除了天地开辟前的状态外，也有浑浊不清的含义.

参考文献

1 [汉] 孔安国撰. 尚书正义. [唐] 孔颖达疏. 廖明春, 陈明整理. 北京: 北京大学出版社, 2000

2 [汉] 郑玄注. 礼记正义. [唐] 孔颖达疏. 龚抗云整理. 北京: 北京大学出版社, 2000

3 [汉] 班固撰. 汉书. [唐] 颜师古注. 北京: 中华书局, 1962

4 [明] 瞿汝稷编撰. 指月录(下册). 德贤, 候剑整理. 成都: 巴蜀书社, 2005

5 [清] 冯应榴注. 苏试诗集合注. 黄任轲, 朱怀春校点. 上海: 上海古籍出版社, 2001

6 [清] 纪昀著. 全本阅微草堂笔记. 夏风扬校点. 成都: 巴蜀书社, 1995

7 [汉] 班固撰. 白虎通. 北京: 中华书局, 1985

8 [清] 永瑢, 纪昀等编篡. 景印本文渊阁四库全书(第58 卷). 台湾: 商务印书馆, 1986

9 广东，广西、湖南、河南辞源修订组，商务印书馆编辑部编. 辞源(修订本)(1|4 合订本). 北京: 商务印书馆, 1988

10 [宋] 李昉编篡. 太平御览(第1 卷). 夏剑钦, 王巽斋校点. 石家庄: 河北教育出版社, 1994

11 [唐] 欧阳询撰. 艺文类聚. 汪绍楹校. 上海: 上海古籍出版社, 1985

12 [宋] 普济著. 五灯会元. 苏渊雷点校. 北京: 中华书局, 1984

13 Hao Bai-Lin ed. Chaos. Singapore: World Scientic, 1984

14 [清] 郭庆藩撰. 庄子集释. 王孝鱼点校. 北京: 中华书局，1961

15 Fowler TB. Application of stochastic control techniques to chaotic nonlinear systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 1989, 34(2): 201-205

16 [唐] 李商隐. 玉溪生诗集笺注(全2 册). 冯浩笺注. 上海: 上海古籍出版社, 1979

17 Briggs J, Peat FD. Turbulent Mirror: An Illustrated Guild to Chaos Theory and the Science of Wholeness. New York: Happer & Row, 1989

18 韩泉欣校注. 孟郊集校注. 杭州: 浙江古籍出版社, 1995

发表于：力学与实践, 2014, 36(5): 680-681