在任何学科的发展过程中，通常都会出现若干经典著作，反映当时的学科最新研究成果，并对学科后来的发展有深远影响。分析力学学科也不例外。若以J. L. Lagrange在1788年出版Méchanique Analytique出版为学科正式诞生的标志，在随后2百多年的学科发展中也有多部经典著作。本文将介绍的这些经典著作中的3部。他们是1904年初版于英国的Whittaker的《分析动力学》、1949年出版于德国的Hamel的《理论力学》和1961年出版于俄国的Lurie的《分析力学》。这些书在近20余年内仍在重印。

   需要说明的是，这些书都是分析力学学科的经典著作。但从整个力学学科，还没有够上武际可先生认定的“1920年以前力学史上的100篇重要文献”(力学与实际，2006年28卷3期85-91页)，虽然笔者个人认为Whittaker的《分析动力学》的重要性和影响已经很接近某些入选的文献。梅凤翔先生在所著《高等分析力学》中将这几部书都定位为“国外分析力学名著和教材”(44-45页)。本文介绍的著作，虽然有些包含作者自己的研究成果，但总体上教材的成分更大些。

   本文将分别概述这3部经典著作的主要内容，并分析它们的对学科发展的影响和著述特点，同时简要介绍这3部经典的作者。

1 Whittaker的《分析动力学》

   该书的全名是《质点和刚体的分析动力学教程附三体问题导论(A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies with an Introduction to the Problem of Three Bodies)》。书名冗长，但确切说明了该书的内容。该书剑桥大学出版社1904年初版，1917、1927、1937年分别出了第2、3和4版。在每次修订时，作者更新了文献注释。1944年在美国又Dover出版社重印。该书出版过德文译本和俄文译本，国内也发行过影印本。最新的版本是1988年收入“剑桥数学文库”的重新发行版本，增加了William McCrea爵士写的前言。

   该书共有16章。第1章为运动学基础，主要是刚体运动的描述以及速度和加速度，也有点的空间运动。第2章为运动方程，从牛顿定律推导了Lagrange方程，给出方程的显式、准坐标表达、匀速转动坐标系中的形式和冲击力作用的形式。第3章可用于积分的原理，包括循环积分及其特例动量和动量矩积分、能量积分及其在系统降维中的应用、以及分离变量和Liouville类型动态系统。第4章是质点动力学的可解问题，包括10余种有显式积分的实例。第5章为刚体的动力学描述，包括惯性矩和惯性积以及动量和动能的计算。第6章为刚体动力学的可解问题，包括1、2和3自由度运动刚体可积的例子和刚体受冲击的运动。第7章为振动理论，研究多自由度系统在平衡位形和稳态运动附近的小振动。第8章为非完整系统和耗散系统，包括带乘子和用耗散函数表示的Lagrange方程以及相应的冲击、碰撞和能量损失等问题。第9章为最小作用和最小曲率原理，包括完整保守系统的Hamilton原理和最小作用量原理及其对非完整和非保守系统的推广，还包括Gauss和Hertz的最小曲率原理并应用该原理导出Appell方程和证明碰撞的Bertrand定理。第10章为Hamilton系统及其积分不变量，包括Hamilton方程以及从变分法中导出、积分不变量和相对积分不变量、最后乘子、微分方程的Hamilton化和Lagrange化。第11章为动力学的变换理论，包括正则变换(作者称为接触变换)、Lagrange括号、Poisson括号、无限小正则变化、Helmholtz互等定理、动态系统的微风形式表示等。第12章为可积动态系统的性质，包括用能量积分降维、Jacobi-Hamilton方程(作者称为Hamilton偏微分方程)、Hamilton积分、Poinsson定理、常数Lagrange括号、involution系统、积分和特解关系的Levi-Civita定理、可积系统作用力确定等。最后4章是关于三体问题，分别为三体问题的约化、Bruns和Poincaré定理、轨道的一般理论和用级数积分。

   该书不仅是首部用英语写的动力学的专论，更是经典分析力学的集大成制作，具有划时代意义。类似于Rayleigh的《声的理论》、Love的《弹性的数学理论教程》和Lamb的《流体动力学》在相应学科的作用，该书全面总结了分析力学的在当时的几乎全部重要成果。这种包罗万象的风格后来仍有人效仿，如在分析力学领域有Pars所著的《分析动力学教程》。不过，时过境迁，后继者虽然也很出色，但都没有取得Whittaker著作的影响力。虽然该书论述的是分析力学属于古典物理，但是当1925年量子世界成为探索热点时，该书所论述的变换理论恰好是量子力学研究者需要的基础，正像Whittaker的《现代分析教程》为求解量子力学问题的波动力学方法准备好了数学基础。物理学大师Dirac曾回忆就是从该书学到Poisson括号并应用于量子力学。因此人们认为Whittaker在选择主题时具有超乎寻常的预见性。类似的，当1957年苏联卫星上天后，促使人们重新重视经典动力学和天体力学，又发现该书刚体动力学和三体问题等正是他们要研究的主题。就分析力学学科本身而言，该书也有巨大的影响，几乎出现在所有分析力学著作的参考书目上。

   该书最主要的特色是体现了一流学者的学术品味。作者汇集了有意义和有趣味的结果，以种不蔓不枝简明扼要的方式统一阐述。该书中包含作者新的结果，利用能量积分将完整保守系统的方程降阶，所得到的低阶方程被现在被称为Whittaker方程。该书的历史注记和参考文献也勾画出学科的发展历史，体现了作者对分析力学历史的准确把握。作者的史家眼光，也使他能确切理解现有成果的价值以及对学科发展的作用，从而恰当地纳入他的著作体系。特别值得称道的是，该书除1章外各章都有所谓“杂例”，事实上就是习题。部分习题取自期刊或学校考题。全书共有这样的习题251道。不过，作者完全沿袭Lagrange《分析力学》的传统，“全书没有一张图”，给阅读带来不便。而且该书没有采用矢量而都用坐标表述，与现在的习惯也不相同。

   作者Edmund Taylor Whittaker (1873-1956)1895年毕业于剑桥三一学院并获数学和天文学Tyson奖章。1896年成为剑桥三一学院的研究人员，随后成为讲师直到1906年；1906年至1911年，他是爱尔兰皇家天文学家和都柏林三一学院天文学教授；1911年起，任爱丁堡大学教授。1905年当选伦敦皇家学会的Fellow，1912年当选爱丁堡皇家学会Fellow，1931年获得伦敦皇家学会的Sylvester奖章，1935年获伦敦数学会De Morgan奖章，1937年被爱丁堡数学会选为Honorary Fellow，1945年受封爵士，1954年获得伦敦皇家学会的最高科学荣誉---Copley奖章。他还担任过爱丁堡数学会的主席和伦敦数学会的主席。Whittaker是位博学多才的数学家，在数学分析、数学物理和经典力学方面都做出过原创性的贡献，是英伦三岛数学界最有影响的人物(他指导的学生中包括著名数学家Hardy)；同时，他也是指导观测的专业天文学家，数值数学和数理统计教学的先驱，还是知名的数学物理史家。他在数学方面的主要贡献在特殊函数方面，混合超几何函数被称为Whittaker函数或Whittaker积分(该结果广泛应用，包括现在求解量子计算中量子点的磁状态)，自守表示的局部理论中有Whittaker模型；在偏微分方程方面，他给出了3维Laplace方程的通解、Maxwell方程的通解和波动方程的特解。据说Whittaker具有专著和教材选题和写作的天分。除该书外，他的其它著作包括：《现代分析教程》(A Course of Modern Analysis: an Introduction to the General Theory of Infinite Series and of Analytic Functions; with an Account of the Principal Transcendental Functions, 1902; 1915 2nd ed. with G. N. Watson)，《观测数据的微积分：数值数学教程》(Calculus of Observations: a Treaties on Numerical Mathematics, 1924)，《以太和弹性理论的历史》(A History of Theories of Aether and Electricity, from the Age of Descartes to the Close of the Nineteenth Century, Longman, 1910, A History of the Theories of Aether and Electricity, Vol 1: The Classical Theories/vol. 2: The Modern Theories 1900-1926, 1951-1953)，《从欧几里得到埃丁顿：外部世界的概念研究》(From Euclid to Eddington: A Study of Conceptions of the External World, 1958 1949)，《科学哲学中的埃丁顿原理》(Eddington’s Principle in the Philosophy of Science, 1951)。《光学仪器》(The Theory of Optical Instruments, 1907)

2 Hamel的《理论力学》

   该书的全名是《理论力学：一般力学的统一导论(Theoretische Mechanik. Eine Einheitliche Einfuehrung in die Gesamte Mechanik)》，共796页。1949由Springer-Verlag作为著名的“数学科学基本原理(Die Gurndlehren der mathematischen Wissenschaften)”丛书第57卷出版，该版大陆发行过影印本。1967年和1987年分别重印。

   该书共分9章。第1章是力的概念和牛顿运动定律，也在附录中简介了狭义相对论。第2章是有限自由度约束系统的分析静力学，包括了约束解除公理。第3章是无限自由度系统的静力学，包括薄板和壳的理论，弹性理论基础，黏性流体和气体。第4章是动力学的基本原理，包括d’Alembert原理、刚体能量方程和Hamilton原理，以及Lagrange和Helmholtz的涡定理。第5章是有限自由度完整系统的Lagrange方程，导出Lagrange方程并应用于刚体平面运动、微振动理论、单自由度非线性振动和稳定性的Dirichlet定理等。第6章为数学论述，包括Hamilton正则方程、正则变换、Poisson括号、积分方法无限小正则变换和常数变异法。第7章是最小原理，包括最小作用原理、积分不变量、摄动计算、正则方程积分、线性和平方积分和Gauss最小约束原理，最后是弹性体的最小原理。第8章是空间刚体运动，包括Lagrange方程的应用。第9章是有限自由度非完整系统，包括待定乘子法、交换关系、中心原理和Boltzmann-Hamel方程、最小作用原理、非线性约束方程和2阶非完整系统。除正文9章外还有个关于力学基础概述的附录和习题解答。

   该书的内容显然不局限于分析力学，作者的主旨是给质点系的力学和连续体的力学统一论述。该书真正有影响的还是分析力学部分，第4－7章和第9章，特别是第9章，虽然该书以德文写成没有译成其它语言在一定程度上限制了该书的影响。后来出版的多种分析力学著述都把该书列为参考资料，例如后面将介绍的《分析力学》。前节介绍的《分析动力学》是应用数学风格的著作，因此对约束的分析语焉不详。在Lagrange力学的前8章几乎没有用到约束概念，直到变分原理时才简单涉及。该书的特点是给予约束特别是非完整系统系统足够重视，而且首次把非线性非完整约束写入专著。从逻辑基础上，作者在分析约束时明确列出了解除约束原理(作者称为Lagrange释放(Befreiungsprinzip)原理，因为作者认为Lagrange已经使用该原理，虽然没有明确提出)，事实上统一了约束的两种描述，对运动的限制和受周围物体的作用。从技术上，作者提出了所谓中心方程，建立能量和动量以及变分和微分交换关系之间的联系，比较便于推导运动微分方程的各种形式，特别是对于非完整约束系统。这些对分析力学特别是非完整系统的学科发展有深远影响。

   该书反映了作者对动力学罕见的透彻理解，并且与数学分析工具很好结合。该书包含作者自己对分析力学的贡献，建立了准坐标下受非线性非完整约束系统的运动微分方程，即现在所称的Boltzmann-Hamel方程；还提出了高阶非线性非完整约束的实例。作者在力学公理化方面做过研究。该书完全是用演绎的方式写的，出发点是虚功原理、d’Alembert原理和约束解除原理。该书对基本概念的阐述非常清晰，例如，明确地说明Hamilton原理中的比较弧线一般并非可能路径，从而Hamilton原理通常不是变分原理。当然，这种风格也使得该书某些内容抽象晦涩。该书在分析力学部分也不再遵循“没有一张图”，全书共有161个查图，对内容的表述有所帮助。占全书篇幅1/3的习题及其解答也是该书的突出特色。作者收集了184道题目，其中多数给出了详细解答。

   作者 Georg Karl Wilhelm Hamel (1877-1954)于1901年在哥廷根大学获得博士学位，导师是数学大师希尔伯特。1901-1902学年度，他是另位哥廷根的数学大师Klein的助手。1902年秋，他到卡尔斯鲁厄工业大学做Karl Heum的助手。1年后通过教职资格(habilitation)而讲授数学和力学课程。1905年任Brünn工业大学力学教授。1912年至1919年任亚琛的莱茵-威斯特法伦学院的力学主任。1919年任柏林工业大学数学和力学教授，在那里共指导过7位博士生。1938年成为普鲁士科学院院士，1953年成为巴伐利亚科学院院士。他曾任德国数学会主席，这固然与其数学学术成就有关，但部分原因也在于他是当时统治德国的纳粹的坚决支持者，鼓吹数学与第三帝国之间的精神结合。Hamel教授的主要研究领域是函数论、微分方程、数学基础、力学公理化和流体动力学。在数学方面最著名的工作是用选择公里构造了实数作为有理数域上线性空间就基，被称为Hamel基。他的其它著作还有《基础力学》(Elementare Mechanik, 1912, 1965)、《积分方程理论和应用导论》(Integralgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch, 1949)和《连续体力学》(Mechanik der Konitinua, 1956)。

3 Lurie的《分析力学》

   该书俄文版出版于1961年。2002年，A. Belyaev译成英文，书名为Analytical Mechanics，共864页，由Spinger-Verlag出版社出版，收入主要出版俄国和东欧学者著作英译本的“工程力学基础”丛书。该丛书由Vladimir I. Babitsky和J. Wittenberg主编。

   该书共12章和2个附录。第1章基本概念基本定义包括约束、广义坐标速度和加速度、准速度和准坐标、虚位移，还讨论了微分与变分的交换性、准坐标变分和3指标符号。第2章和第3章分别是刚体运动学的基本知识和刚体有限转动理论。第4章基本动力学量包括动能与加速度能的概念及其刚体和多刚体系统的计算。第5章功和势能包括广义力、功、势能和耗散力的功。第6章动力学基本方程和分析静力学包括第一类Lagrange方程、理想约束、动力学基本方程、Hamel所谓的中心方程及其变形、虚功原理及其广义坐标形式。第7章Lagrange方程包括第二类Lagrange方程及其结构、显式、几何解释、能量积分和循环坐标，还包括约束力的处理和几何解释以及Routh方程。第8章微分方程的其它形式包括Boltzmann-Hamel方程(作者称为Euler-Lagrange方程)、Appell方程和Chaplygin方程及其在非完整系统和刚体动力学中的应用。第9章相对运动动力学包括载体运动方程和相对运动的平衡和运动方程。第10章精确积分方法包括Legendre变换、正则方程、Poisson括号、Lagrange括号、Poisson定理、正则变换、生成函数、Jacobi定理和Jacobi-Hamilton方程分离变量。第11章摄动方法包括参数变易法、小参数对振动的影响、变分方程及其积分等。第12章力学中的变分原理包括等时变分原理和非等时变分原理；前者是Hamilton原理(作者称为Hamilton-Ostrogradsky原理)应用，后者是静态作用量的Lagrange原理和Jacobi原理；将Hamilton原理应用于非完整系统和分布参数系统，以及近似计算固有频率和模态，将Lagrange原理应用于轨道摄动；还讨论了Hamilton作用量和Lagrange作用量的极值性。最后两个附录是数学基础，包括矩阵理论和张量微积分的基础知识。

   该书是首部具有工程动力学雏形的专著。正是这一点，使该书有别于前述的Whittaker《分析动力学》或Hamel的《理论力学》，也有别于有汉译本的俄文分析力学著作如甘特马赫《分析力学讲义》或朗道等的《力学》。这是动力学包括分析力学深刻变化的征兆，不仅是应用数学或理论物理的组成部分，也是工程科学的基础。在此基础上，后来为分析日益复杂和高速机械设备，充分利用计算机迅速发展所提供的可能性，多体系统动力学应运而生。动力学建模部分是该书精华所在。遗憾的是，该书没有及时译成英文，多少对该书的学术影响有所局限。此外，该书在当年中国向苏联老大哥学习的大背景下，居然没有汉译本，也多少让人觉得意外。

   该书的突出特色是重视非完整约束系统。在第一章中就引入了非完整约束的概念。在第7章中推导了带乘子的Lagrange方程和Routh方程，第8章推导了Boltzmann-Hamel方程(作者称为Euler-Lagrange方程)、Appell方程和Chaplygin方程。该书详细地用不同方法讨论了几个典型的非完整系统实例，如在平面上滚动的刚体(圆球和圆环为其特例)，Cardan悬挂， 4轮车。其中4轮车因为有8个广义坐标和6个非完整约束，是非完整系统的典型例子。Kane提出他的建模方法时也用了这个例子。该书还包括1957年V. S. Novoselov提成的不能简化为Chetaev类型约束的非线性非完整约束系统。不仅是非完整约束部分，作为应用导向的书，该书其它有意义的实例，如地球旋转的定点运动模型，重陀螺，带转动飞轮的刚体，火箭运动方程、陀螺仪平台，作为可积系统例子的Kepler运动，作为圆轨道摄动的Kepler运动，转动地球引力场中的质点运动，地球卫星绕质心的转动，规则进动的稳定性，两中心吸引场中的圆周运动，悬重链的振动，旋转弹性杆的振动等；此外还有大量的例题但可惜没有习题。与一般分析力学书不同，该书系统地采用了张量微积分工具。该书也不再拘泥分析力学“没有一张图”的特点，全书共有92个插图。此外，该书具有当年苏联著作的典型特点，内容丰富，体系完整，论证严谨，解释充分。

   作者Anatolii Isakovich Lurie(1901-1980)1939年获得科学博士学位。1918年起在圣彼得堡理工学院工作。1936年至1941年和1944年至1977年，任该校动力学和力学强度系主任， 1960年后该系改名为力学和过程控制系。Lurie是苏联科学院力学和控制学部通信院士，苏联理论和应用力学学会主席团成员，苏联自动控制学会成员；著名俄文期刊《应用数学和力学》和《固体力学》编委。Lurie教授的主要学术贡献是在自动控制领域，他提出了提出了控制系统绝对稳定性问题，并用Lyapunov函数方法求解；他还用算子微积分研究分布参数力学系统的稳定性。此外，他是所谓直接或不变矢量和张量微积分的倡导者，还研究了非线性弹性问题的解析解。他研究工作的特点是将经典力学的成就与现代技术是需求密切结合。除这里介绍的《分析力学》外，他的其它专著和教材包括《结构基础振动》(Vibrations of the Frame-type Foundations. Gosstroyizdat, 1933 with E.L.Nikolai)，《理论力学》(Theoretical Mechanics, Vols. 1-3, 1934 with L. G. Loitsiankkii)，《薄壁弹性壳静力学》(Statics of Thin-walled Elastic Shells, 1947)，《自动控制理论中若干非线性问题》(Some Nonlinear Problems of the Theory of Automatic Control, 1951)，《算子微积分及其在力学问题中的应用》(Operational Calculus and Its Application to the Problems in Mechanics, 1951)，《弹性力学的3维问题》(Three-dimensional Problems of the Theory of Elasticity, 1955)，《理论力学教程》(A Course in Theoretical Mechanics, Vol 1&2, 5th ed., 1955, with L. G. Loitsiankkii)，《弹性力学》(Theory of Elasticity, 1970)和《非线性弹性力学》(Nonlinear Theory of Elasticity. Nauka, 1980, 英译本，K.A.Lurie译，North Holland, 1990)。

   以上介绍了几本不同时代不同国度出版的分析力学经典著作。尽管这些著作出版年代久远，但至今仍有参考价值。例如，梅凤翔先生等最近发表的研究工作将Whittaker书中的最后乘子法推广到广义Hamilton系统，以发展相应的积分方法。因此，从事分析力学研究和教学的科学工作者特别是年轻人仍有必要认真学习研究这些经典著作，从中得到启发。还需要说明的是，这类历史上与分析力学相关的经典著作，现在仍有较大参考价值还有P. Appell所著《理性力学教程(Traité de Mécanique rationelle)》(Gauthier-Villars, Paris, 1926)。共有5卷，第2卷为分析力学，国内曾出版过影印版。但笔者不懂法文，无力作介绍。

发表于：力学与实践, 2010, 32(5): 113-116