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《非线性动力学》绪论
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§0.1 动态系统
狭义而言，动态系统为依据力学原理所建立的描述机械或结构系统运动的微分方程组。一般地，状态随时间变化的工程、物理、生物、社会等系统也都可以称为动态系统(dynamical system)，简称系统(system)。状态(state)和时间(time)是构成动态系统的两个要素。动态系统由演化规律和初始条件时间描述。演化规律(evolution law)是系统状态与系统先前状态的依赖关系。初始条件(initial condition)是起始时刻的系统状态。
动态系统可分为确定性和随机性两类。确定性系统(deterministic system)的特性可用时间的确定性函数给出。随机性系统(stochastic system)的特性不能用时间的确定性函数给出，只具有统计规律性。随机性系统一般含有随机性的初始条件、随机性的参数变化或随机性的外部激励，也可以更明确地称为外在随机性系统(externally stochastic system)。
动态系统又可分为有限维和无穷维两类。有限维系统(finite-dimensional system)的状态可以用有限个参数表示。例如，由彼此分离的有限个质量元件、弹簧和阻尼器构成的有限自由度力学系统。无穷维系统(infinite-dimensional system)的状态必须用无穷多个参数表示。例如，由弦、杆、梁、板、壳等具有分布质量的可变形元件构成的无穷多自由度力学系统。
动态系统还可分为连续时间和离散时间两类。连续时间系统(continuous-tims system)的时间是连续变化的，即时间在实数轴或其中某个区间上取值。离散时间系统(discrete-time system)的时间是不连续变化的，即时间在整数集合或其中某个子集上取值。为在不会引起混淆时可分别简称为连续系统(continuous system)和离散系统(discrete system)。
系统状态随时间变化过程称为运动(motion)，也称为动力学行为(dynamical behavior)，甚至可简称为动力学(dynamics)。只在运动起始后较短的时间中发生的运动称为暂态运动(transient motion)。在充分长时间中进行的运动称为稳态运动(steady motion)。稳态运动也可能以暂态运动开始，暂态运动之后的运动称为渐近行为(asymptotic behavior)，或长期行为(long-time behavior)。对于确定性系统而言，通常人们认为除静止不发生变化外的有限渐近行为只有周期运动和准周期运动。然而研究发现也存在非周期运动。
§0.2 非线性系统及其性质
非线性系统(nonlinear system)是指系统状态的变化以一种复杂的方式依赖于系统先前的状态。这里所谓“复杂的方式”是除成比例、相差常量及其这两者组合之外任何其它方式。非线性动力学系统通常用非线性微分方程组或非线性差分方程组描述。不是非线性系统的系统称为线性系统(linear system)。线性系统状态的变化与该系统先前的状态成比例、相差常量或是两者的组合。
与线性系统的特殊情形相比，非线性学系统具有若干更为复杂的性质。首先，线性系统研究中经常采用的叠加原理对非线性系统不适用，即非线性系统两个运动叠加的结果一般不是该系统的运动。其次，非线性系统运动的周期不像线性系统那样仅由系统特性确定，一般还与初始条件有关。第三，非线性系统可能具有多个平衡位置和稳态运动，系统的动力学行为既取决于这些平衡位置和稳态运动的稳定性，也与初始条件有关。第四，对工程中的非线性机械、结构和机电系统，系统的响应与激励频率存在复杂的依赖关系，而线性系统响应与激励的频率是相同的。最后，线性系统仅存在周期运动和准周期运动两种有限运动，非线性系统存在混沌等复杂运动现象。
§0.3 非线性动力学的内容、方法和意义
对非线性现象的研究需要多个学科的交叉。纯粹和应用数学理论如动态系统理论、奇异性理论、摄动理论等，理论和实验力学概念和方法如工程现象的力学建模、应用力学规律解释动力学行为、固体和流体系统实验研究等，以及电子计算机的数值和符号运算，均为分析非线性问题的重要工具。在多学科交叉的基础上，形成了非线性动力学这一新的分支学科。
非线性动力学(nonlinear dynamics)研究非线性动力学系统各类运动状态的定性和定量变化规律，尤其是系统的长时间演化行为中的复杂性。对有限维系统而言，其主要内容包括混沌、分岔和分形。混沌是一种由确定性动力学系统产生对于初值极为敏感而具有内在随机性和长期预测不可能性的往复非周期运动。分岔是指非线性动力学系统的定性行为随着系统参数的改变而发生质的变化。分形是没有特征尺度而又具有自相似性的几何结构，用于描述破碎、不规则的复杂几何形体。
非线性动力学的研究包括实验和理论两方面。实验研究分为实验室实验和数值实验两种，对于某些工程问题还需要进行现场实验。实验工作是理论结果的先导、补充和验证。理论研究可揭示非线性系统的基本性质和解释大量的具体现象，主要方法包括数学抽象、解析方法和拓扑方法。数学抽象不直接研究真正的非线性动力学问题，而是研究人为构建的数学结构，它具有某些类似于真实非线性系统的性质但结构上比较简单。具体的非线性系统的一些性质往往很难发现，除非已经知道发现这种性质的可能性，一般的数学抽象正可以揭示这种可能性。解析方法是种定量方法。非线性系统的精确解析解通常涉及非初等函数(如椭圆函数)的引入和研究，但能够得到精确解的非线性系统极为有限。更常用的是谐波平衡法、摄动法、平均法、渐近法和多尺度法等近似解析方法。拓扑方法是种定性方法，从几何观点描述系统的动力学行为。解析方法和拓扑方法可以互相补充，拓扑方法可以得到动力学系统大范围的结果，定量方法可以对一个确定的小范围给出定量结果。
混沌等非线性动力学问题的研究具有深刻的理论意义。在混沌现象广为人知以前，对自然界的描述分成随机性和确定性截然不同的两类，确定性系统具有决定论的性质。混沌研究的兴起促使人们重视有限性的问题，即随机检验只能在有限的时间和频率中进行，真实物理量的精度都是有限的。随着对确定性混沌理解的深入，机遇、因果、决定论等人类认识自然的基本概念和范畴需要重新认识。非线性动力学的研究导致了一种新的实验方式，数值实验的产生和广泛应用。非线性动力学的研究也促进了数学、物理、力学中相关学科的发展。随着研究的深入，非线性动力学也日益在工程技术、生物医学和社会科学中显示出广阔的应用前景。
非线性动力学在近20年来不论从深度到广度都以空前的速度发展，成为当前非常活跃的力学分支。同时它与其它科学和工程中的非线性研究紧密联系，构成非线性科学的一个重要方面，成为现代科学技术的重要前沿领域。
§0.4 非线性动力学发展简史
人们对非线性问题的认识至少可以上溯到1673年C. Huygens对摆的研究，他观察到单摆大幅摆动对等时性的偏离以及两只频率接近时钟的同步化两类非线性现象。1687年I. Newton发表的运动定律表明动力学问题本质上是非线性的。但直到本世纪30年代才有非线性力学这一名称，内容是经典的非线性振动理论。而非线性动力学这个名称在70年代中后期才逐渐使用，以概括对混沌、分岔等问题的研究。
上世纪末H. Poincare的工作为非线性动力学的发展奠定了基础。Poincare开创了动力学问题研究的一个全新方向：定性理论。在1881年至1886年的一系列论文中，他讨论了二阶系统奇点的分类，引入了极限环概念并建立了极限环的存在判据，定义了奇点和极限环的指数。在此之前的1879年，他建立了分岔研究中其重要作用的范式理论的雏形。1885年他研究了分岔问题。1890年他证明了不可积系统的存在。1892年他论证了摄动法的合理性，为促进了非线性系统近似解析方法的研究。1894年他发现了伴随横截同宿点产生的复杂运动现象。1905年他明确地阐明了对初值敏感依赖而导致的不可预测性。
本世纪20年代以来对非线性系统与线性系统的本质差别已有所认识。1918年G. Duffing和1926年B. van der Pol 对典型非线性振动系统的研究揭示了次谐振动、自激振动等非线性系统的特性。1929年A. A. Andronov将Poincare的极限环概念与自激振动建立了联系，他随后对平面系统的定性特征进行了系统的研究。在三、四十年代，N. M. Krylov、N.
对混沌现象的广泛研究促使非线性动力学迅速发展。就不可预测性的物理概念而言，1955年M. Born和1964年L. Brillouin分别阐发Poincare的思想而指出经典动力学系统中存在产生于不稳定性的不确定性。就非周期性的数学描述而言，1921年H. M. Morse引进了符号动力学方法，1963年S. Smale构造了马蹄映射。近可积保守系统的非周期性运动产生机制由A.
本世纪70年代原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学主流之中。分岔现象的发现可以上溯到1729年P. Musschenbrock对压杆失稳实验的观察，1744年L. Euler从挠曲线角度进行了理论分析。固体力学中将这类分岔称为屈曲。1877年Lord Rayliegh开始发展分岔的数学理论，并在1883年利用系统参数的分岔成功地解释了1831年M. Faraday和1868年Matthiessen关于振动流体实验的不同结果。1883年O. Reynolds发现在临界数时层流转变为湍流的现象，这种运动分岔在流体力学中称为转捩。1885年Poincare的工作标志分岔理论的创立。1938年Andronov和L. S. Pontryagin建立了分岔和动态系统结构稳定性的关系。作为数学分支，分岔理论在60年代已基本形成。1972年R. Thom宣传的突变理论曾使得分岔理论中的奇异性方法受到广泛注意。1971年Rulle和Takens提出环面分岔进入混沌，到1982年这种进入混沌的途径基本清楚。1978年F. J. Feigenbaum所发现倍周期分岔进入混沌途径普适规律受到广泛注意。1980年Y. Pomeou和P. Manneville发现了伴随鞍结分岔的阵发性进入混沌的途径。这些工作建立了分岔和混沌的联系。
本世纪70年代开创的分形几何对非线性动力学的发展和普及起了重要作用。1880年Poincare和F. Klein关于自反演的工作已涉及分形的若干方面。1875年H. J. S. Smith构造的集合(由于G. Cantor1883年的工作而习惯上称为Cantor集合)和1904年H. von Koch设计的曲线是分形的典型例子。1918年F. Hausdorff定义了维数，它不必局限为整数。本世纪20年代，P.Fatou和G. Julia通过对复变映射的研究对揭示分形现象作出重要贡献。1975年B. B. Mandelbrot开创了分形几何以处理具有自相似性和无标度性的破碎几何形体，80年代以后引起公众对非线性现象尤其是分形的极大热情。80年代初分形被用以刻划奇怪吸引子。80年代中、后期分形被用以描述多吸引子系统吸引盆的边界。
§0.5 非线性动力学的工程应用
工程系统中广泛存在着非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等非线性力(nonlinear force)，法向加速度、哥氏加速度等运动学非线性(kinematics nonlinearity)，非线性本构关系等材料非线性(material nonlinearity)和弹性大变形等几何非线性(geometric nonlinearity)。因此工程实际中的问题大多应该模型化为非线性系统。传统上采用线性化或等效线性化将非线性系统处理成线性系统，但仅限于一定的范围。当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果不仅误差过大，而且无法对一些实际现象作出解释。早在1940年，现代力学的开创者Th. von Karman就发表了综述文章《工程师们和非线性问题打交道》，在总结当时力学各分支学科非线性问题研究成果的基础上，强调非线性问题在工程中的重要性。随着现代科学技术的发展，工程结构日益大型化、高速化和复杂化，使得非线性效应必须加以考虑。电子计算机的迅速发展和广泛应用以及动态测试和在线数据处理技术的进步也使工程中的非线性问题的研究成为可能。
非线性动力学在工程问题的研究中也起着愈来愈重要的作用。非线性动力学在工程中的重要性体现在以下几个方面。非线性动力学表明简单的数学模型可能产生复杂的动力学行为，因而可应用于时间序列的非线性建模和预测以及控制。非线性动力学揭示了不规则的噪声信号可能产生于低阶的确定性非线性系统，从而为噪声的抑制提供了新的思路。非线性动力学对于系统全局和长期性态的分析结果，可用于数值仿真结果可靠性的研究。非线性动力学还为实验研究提供了新的概念和方法，在传统的频谱分析之外可以测量确定识别混沌运动的一些特征数值。
工程中的非线性动力学问题千差万别，然而解决的途径往往具有共同性。其共同的前提是建立系统的数学模型。建立系统数学模型的方法可分为两类。一类是理论建模，从已知的原理、定律和定理出发，通过机理分析发现工程问题的内在动力学规律，推导出相关参数的解析关系。另一类是实验建模，直接从工程系统运行和试验数据辨识出所涉及参数的关系。在工程系统的数学模型的基础上，可以对系统进行分析、仿真、优化和控制。非线性动力学作为一门力学的分支学科，重点讨论系统模型的分析，但对系统的实验建模也略有涉及。
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